31.3: Notación científica (Apéndice C)

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En astronomía (y otras ciencias), a menudo es necesario tratar con números muy grandes o muy pequeños. De hecho, cuando los números se vuelven verdaderamente grandes en la vida cotidiana, como la deuda nacional en Estados Unidos, los llamamos astronómicos. Entre las ideas que los astrónomos deben tratar rutinariamente es que la Tierra está a 150,000,000,000 metros del Sol, y la masa del átomo de hidrógeno es 0.0000000000000000000000167 kilogramos. ¡Nadie en su sano juicio querría seguir escribiendo tantos ceros!

En cambio, los científicos han acordado una especie de notación taquigráfica, que no sólo es más fácil de escribir, sino que (como veremos) hace mucho menos difícil la multiplicación y división de números grandes y pequeños. Si nunca has usado esta notación de potencias de diez o notación científica, puede tomar un poco de tiempo acostumbrarte, pero pronto te resultará mucho más fácil que hacer un seguimiento de todos esos ceros.

Escribir números grandes

En notación científica, generalmente estamos de acuerdo en tener solo un número a la izquierda del punto decimal. Si un número no está en este formato, se debe cambiar. El número 6 ya está en el formato correcto, porque para los enteros, entendemos que hay un punto decimal a la derecha de ellos. Entonces 6 es realmente 6., y de hecho sólo hay un número a la izquierda del punto decimal. Pero el número 965 (que es 965.) tiene tres números a la izquierda del punto decimal, y así está maduro para la conversión.

Para cambiar 965 a forma adecuada, debemos hacerlo 9.65 y luego hacer un seguimiento del cambio que hemos realizado. (Piensa en el número como un salario semanal y de repente hace mucha diferencia si tenemos $965 o $9.65.) Hacemos un seguimiento del número de lugares que movimos el punto decimal expresándolo como una potencia de diez. Así 965 se convierte en 9.65 × 10 ² o 9.65 multiplicado por diez a la segunda potencia. El pequeño elevado 2 se llama exponente, y nos dice cuántas veces movimos el punto decimal hacia la izquierda.

Tenga en cuenta que 10 ² también designa 10 al cuadrado, o 10 × 10, lo que equivale a 100. Y 9.65 × 100 es solo 965, el número con el que empezamos. Otra forma de ver la notación científica es que separemos los números desordenados al frente, y dejamos las unidades suaves de diez para que el exponente denote. Entonces un número como 1,372,568 se convierte en 1.372568 veces por millón (10 ⁶) o 1.372568 por 10 multiplicado por sí mismo 6 veces. Tuvimos que mover el punto decimal seis lugares a la izquierda (de su lugar después del 8) para obtener el número en la forma donde sólo hay un dígito a la izquierda del punto decimal.

La razón por la que llamamos a esta notación de potencias de diez es que nuestro sistema de conteo se basa en incrementos de diez; cada lugar en nuestro sistema de numeración es diez veces mayor que el lugar a la derecha del mismo. Como probablemente hayas aprendido, esto empezó porque los seres humanos tienen diez dedos y empezamos a contar con ellos. (Es interesante especular que si alguna vez nos encontramos con formas de vida inteligentes con solo ocho dedos, ¡su sistema de conteo probablemente sería una notación de potencias de ocho!)

Entonces, en el ejemplo con el que empezamos, el número de metros de la Tierra al Sol es de 1.5 × 10 ¹¹. En otra parte del libro, mencionamos que una cuerda de 1 año luz de largo cabría alrededor del ecuador de la Tierra 236 millones o 236 millones de veces. En notación científica, esto se convertiría en 2.36 × 10 ⁸. Ahora bien, si te gusta expresar las cosas en millones, como lo hacen los informes anuales de empresas exitosas, tal vez te gustaría escribir este número como 236 × 10 ⁶. No obstante, la convención habitual es tener sólo un número a la izquierda del punto decimal.

Escribir números pequeños

Ahora toma un número como 0.00347, que tampoco está en la forma estándar (acordada) para la notación científica. Para ponerlo en ese formato, debemos hacer la primera parte de la misma 3.47 moviendo el punto decimal tres lugares a la derecha. Obsérvese que esta moción a la derecha es lo opuesto al movimiento a la izquierda que discutimos anteriormente. Para hacer un seguimiento, llamamos a este cambio negativo y ponemos un signo menos en el exponente. Así 0.00347 pasa a ser 3.47 × 10 ⁻³.

En el ejemplo que dimos al principio, la masa del átomo de hidrógeno se escribiría entonces como 1.67 × 10 ⁻²⁷ kg. En este sistema, uno se escribe como 10 ⁰, una décima como 10 ⁻¹, una centésima como 10 ⁻², y así sucesivamente. Tenga en cuenta que cualquier número, no importa cuán grande o pequeño sea, se puede expresar en notación científica.

Multiplicación y división

La notación científica no sólo es compacta y conveniente, también simplifica la aritmética. Para multiplicar dos números expresados como potencias de diez, solo necesitas multiplicar los números al frente y luego sumar los exponentes. Si no hay números al frente, como en 100 × 100,000, entonces solo agrega los exponentes (en nuestra notación, 10 ² × 10 ⁵ = 10 ⁷). Cuando hay números al frente, hay que multiplicarlos, pero son mucho más fáciles de tratar que los números con muchos ceros en ellos.

Aquí hay un ejemplo:

\[\left( 3 \times 10^5 \right) \times \left( 2 \times 10^9 \right) = 6 \times 10^{14} \nonumber\]

Y aquí hay otro ejemplo:

\[ \begin{aligned} 0.04 \times 6,000,000 & =\left( 4 \times 10^{−2} \right) \times \left( 6 \times 10^6 \right) \\ & = 24×10^4 \\ & = 2.4×10^5 \end{aligned} \nonumber\]

Observe en el segundo ejemplo que cuando agregamos los exponentes, tratamos a los exponentes negativos como lo hacemos en aritmética regular (−2 más 6 es igual a 4). También, observe que nuestro primer resultado tenía un 24 en él, que no estaba en la forma aceptable, teniendo dos lugares a la izquierda del punto decimal, y por lo tanto lo cambiamos a 2.4 y cambiamos el exponente en consecuencia.

Para dividir, divides los números al frente y restas los exponentes. Aquí hay varios ejemplos:

\[ \begin{array}{l} \frac{1,000,000}{1000} = \frac{10^6}{10^3} = 10^{(6-3)} = 10^3 \\ \frac{9 \times 10^{12}}{2 \times 10^3} = 4.5 \times 10^9 \\ \frac{2.8 \times 10^2}{6.2 \times 10^5} =4.52 \times 10^{−4} \end{array} \nonumber\]

En el último ejemplo, nuestro primer resultado no estaba en la forma estándar, así que tuvimos que cambiar 0.452 a 4.52, y cambiar el exponente en consecuencia.

Si es la primera vez que conoces la notación científica, te exhortamos a practicar muchos ejemplos utilizándola. Podrías comenzar resolviendo los ejercicios a continuación. Como cualquier lenguaje nuevo, la notación parece complicada al principio pero se vuelve más fácil a medida que la practicas.

Ejercicios

A finales de septiembre de 2015, la nave espacial New Horizons (que se encontró con Plutón por primera vez en julio de 2015) estaba a 4.898 mil millones de kilómetros de la Tierra. Convertir este número a notación científica. ¿Cuántas unidades astronómicas es esta? (Una unidad astronómica es la distancia de la Tierra al Sol, o unos 150 millones de km.)
Durante los primeros seis años de su funcionamiento, el Telescopio Espacial Hubble rodeó la Tierra 37 mil veces, para un total de 1,280,000,000 km. Usa la notación científica para encontrar el número de km en una órbita.
En una gran cafetería universitaria, se ofrece una hamburguesa de soja-verdura como alternativa a las hamburguesas regulares. Si se comieron 889.875 hamburguesas durante el transcurso de un ciclo escolar, y 997 de ellas fueron hamburguesas vegetarianas, ¿qué fracción y qué porcentaje de las hamburguesas representa esto?
En una encuesta de Kelton Research de 2012, el 36 por ciento de los estadounidenses adultos pensaban que los seres alienígenas en realidad han aterrizado El número de adultos en Estados Unidos en 2012 fue de alrededor de 222,000,000. Usa la notación científica para determinar cuántos adultos creen que los extraterrestres han visitado la Tierra.
En el ciclo escolar 2009—2010, los colegios y universidades estadounidenses otorgaron 2,354,678 grados. Entre estos se encontraban 48.069 grados de doctorado. ¿Qué fracción de los grados fueron doctorados? Expresar este número como un porcentaje. (¡Ahora ve a buscar trabajo para todos esos doctorados!)
Se ha encontrado que una estrella a 60 años luz de distancia tiene un gran planeta orbitándola. Tu tío quiere saber la distancia a este planeta en millas anticuadas. Supongamos que la luz viaja 186,000 millas por segundo, y hay 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora, 24 horas en un día y 365 días en un año. ¿A cuántos kilómetros está esa estrella?

RESPUESTAS

4.898 mil millones es 4.898 × 10 ⁹ km. Una unidad astronómica (AU) es de 150 millones de km = 1.5 × 10 ⁸ km. Dividiendo el primer número por el segundo, obtenemos 3.27 × 10 ^{(9 — 8)} = 3.27 × 10 ¹ AU.
$\frac{1.28 \times 10^9 \text{ km}}{3.7 \times 10^4 \text{ orbits}} = 0.346 \times 10^{(9−4)} = 0.346 \times 10^5 = 3.46 \times 10^4 \text{ km per orbit}$.
$\frac{9.97 \times 10^2 \text{ veggie burgers}}{8.90 \times 10^5 \text{ total burgers}} = 1.12 \times 10^{(2−5)} = 1.12 \times 10^{(2−5)} = 1.12 \times 10^{−3}$(o aproximadamente una milésima parte) de las hamburguesas eran vegetarianas. Porcentaje de medias por cien. Entonces$\frac{1.12 \times 10^{−3}}{10^{−2}} = 1.12 \times 10^{(−3−(−2))} = 1.12 \times 10^{−1} \text{ percent}$ (que es aproximadamente una décima parte del uno por ciento).
36% es 36 centésimas o 0.36 o 3.6 × 10 ⁻¹. Multiplica eso por 2.22 × 10 ⁸ y obtienes alrededor de 7.99 × 10 ^{(−1 + 8)} = 7.99 × 10 ⁷ o casi 80 millones de personas que creen que los extraterrestres han aterrizado en nuestro planeta. Necesitamos más cursos de astronomía para educar a todas esas personas.
$\frac{4.81 \times 10^4}{2.35 \times 10^6} = 2.05 \times 10^{(4−6)} = 2.05 \times 10^{−2} = \text{ about} 2 \%$. (Tenga en cuenta que en estos ejemplos estamos redondeando algunos de los números para que no tengamos más de 2 lugares después del punto decimal).
Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. (Por lo general, usamos unidades métricas y no el viejo sistema británico que Estados Unidos sigue usando, pero vamos a darle humor a tu tío y quedarnos con millas). Si la luz recorre 186.000 millas cada segundo, entonces recorrerá 60 veces eso en un minuto, y 60 veces eso en una hora, y 24 veces eso en un día, y 365 veces eso en un año. Entonces tenemos 1.86 × 10 ⁵ × 6.0 × 10 ¹ × 6.0 × 10 ¹ × 2.4 × 10 ¹ × 3.65 × 10 ². Entonces multiplicamos todos los números al frente juntos y sumamos todos los exponentes. Obtenemos 586.57 × ^{10 10} = 5.86 × 10 ¹² millas en un año luz (que es aproximadamente 6 billones de millas, un infierno de muchas millas). Entonces, si la estrella está a 60 años luz de distancia, su distancia en millas es de 6 × 10 ¹ × 5.86 × 10 ¹² = 35.16 × 10 ¹³ = 3.516 × 10 ¹⁴ millas.