10: Integración Numérica de ODEs
- Page ID
- 125069
Este artículo describe los métodos numéricos para resolver el problema del valor inicial, que es un tipo estándar de problema que aparece en muchos campos de la física. Supongamos que tenemos un sistema cuyo estado en el momento\(t\) es descrito por un vector\(\vec{y}(t)\), que obedece a la ecuación diferencial ordinaria de primer orden (ODE) para la forma:
\[\frac{d\vec{y}}{dt} = \vec{F}\Big(\vec{y}(t), t\Big).\]
Aquí,\(\vec{F}\) se da alguna función vectorizada, cuyas entradas son (i) el estado instantáneo\(\vec{y}(t)\) y (ii) el tiempo actual\(t\). Entonces, dado un tiempo inicial\(t_{0}\) y un estado inicial\(\vec{y}(t_0)\), el objetivo es encontrar\(\vec{y}(t)\) para tiempos posteriores.
Conceptualmente, el problema del valor inicial es distinto del problema de resolver una ODE discutido en el artículo sobre ecuaciones de diferencia finita. Ahí, se nos dio un par de límites con ciertas condiciones límite, y el objetivo era encontrar la solución entre los dos límites. En este caso, se nos da el estado en un momento inicial\(t_{0}\), y nuestro objetivo es encontrar\(\vec{y}(t)\) para algún conjunto de tiempos futuros\(t > t_0\). Esto a veces se denomina “integración” de la ODE, porque la solución tiene la forma
\[\vec{y}(t) = \vec{y}(t_0)\, +\, \int^t_{t_0} dt' \;\vec{F}\Big(\vec{y}(t'), t'\Big).\]
Sin embargo, a diferencia de la integración numérica ordinaria (es decir, la computación de una integral definida), el valor del integrando no se conoce de antemano, debido a la\(\vec{F}\) dependencia de lo desconocido\(\vec{y}(t)\).