8.10 Fracciones Parciales

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó cómo pasar de una fracción a múltiples fracciones más simples. Para descomponer la expresión racional en la suma de dos fracciones más simples es necesario utilizar la descomposición parcial de la fracción.

\(\begin{aligned} \frac{4 x-9}{x^{2}-3 x} &=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-3} \\ 4 x-9 &=A(x-3)+B x \\ 4 x-9 &=A x-3 A+B x \end{aligned}\)

Observe que el término constante -9 debe ser igual al término constante\(-3 A\) y que los términos con\(x\) deben ser iguales también.

\(\begin{aligned}-9 &=-3 A \\ 4 &=A+B \end{aligned}\)

Resolver este sistema rinde:

\(A=3, \quad B=1\)

Por lo tanto,

\(\frac{4 x-9}{x^{2}-3 x}=\frac{3}{x}+\frac{1}{x-3}\)

Ejemplo 2

Utilice fracciones parciales para descomponer la siguiente expresión racional.

\(\frac{7 x^{2}+x+6}{x^{3}+3 x}\)

Primero factifique el denominador e identifique los denominadores de las fracciones parciales.

\(\frac{7 x^{2}+x+6}{x\left(x^{2}+3\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+3}\)

Cuando las fracciones se eliminan multiplicando por la LCD, la ecuación se convierte en:

\(7 x^{2}+x+6=A\left(x^{2}+3\right)+x(B x+C)\)

\(7 x^{2}+x+6=A x^{2}+3 A+B x^{2}+C x\)

Observe que el término cuadrado, el término lineal y el término constante forman un sistema de tres ecuaciones con tres variables

\(A+B=7\)

\(C=1\)

\(3 A=6\)

En este caso es fácil verlo\(A=2, B=5, C=1\). A menudo, el sistema resultante de ecuaciones es más complejo y se beneficiaría de su conocimiento de resolver sistemas usando matrices.

\(\frac{7 x^{2}+x+6}{x\left(x^{2}+3\right)}=\frac{2}{x}+\frac{5 x+1}{x^{2}+3}\)

Ejemplo 3

Descomponer la siguiente expresión racional.

\(\frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}}\)

Primero identificar los denominadores de las fracciones parciales.

\(\frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{(x-1)^{3}}+\frac{D}{x}+\frac{E}{x^{2}}\)

Cuando toda la fracción se multiplica por\((x-1)^{3} x^{2}\) los resultados de la ecuación a.

\(5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1\)

\(=A(x-1)^{2} x^{2}+B(x-1) x^{2}+C x^{2}+D(x-1)^{3} x+E(x-1)^{3}\)

La multiplicación de cada término se puede hacer por separado para tener mucho cuidado.

\(A x^{4}-2 A x^{3}+A x^{2}\)

\(B x^{3}-B x^{2}\)

\(C x^{2}\)

\(D x^{4}-3 D x^{3}+3 D x^{2}-D x\)

\(E x^{3}-3 E x^{2}+3 E x-E\)

Términos de grupo con la misma potencia\(x\) y conjunto igual al término correspondiente.

\(\begin{aligned} 5 x^{4} &=A x^{4}+D x^{4} \\ -3 x^{3} &=-2 A x^{3}+B x^{3}-3 D^{3}+E x^{3} \\ -x^{2} &=A x^{2}-B x^{2}+C x^{2}+3 D x^{2}-3 E x^{2} \\ 4 x &=-D x+3 E x \\ -1 &=-E \end{aligned}\)

A partir de estas 5 ecuaciones, cada una se\(x\) puede dividir. Supongamos que\(x \neq 0\) porque si lo fuera, entonces la expresión original estaría indefinida.

\(\begin{aligned} 5 &=A+D \\ -3 &=-2 A+B-3 D+E \\ -1 &=A-B+C+3 D-3 E \\ 4 &=-D+3 E \\ -1 &=E \end{aligned}\)

Se trata de un sistema de ecuaciones de cinco variables y 5 ecuaciones. Algunas de las ecuaciones se pueden resolver usando lógica y sustitución como\(E=-1, D=-7, A=12\). Se puede utilizar cualquier método que involucre determinantes o matrices. En este caso es más fácil sustituir valores conocidos en ecuaciones con un valor desconocido para obtener valores más conocidos y repetir.

\(\begin{aligned} B &=1 \\ C &=6 \\ \frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}} &=\frac{12}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{6}{(x-1)^{3}}+\frac{-7}{x}+\frac{-1}{x^{2}} \end{aligned}\)

Ejemplo 4

Descomponer la siguiente expresión racional.

\(\frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}}\)

Primero identificar los denominadores de las fracciones parciales.

\(\frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{(x-1)^{3}}+\frac{D}{x}+\frac{E}{x^{2}}\)

Cuando toda la fracción se multiplica por\((x-1)^{3} x^{2}\) los resultados de la ecuación a.

\(5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1\)

\(=A(x-1)^{2} x^{2}+B(x-1) x^{2}+C x^{2}+D(x-1)^{3} x+E(x-1)^{3}\)

La multiplicación de cada término se puede hacer por separado para tener mucho cuidado.

\(A x^{4}-2 A x^{3}+A x^{2}\)

\(B x^{3}-B x^{2}\)

\(C x^{2}\)

\(D x^{4}-3 D x^{3}+3 D x^{2}-D x\)

\(E x^{3}-3 E x^{2}+3 E x-E\)

Términos de grupo con la misma potencia\(x\) y conjunto igual al término correspondiente.

\(\begin{aligned} 5 x^{4} &=A x^{4}+D x^{4} \\ -3 x^{3} &=-2 A x^{3}+B x^{3}-3 D^{3}+E x^{3} \\ -x^{2} &=A x^{2}-B x^{2}+C x^{2}+3 D x^{2}-3 E x^{2} \\ 4 x &=-D x+3 E x \\ -1 &=-E \end{aligned}\)

A partir de estas 5 ecuaciones, cada una se\(x\) puede dividir. Supongamos que\(x \neq 0\) porque si lo fuera, entonces la expresión original estaría indefinida.

\(\begin{aligned} 5 &=A+D \\ -3 &=-2 A+B-3 D+E \\ -1 &=A-B+C+3 D-3 E \\ 4 &=-D+3 E \\ -1 &=E \end{aligned}\)

Se trata de un sistema de ecuaciones de cinco variables y 5 ecuaciones. Algunas de las ecuaciones se pueden resolver usando lógica y sustitución como\(E=-1, D=-7, A=12\). Se puede utilizar cualquier método que involucre determinantes o matrices. En este caso es más fácil sustituir valores conocidos en ecuaciones con un valor desconocido para obtener valores más conocidos y repetir.

\(\begin{aligned} B &=1 \\ C &=6 \\ \frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}} &=\frac{12}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{6}{(x-1)^{3}}+\frac{-7}{x}+\frac{-1}{x^{2}} \end{aligned}\)

Ejemplo 5

Usa matrices para ayudarte a descomponer la siguiente expresión racional. Confirme la solución sumando las fracciones parciales.

\(\frac{5 x-2}{(2 x-1)(3 x+4)}\)

\(\begin{aligned} \frac{5 x-2}{(2 x-1)(3 x+4)} &=\frac{A}{2 x-1}+\frac{B}{3 x+4} \\ 5 x-2 &=A(3 x+4)+B(2 x-1) \\ 5 x-2 &=3 A x+4 A+2 B x-B \\ 5 &=3 A+2 B \\-2 &=4 A-B \end{aligned}\)

\(\left[\begin{array}{cc|c}3 & 2 & 5 \\ 4 & -1 & -2\end{array}\right] \rightarrow \begin{array}{cc}\rightarrow & \cdot 4 & \rightarrow \\ \rightarrow & \cdot 3 & \rightarrow\end{array}\left[\begin{array}{cc|c}12 & 8 & 20 \\ 12 & -3 & -6\end{array}\right] \rightarrow \begin{array}{cc}\rightarrow \\ -I & \rightarrow\end{array}\left[\begin{array}{cc|c}12 & 8 & 20 \\ 0 & -11 & -26\end{array}\right] \rightarrow \begin{array}{cc}\rightarrow & 11 & \rightarrow \\ \rightarrow & .8 & \rightarrow\end{array}\left[\begin{array}{cc|c}132 & 88 & 220 \\ 0 & -88 & -208\end{array}\right]\)

\(\rightarrow I I \quad \rightarrow\)

\(\rightarrow\)\(\left[\begin{array}{cc|c}132 & 0 & 12 \\ 0 & -88 & -208\end{array}\right] \rightarrow \begin{array}{ccc}\rightarrow & \div 132 & \rightarrow \\ \rightarrow & \div-88 & \rightarrow\end{array}\left[\begin{array}{cc|c}1 & 0 & \frac{1}{11} \\ 0 & 1 & \frac{26}{11}\end{array}\right]\)

\(A=\frac{1}{11}, B=-\frac{26}{11}\)

\(\frac{5 x-2}{(2 x-1)(3 x+4)}=\frac{\frac{1}{11}}{2 x-1}+\frac{\frac{26}{11}}{3 x+4}\)

Para confirmar, sumar las fracciones.

\(\begin{aligned} \frac{5 x-2}{(2 x-1)(3 x+4)} &=\frac{\frac{1}{11}}{2 x-1}+\frac{\frac{26}{11}}{3 x+4} \\ 5 x-2 &=\frac{1}{11}(3 x+4)+\frac{26}{11}(2 x-1) \\ 55 x-22 &=3 x+4+26(2 x-1) \\ 55 x-22 &=3 x+4+52 x-26 \\ 55 x-22 &=55 x-22 \end{aligned}\)