8.7 Determinante de Matrices
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Un determinante es un número calculado a partir de las entradas en una matriz cuadrada. Tiene muchas propiedades e interpretaciones que explorarás en álgebra lineal. Este concepto se centra en el procedimiento de cálculo de determinantes. Una vez que sepas calcular el determinante de una\(2 \times 2\) matriz, entonces podrás calcular el determinante de una\(3 \times 3\) matriz. Una vez que sabes calcular el determinante de una\(3 \times 3\) matriz puedes calcular el determinante de a\(4 \times 4\) y así sucesivamente.
Una pregunta lógica sobre los determinantes es ¿de dónde viene el procedimiento? ¿Por qué se definen los determinantes de la manera en que son?
El Determinante
El determinante de una matriz\(A\) se escribe como\(|A|\). Para una\(2 \times 2\) matriz\(A\), el valor se calcula como:
\(\begin{aligned} A &=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] \\ \operatorname{det} A &=|A|=\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|=a d-b c \end{aligned}\)
Si sustitues números por las letras e intentas calcular\(\operatorname{det} A\) para\(A=\left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 5\end{array}\right]\), obtienes:
\(\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 5\end{array}\right|=3 \cdot 5-2 \cdot 1=15-2=13\)
Observe cómo se multiplican las diagonales y luego se restan.
El determinante de una\(3 \times 3\) matriz está más involucrado.
\(B=\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right]\)
Por lo general, empezarás mirando la fila superior, aunque cualquier fila o columna funcionará. Luego usa el patrón de tablero de ajedrez para letreros (que se muestra a continuación) y crea\(2 \times 2\) matrices más pequeñas.
\(\left[\begin{array}{ccc}+ & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{array}\right]\)
\(2 \times 2\)Las matrices más pequeñas son las entradas que quedan cuando se ignoran la fila y columna del coeficiente con el que está trabajando.
\(\operatorname{det} B=|B|=+a \cdot\left|\begin{array}{cc}e & f \\ h & i\end{array}\right|-b \cdot\left|\begin{array}{cc}d & f \\ g & i\end{array}\right|+c \cdot\left|\begin{array}{cc}d & e \\ g & h\end{array}\right|\)
A continuación toma el determinante de las\(2 \times 2\) matrices más pequeñas y obtienes una larga cadena de cálculos.
\(=+a(e i-f h)-b(d i-f g)+c(d h-e g)\)
\(=a e i-a f h-b d i+b f g+c d h-c e g\)
\(=a e i+b f g+c d h-c e g-a f h-b d i\)
La mayoría de la gente no recuerda esta secuencia. Un matemático francés llamado Sarrus demostró un gran dispositivo para memorizar el cálculo del determinante para\(3 \times 3\) matrices. El primer paso es simplemente copiar las dos primeras columnas a la derecha de la matriz. Después dibuja tres líneas diagonales bajando y hacia la derecha.
\(B=\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right]\)
Obsérvese que corresponden exactamente a los tres términos positivos del determinante demostrados anteriormente. Siguiente dibuja tres diagonales subiendo y hacia la derecha. Estas diagonales corresponden exactamente a los tres términos negativos.
\(\operatorname{det} B=a e i+b f g+c d h-c e g-a f h-b d i\)
La Regla de Sarrus no funciona para los determinantes de matrices que no son de orden\(3 \times 3\).
Ejemplos
Anteriormente, se le preguntó de dónde provenía el procedimiento para encontrar los determinantes. Los determinantes para\(2 \times 2\) matrices se definen como son debido a la solución general a un sistema de 2 variables y 2 ecuaciones.
\(a x+b y=e\)
\(c x+d y=f\)
Para eliminar el\(x\), escalar la primera ecuación por\(c\) y la segunda ecuación por a.
\(\begin{aligned} a c x+b c y &=e c \\ a c x+a d y &=a f \end{aligned}\)
Restar la segunda ecuación de la primera y resolver para\(y\).
\(\begin{aligned} a d y-b c y &=a f-e c \\ y(a d-b c) &=a f-e c \\ y &=\frac{a f-e c}{a d-b c} \end{aligned}\)
Cuando resuelves para\(x\) ti también te metes\(a d-b c\) en el denominador de la solución general. Este patrón llevó a la gente a comenzar a usar esta estrategia en la resolución de sistemas de ecuaciones. El determinante se define de esta manera por lo que siempre será el denominador de la solución general de cualquiera de las variables.
Encuentra el determinante de la siguiente matriz.
\(C=\left[\begin{array}{cc}-4 & 12 \\ 1 & -3\end{array}\right]\)
\(\operatorname{det} C=\left|\begin{array}{cc}-4 & 12 \\ 1 & -3\end{array}\right|=12-12=0\)
Buscar\(\operatorname{det} B\) para\(B=\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 5\end{array}\right]\)
\(\left|\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 5\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 1 & 5\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 2 & 5\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{ll}5 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right|\)
\(=3(0 \cdot 5-2 \cdot 1)-2(5 \cdot 5-2 \cdot 2)+1(5 \cdot 1-2 \cdot 0)\)
\(=-6-42+5=-43\)
Encuentra el determinante\(B\) del ejemplo B usando la Regla de Sarrus.
\(\begin{array}{lllll}3 & 2 & 1 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 2 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 5 & 2 & 1\end{array}\)
\(\operatorname{det} B=0+8+5-0-6-50=-43\)
Como pueden ver, la Regla de Sarrus es eficiente y gran parte de los cálculos se pueden hacer mentalmente. Además, los valores cero facilitan gran parte de la multiplicación.
Encuentre el determinante de la siguiente\(4 \times 4\) matriz eligiendo cuidadosamente la fila o columna con la que trabajar.
\(E=\left[\begin{array}{cccc}4 & 5 & 0 & 2 \\ -1 & -3 & 0 & 3 \\ 4 & 8 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 0 & 9\end{array}\right]\)
Observe que la tercera columna está conformada con ceros y uno. Elija esta columna para conformar los coeficientes porque entonces en lugar de tener que evaluar el determinante de cuatro individuos
\(3 \times 3\)matrices, solo necesitas hacer una.
\(\left|\begin{array}{cccc}4 & 5 & 0 & 2 \\ -1 & -3 & 0 & 3 \\ 4 & 8 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 0 & 9\end{array}\right|=0 \cdot\left|\begin{array}{ccc}-1 & -3 & 3 \\ 4 & 8 & 5 \\ -3 & 2 & 9\end{array}\right|-0 \cdot\left|\begin{array}{ccc}4 & 5 & 2 \\ 4 & 8 & 5 \\ -3 & 2 & 9\end{array}\right|+1 \cdot\left|\begin{array}{ccc}4 & 5 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ -3 & 2 & 9\end{array}\right|-0 \cdot\left|\begin{array}{ccc}4 & 5 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ 4 & 8 & 5\end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{ccc}4 & 5 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ -3 & 2 & 9\end{array}\right|\)
\(=4 \cdot(-3) \cdot 9+5 \cdot 3 \cdot(-3)+2 \cdot(-1) \cdot 2-18-24-(-45)\)
\(=-154\)
Encuentra los determinantes de cada una de las siguientes matrices.
1. \(\left[\begin{array}{ll}4 & 5 \\ 2 & 3\end{array}\right]\)
2. \(\left[\begin{array}{cc}-3 & 6 \\ 2 & 5\end{array}\right]\)
3. \(\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 2 & 0\end{array}\right]\)
4. \(\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\)
5. \(\left[\begin{array}{cc}6 & 5 \\ 2 & -2\end{array}\right]\)
6. \(\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 6 & 3\end{array}\right]\)
7. \(\left[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & -4 \\ 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 5\end{array}\right]\)
8. \(\left[\begin{array}{ccc}4 & 5 & 8 \\ 9 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -2\end{array}\right]\)
9. \(\left[\begin{array}{ccc}0 & 7 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 6 & 8 & 0\end{array}\right]\)
10. \(\left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 1 & 8 & 0\end{array}\right]\)
11. \(\left[\begin{array}{ccc}-2 & -6 & -12 \\ -1 & -5 & -2 \\ 2 & 3 & 4\end{array}\right]\)
12. \(\left[\begin{array}{ccc}-2 & 6 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\ -8 & 2 & 1\end{array}\right]\)
13. \(\left[\begin{array}{cccc}2 & 6 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2 & 0 \\ -6 & 2 & 3 & 1\end{array}\right]\)
14. \(\left[\begin{array}{cccc}5 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 8 & 3 \\ 9 & 3 & 2 & 6 \\ -4 & 2 & 5 & 1\end{array}\right]\)
15. ¿Puedes encontrar el determinante para alguna matriz? Explique.
16. La siguiente matriz tiene un determinante de cero:\(\left[\begin{array}{ll}6 & 4 \\ 3 & 2\end{array}\right]\). Si el determinante de una matriz es cero, ¿qué dice eso de las filas de la matriz?