8.10 Fracciones Parciales
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Quizá sepas sumar fracciones y pasar de dos o más fracciones separadas a una sola fracción, pero ¿cómo vas al revés?
Rúbrica Descomposición de fracción
La descomposición parcial de fracciones es un procedimiento que invierte la adición de fracciones con denominadores diferentes. La parte más desafiante es llegar a los denominadores de cada fracción parcial individual. A ver si puedes detectar el patrón.
\(\frac{6 x-1}{x^{2}(x-1)\left(x^{2}+2\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-1}+\frac{D x+E}{x^{2}+2}\)
En este ejemplo se debe representar cada factor individual del denominador. Los factores lineales que se elevan a una potencia mayor que uno deben tener cada potencia sucesiva incluida como denominador separado. Los términos cuadráticos que no factean para ser términos lineales se incluyen con un numerador que es una función lineal de\(x\). Echa un vistazo a los ejemplos para ver la descomposición parcial de la fracción puesta en práctica.
Ejemplos
Anteriormente, se le preguntó cómo pasar de una fracción a múltiples fracciones más simples. Para descomponer la expresión racional en la suma de dos fracciones más simples es necesario utilizar la descomposición parcial de la fracción.
\(\begin{aligned} \frac{4 x-9}{x^{2}-3 x} &=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-3} \\ 4 x-9 &=A(x-3)+B x \\ 4 x-9 &=A x-3 A+B x \end{aligned}\)
Observe que el término constante -9 debe ser igual al término constante\(-3 A\) y que los términos con\(x\) deben ser iguales también.
\(\begin{aligned}-9 &=-3 A \\ 4 &=A+B \end{aligned}\)
Resolver este sistema rinde:
\(A=3, \quad B=1\)
Por lo tanto,
\(\frac{4 x-9}{x^{2}-3 x}=\frac{3}{x}+\frac{1}{x-3}\)
Utilice fracciones parciales para descomponer la siguiente expresión racional.
\(\frac{7 x^{2}+x+6}{x^{3}+3 x}\)
Primero factifique el denominador e identifique los denominadores de las fracciones parciales.
\(\frac{7 x^{2}+x+6}{x\left(x^{2}+3\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+3}\)
Cuando las fracciones se eliminan multiplicando por la LCD, la ecuación se convierte en:
\(7 x^{2}+x+6=A\left(x^{2}+3\right)+x(B x+C)\)
\(7 x^{2}+x+6=A x^{2}+3 A+B x^{2}+C x\)
Observe que el término cuadrado, el término lineal y el término constante forman un sistema de tres ecuaciones con tres variables
\(A+B=7\)
\(C=1\)
\(3 A=6\)
En este caso es fácil verlo\(A=2, B=5, C=1\). A menudo, el sistema resultante de ecuaciones es más complejo y se beneficiaría de su conocimiento de resolver sistemas usando matrices.
\(\frac{7 x^{2}+x+6}{x\left(x^{2}+3\right)}=\frac{2}{x}+\frac{5 x+1}{x^{2}+3}\)
Descomponer la siguiente expresión racional.
\(\frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}}\)
Primero identificar los denominadores de las fracciones parciales.
\(\frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{(x-1)^{3}}+\frac{D}{x}+\frac{E}{x^{2}}\)
Cuando toda la fracción se multiplica por\((x-1)^{3} x^{2}\) los resultados de la ecuación a.
\(5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1\)
\(=A(x-1)^{2} x^{2}+B(x-1) x^{2}+C x^{2}+D(x-1)^{3} x+E(x-1)^{3}\)
La multiplicación de cada término se puede hacer por separado para tener mucho cuidado.
\(A x^{4}-2 A x^{3}+A x^{2}\)
\(B x^{3}-B x^{2}\)
\(C x^{2}\)
\(D x^{4}-3 D x^{3}+3 D x^{2}-D x\)
\(E x^{3}-3 E x^{2}+3 E x-E\)
Términos de grupo con la misma potencia\(x\) y conjunto igual al término correspondiente.
\(\begin{aligned} 5 x^{4} &=A x^{4}+D x^{4} \\ -3 x^{3} &=-2 A x^{3}+B x^{3}-3 D^{3}+E x^{3} \\ -x^{2} &=A x^{2}-B x^{2}+C x^{2}+3 D x^{2}-3 E x^{2} \\ 4 x &=-D x+3 E x \\ -1 &=-E \end{aligned}\)
A partir de estas 5 ecuaciones, cada una se\(x\) puede dividir. Supongamos que\(x \neq 0\) porque si lo fuera, entonces la expresión original estaría indefinida.
\(\begin{aligned} 5 &=A+D \\ -3 &=-2 A+B-3 D+E \\ -1 &=A-B+C+3 D-3 E \\ 4 &=-D+3 E \\ -1 &=E \end{aligned}\)
Se trata de un sistema de ecuaciones de cinco variables y 5 ecuaciones. Algunas de las ecuaciones se pueden resolver usando lógica y sustitución como\(E=-1, D=-7, A=12\). Se puede utilizar cualquier método que involucre determinantes o matrices. En este caso es más fácil sustituir valores conocidos en ecuaciones con un valor desconocido para obtener valores más conocidos y repetir.
\(\begin{aligned} B &=1 \\ C &=6 \\ \frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}} &=\frac{12}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{6}{(x-1)^{3}}+\frac{-7}{x}+\frac{-1}{x^{2}} \end{aligned}\)
Descomponer la siguiente expresión racional.
\(\frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}}\)
Primero identificar los denominadores de las fracciones parciales.
\(\frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{(x-1)^{3}}+\frac{D}{x}+\frac{E}{x^{2}}\)
Cuando toda la fracción se multiplica por\((x-1)^{3} x^{2}\) los resultados de la ecuación a.
\(5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1\)
\(=A(x-1)^{2} x^{2}+B(x-1) x^{2}+C x^{2}+D(x-1)^{3} x+E(x-1)^{3}\)
La multiplicación de cada término se puede hacer por separado para tener mucho cuidado.
\(A x^{4}-2 A x^{3}+A x^{2}\)
\(B x^{3}-B x^{2}\)
\(C x^{2}\)
\(D x^{4}-3 D x^{3}+3 D x^{2}-D x\)
\(E x^{3}-3 E x^{2}+3 E x-E\)
Términos de grupo con la misma potencia\(x\) y conjunto igual al término correspondiente.
\(\begin{aligned} 5 x^{4} &=A x^{4}+D x^{4} \\ -3 x^{3} &=-2 A x^{3}+B x^{3}-3 D^{3}+E x^{3} \\ -x^{2} &=A x^{2}-B x^{2}+C x^{2}+3 D x^{2}-3 E x^{2} \\ 4 x &=-D x+3 E x \\ -1 &=-E \end{aligned}\)
A partir de estas 5 ecuaciones, cada una se\(x\) puede dividir. Supongamos que\(x \neq 0\) porque si lo fuera, entonces la expresión original estaría indefinida.
\(\begin{aligned} 5 &=A+D \\ -3 &=-2 A+B-3 D+E \\ -1 &=A-B+C+3 D-3 E \\ 4 &=-D+3 E \\ -1 &=E \end{aligned}\)
Se trata de un sistema de ecuaciones de cinco variables y 5 ecuaciones. Algunas de las ecuaciones se pueden resolver usando lógica y sustitución como\(E=-1, D=-7, A=12\). Se puede utilizar cualquier método que involucre determinantes o matrices. En este caso es más fácil sustituir valores conocidos en ecuaciones con un valor desconocido para obtener valores más conocidos y repetir.
\(\begin{aligned} B &=1 \\ C &=6 \\ \frac{5 x^{4}-3 x^{3}-x^{2}+4 x-1}{(x-1)^{3} x^{2}} &=\frac{12}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{6}{(x-1)^{3}}+\frac{-7}{x}+\frac{-1}{x^{2}} \end{aligned}\)
Usa matrices para ayudarte a descomponer la siguiente expresión racional. Confirme la solución sumando las fracciones parciales.
\(\frac{5 x-2}{(2 x-1)(3 x+4)}\)
\(\begin{aligned} \frac{5 x-2}{(2 x-1)(3 x+4)} &=\frac{A}{2 x-1}+\frac{B}{3 x+4} \\ 5 x-2 &=A(3 x+4)+B(2 x-1) \\ 5 x-2 &=3 A x+4 A+2 B x-B \\ 5 &=3 A+2 B \\-2 &=4 A-B \end{aligned}\)
\(\left[\begin{array}{cc|c}3 & 2 & 5 \\ 4 & -1 & -2\end{array}\right] \rightarrow \begin{array}{cc}\rightarrow & \cdot 4 & \rightarrow \\ \rightarrow & \cdot 3 & \rightarrow\end{array}\left[\begin{array}{cc|c}12 & 8 & 20 \\ 12 & -3 & -6\end{array}\right] \rightarrow \begin{array}{cc}\rightarrow \\ -I & \rightarrow\end{array}\left[\begin{array}{cc|c}12 & 8 & 20 \\ 0 & -11 & -26\end{array}\right] \rightarrow \begin{array}{cc}\rightarrow & 11 & \rightarrow \\ \rightarrow & .8 & \rightarrow\end{array}\left[\begin{array}{cc|c}132 & 88 & 220 \\ 0 & -88 & -208\end{array}\right]\)
\(\rightarrow I I \quad \rightarrow\)
\(\rightarrow\)\(\left[\begin{array}{cc|c}132 & 0 & 12 \\ 0 & -88 & -208\end{array}\right] \rightarrow \begin{array}{ccc}\rightarrow & \div 132 & \rightarrow \\ \rightarrow & \div-88 & \rightarrow\end{array}\left[\begin{array}{cc|c}1 & 0 & \frac{1}{11} \\ 0 & 1 & \frac{26}{11}\end{array}\right]\)
\(A=\frac{1}{11}, B=-\frac{26}{11}\)
\(\frac{5 x-2}{(2 x-1)(3 x+4)}=\frac{\frac{1}{11}}{2 x-1}+\frac{\frac{26}{11}}{3 x+4}\)
Para confirmar, sumar las fracciones.
\(\begin{aligned} \frac{5 x-2}{(2 x-1)(3 x+4)} &=\frac{\frac{1}{11}}{2 x-1}+\frac{\frac{26}{11}}{3 x+4} \\ 5 x-2 &=\frac{1}{11}(3 x+4)+\frac{26}{11}(2 x-1) \\ 55 x-22 &=3 x+4+26(2 x-1) \\ 55 x-22 &=3 x+4+52 x-26 \\ 55 x-22 &=55 x-22 \end{aligned}\)
Descomponer las siguientes expresiones racionales. Practicar el uso de matrices con al menos uno de los problemas.
1. \(\frac{3 x-4}{(x-1)(x+4)}\)
2. \(\frac{2 x+1}{x^{2}(x-3)}\)
3. \(\frac{x+1}{x(x-5)}\)
4. \(\frac{x^{2}+3 x+1}{x(x-3)(x+6)}\)
5. \(\frac{3 x^{2}+2 x-1}{x^{2}(x+2)}\)
6. \(\frac{x^{2}+1}{x(x-1)(x+1)}\)
7. \(\frac{4 x^{2}-9}{x^{2}(x-4)}\)
8. \(\frac{2 x-4}{(x+7)(x-3)}\)
9. \(\frac{3 x-4}{x^{2}\left(x^{2}+1\right)}\)
10. \(\frac{2 x+5}{(x-3)\left(x^{2}+4\right)}\)
11. \(\frac{3 x^{2}+2 x-5}{x^{2}(x-3)\left(x^{2}+1\right)}\)
12. Confirma tu respuesta a\(\# 1\) sumando las fracciones parciales.
13. Confirma tu respuesta a #3 sumando las fracciones parciales.
14. Confirma tu respuesta a\(\# 6\) sumando las fracciones parciales.
15. Confirma tu respuesta a #9 sumando las fracciones parciales.