2.3: Dinámica

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Conceptos y principios

Primera Ley de Newton

La dinámica es el estudio de la causa del movimiento, o más precisamente la causa de los cambios en el movimiento. A finales del 1600 Isaac Newton planteó la hipótesis de que el movimiento no requiere una causa, más bien los cambios en el movimiento requieren causas. Un objeto experimenta un cambio de movimiento solo cuando interactúa con algún aspecto de su entorno. Esta audaz hipótesis, conocida como la Primera Ley del Movimiento de Newton, se resume con la idea de que un objeto mantendrá su estado de movimiento, ya sea en reposo o viajando a gran velocidad, a menos que actúe sobre ella por algún aspecto de su entorno.

Utilizando la terminología cinemática desarrollada en la última unidad, esto significa que la velocidad de un objeto (estado de movimiento) es constante a menos que interactúe con algún agente externo. Una interacción externa no es necesaria para que un objeto se mueva, solo es necesaria si cambia la velocidad del objeto. Así, lo que se causa no es la velocidad, sino la aceleración. Este concepto es uno de los más sutiles, y complejos, de toda la física.

Segunda Ley de Newton

Newton también planteó la hipótesis de que la suma total de todas las interacciones con el entorno externo, al que denominó fuerzas, es directamente proporcional a la aceleración del objeto. Además, la constante de proporcionalidad entre la suma de todas las fuerzas que actúan sobre un objeto y la aceleración del objeto mide la “resistencia” de un objeto a los cambios en su movimiento. Esta resistencia a los cambios en el movimiento se denomina inercia.

Por ejemplo, un objeto con gran inercia (cuantificado por una gran constante de proporcionalidad) responde a la aplicación de fuerzas con una aceleración relativamente pequeña. Un objeto con poca inercia (una pequeña constante de proporcionalidad) responde a la aplicación de las mismas fuerzas con una aceleración relativamente grande. La cantidad de inercia que tiene un objeto se mide por la masa inercial del objeto.

En resumen, esta relación, conocida como la Segunda Ley del Movimiento de Newton, y puede escribirse matemáticamente como:

\[\Sigma F=m a \nonumber\]

donde

F es una fuerza que actúa sobre el objeto desde su entorno, medida en Newtons (N),
\(\Sigma\)(sigma) es un recordatorio taquigráfico para sumar todas las fuerzas que actúan sobre el objeto,
y m es la masa del objeto, medida en kilogramos (kg).

La suma de todas las fuerzas que actúan sobre un objeto se denominará la fuerza total que actúa sobre el objeto.

Tercera Ley de Newton

La tercera gran contribución de Newton al estudio de la dinámica fue su visión de la fuerza, definida como la interacción entre un objeto y algún aspecto de su entorno. Newton teorizó que dado que los objetos interactúan con otros objetos en su entorno, siempre en parejas, existe cierta simetría en la naturaleza. La distinción entre el actor y el actuado es arbitraria. Sería tan fácil cambiar de enfoque y considerar el objeto en los alrededores como el actedupon y el objeto original de interés el actor.

Si la naturaleza exhibe esta simetría, entonces la fuerza que un objeto ejerce sobre otro debe ser siempre igual en magnitud a la fuerza que ejerce el segundo objeto sobre el primero. Hablar de un objeto como ejercer una fuerza sobre otro es hablar de sólo la mitad del cuadro. Esta idea, conocida como la Tercera Ley del Movimiento de Newton, es de importancia central en el estudio de las fuerzas. En resumen, los objetos interactúan entre sí, y se ejercen fuerzas de igual magnitud sobre cada uno de los dos objetos que interactúan. Una forma simplista de imaginarlo es la idea de que no puedes tocar algo sin que te toquen, y además que cuanto más toques más fuerte te tocarán a cambio.

Investigar la dinámica de una situación implica la identificación de todas las interacciones que un objeto experimenta con otros objetos en su entorno. Para ayudar en la identificación de estas interacciones, y utilizar esta información para describir mejor el movimiento final del objeto, a continuación se detallan varias herramientas de análisis útiles.

Herramientas de análisis

Dibujo de diagramas de cuerpo libre

El diagrama de cuerpo libre es, con mucho, la herramienta de análisis más importante para determinar las interacciones entre un objeto y su entorno. Hay tres pasos distintos para crear un diagrama de cuerpo libre. Recorremos los pasos para la situación que se describe a continuación:

Una niña se levanta una cuerda usando solo sus manos.

1. Selecciona el objeto que te gustaría estudiar.

En este ejemplo, probablemente sea seguro asumir que el objeto que nos gustaría estudiar es el niño. No obstante, dependiendo de lo que estemos investigando puede ser la cuerda o incluso el techo que nos interese. Seleccionar el objeto correcto para representar mediante un diagrama de cuerpo libre es un paso crucial, especialmente en situaciones más complicadas. Con la práctica desarrollarás una habilidad para seleccionar el objeto correcto a representar.

2. Dibuja una imagen del objeto de interés libre de todos los demás objetos.

Observe que la cuerda no aparece en el diagrama. Como implica el nombre free-bod y, el objeto se dibuja libre de todas las restricciones externas.

3. Indicar en el diagrama todas las interacciones del objeto con su entorno.

Ahora viene la parte más difícil de construir un diagrama de cuerpo libre. Es crucial no perderse una interacción. Si se pasa por alto una interacción, entonces el total de las fuerzas será incorrecto, y la aceleración será incorrecta, y todo su análisis será incorrecto.

Además, solo la parte de la interacción que actúa sobre la niña debe indicarse en un diagrama de cuerpo libre de la niña. Por ejemplo, ella está interactuando con la cuerda. Se indicará la acción de la cuerda sobre la niña, no la acción de la chica en la cuerda.

Para ayudar en la búsqueda de interacciones, dividiremos los tipos de interacciones de las que la niña puede formar parte en dos tipos, sin contacto y contacto.

Interacciones

sin contacto Las interacciones sin contacto incluyen todas las interacciones que pueden ocurrir entre la niña y objetos en su entorno que no requieren contacto físico directo entre los dos objetos. Las interacciones sin contacto incluyen la interacción de la niña con los campos gravitacional y electromagnético en su vecindad. (La forma en que se crean estos campos y cómo pueden afectar a la niña poco a poco se incorporará a nuestro modelo de física).

En el nivel actual de complejidad, sin embargo, la única interacción sin contacto de la que debes preocuparte es la interacción de la niña con el campo gravitacional creado por la tierra, que simplemente llamaremos la fuerza de la gravedad. La dirección de esta fuerza es hacia abajo, hacia el centro de la tierra.
Interacciones de

contacto Las interacciones de contacto ocurren en cada punto del cuerpo de la niña en el que está en contacto físico directo con un objeto externo. El más obvio de estos es la cuerda. La niña está en contacto con la cuerda, por lo que la cuerda y la niña ejercen fuerzas la una sobre la otra. Estas fuerzas son iguales en magnitud. Recuerde, sin embargo, que es sólo la fuerza ejercida sobre la niña la que se indica en un diagrama de cuerpo libre de la niña. La ubicación de esta fuerza está a manos de las niñas, y la dirección de esta fuerza es hacia arriba. (La dirección de esta fuerza no puede ser baja, porque eso implicaría que la cuerda está empujando a la niña, en lugar de jalarla. Es imposible que una cuerda empuje a alguien, a menos que sea una cuerda muy rígida. Las cuerdas muy rígidas se llamarán varillas.)

Los únicos otros objetos que realmente hacen contacto con la niña son las moléculas de aire. Las moléculas de aire interactúan con la niña por todos lados, cada una ejerciendo una pequeña fuerza directamente hacia adentro, perpendicular al cuerpo de la niña. Si bien cada una de estas fuerzas es muy pequeña, su suma no siempre es pequeña. Por ejemplo, si la niña cayera libremente de un avión la gran cantidad de moléculas de aire que chocan con la niña desde abajo, versus el número bastante pequeño que choca desde arriba, y la fuerza de estas colisiones, se sumaría a una fuerza muy grande que actúa hacia arriba sobre la niña. Esta fuerza fácilmente podría ser igual en magnitud a la fuerza de gravedad sobre la niña. La fuerza de las moléculas de aire sobre un objeto, conocida como resistencia al aire, a menudo se ignora al analizar escenarios simplemente por la dificultad de lidiar con la complejidad.

Sin embargo, en muchos casos los efectos de las moléculas de aire son insignificantes en comparación con las otras fuerzas que actúan sobre el objeto. Este es el caso de la chica trepando la cuerda. Las fuerzas ejercidas por las moléculas de aire probablemente están muy cerca de distribuirse uniformemente alrededor de la superficie de la niña. Así, por cada molécula de aire que la empuja hacia la derecha, probablemente haya una molécula de aire empujándola hacia la izquierda. Estas fuerzas se sumarán a una fuerza total muy cercana a cero.

A continuación se muestra un diagrama de cuerpo libre correcto para la niña:

Dado que un sistema de coordenadas es crucial para traducir diagramas de movimiento y diagramas de cuerpo libre en relaciones matemáticas, se ha agregado un sistema de coordenadas al diagrama de cuerpo libre. Siempre es una buena idea utilizar el mismo sistema de coordenadas tanto para el diagrama de cuerpo libre como para el diagrama de movimiento.

Cálculo de la Fuerza de Gravedad cerca de la Superficie de la Tierra

Además de crear las tres leyes del movimiento antes mencionadas, Newton también postuló la Ley de Gravitación Universal. Esta ley establece que cada objeto de masa en el universo crea un campo gravitacional, y cada objeto de masa en el universo detecta e interactúa con el campo de todos los demás objetos. ¡Eso es un montón de fuerzas! Tratar de identificar y estimar la magnitud de todas estas fuerzas sobre un objeto cercano a la superficie de la tierra sería una tarea de por vida.

Por suerte, la fuerza del campo gravitacional depende de la masa del objeto que produce el campo, e inversamente como el cuadrado de la distancia del objeto. Cuanto más masivo es el objeto, más fuerte es el campo. Cuanto más cerca esté el objeto, más fuerte será el campo. Así, dado que la tierra es mucho más masiva que cualquier otro objeto cercano, al crear diagramas de cuerpo libre para objetos cercanos a la superficie de la tierra podemos incluir con seguridad solo el campo gravitacional debido a la tierra, ignorando todos los demás, relativamente pequeños, campos gravitacionales.

La magnitud del campo gravitacional de un objeto masivo (g) depende de la masa del objeto (M), la distancia desde el centro del objeto (d), y una constante llamada, apropiadamente, la constante gravitacional (G). La relación es:

\[g=\frac{G M}{d^{2}} \nonumber\]

Cerca de la superficie de la tierra, el campo gravitacional tiene una magnitud de aproximadamente 9.8 N/kg. Si bien la intensidad del campo gravitacional varía con la distancia desde la superficie de la tierra, ignoraremos esta ligera variación a menos que se indique explícitamente que incluya sus efectos.

La fuerza gravitacional que siente un objeto masivo en presencia de un campo gravitacional viene dada por el producto de la masa del objeto y la magnitud del campo gravitacional en la ubicación del objeto:

\[F_{\text {gravity }}=m g \nonumber\]

Aplicando la Segunda Ley de Newton

Volvamos al escenario investigado y hagamos algo de información cuantitativa más explícito. Entonces, podemos intentar investigar más a fondo la situación usando la Segunda Ley de Newton.

Una niña de 30 kg se levanta una cuerda a una velocidad aproximadamente constante usando solo sus manos.

La Segunda Ley de Newton establece:

\[\Sigma F=m a \nonumber\]

\(\Sigma F\)se refiere a la suma de todas las fuerzas que actúan sobre la niña, la fuerza de la cuerda (que es positiva en nuestro sistema de coordenadas) y la fuerza de gravedad (que es negativa en nuestro sistema de coordenadas). Por lo tanto,

\[F_{\text {rope }}-F_{\text {gravity }}=m a \nonumber\]

Dado que m = 30 kg, y a = 0 m/s ² (ya que sube a velocidad constante), la ecuación se convierte en:

\[F_{\text {rope }}-F_{\text {gravity }}=0 \nonumber\]

Por la relación de Newton por la fuerza de gravedad:

\ [\ comenzar {alineado}
F_ {\ texto {gravedad}} &=m g\
F_ {\ texto {gravedad}} & =( 30 k g)\ izquierda (9.8\ frac {N} {k g}\ derecha)\\
F_ {\ texto {gravedad}} &=294 N
\ final {alineado}\ nonumber\]

Por lo tanto:

\ [\ begin {array} {l}
F_ {\ text {cuerda}} -294 N=0\\
F_ {\ texto {cuerda}} =294 N
\ end {array}\ nonumber\]

Así, la Segunda Ley de Newton nos permite determinar la fuerza con la que la cuerda tira de la niña. Por supuesto, por la Tercera Ley de Newton, la fuerza con la que la niña tira de la cuerda es igual en magnitud, por lo que la niña ejerce una fuerza de 294 N sobre la cuerda.

Si la niña no hubiera subido a la cuerda a una velocidad aproximadamente constante, habría que determinar su aceleración, ya sea a partir de una mención explícita en la descripción o mediante el uso de las relaciones cinemáticas desarrolladas en la última unidad, para luego insertarse en la Segunda Ley de Newton. Si su aceleración hubiera sido dirigida hacia arriba (positiva) la fuerza de la cuerda sobre la niña habría tenido que ser mayor. Si su aceleración hubiera sido dirigida hacia abajo (negativa) la fuerza de la cuerda sobre la niña habría tenido que ser menor.

Analizando un escenario más complejo

Antes de comenzar a analizar escenarios dinámicos por tu cuenta, trabajemos nuestro camino a través de un escenario más complejo.

Para practicar la caída, una bóveda de poste de 55 kg cae del reposo de una pared a 5.0 m sobre un cojín de espuma. La bóveda de polo se hunde aproximadamente 1.8 m en el cojín antes de detenerse.

Antes de comenzar a analizar las fuerzas que actúan sobre esta bóveda de poste, creo que deberíamos tratar de manejar la cinemática de la situación. Por lo tanto, nuestro primer paso para analizar esta situación es dibujar un diagrama de movimiento y tabular la información de movimiento.

Evento 1: El instante en que ella sale de la pared.	Evento 2: El instante en que ella golpea el cojín.	Evento 3: El instante en que ella viene a descansar.
t ₁ = 0 s	t ₂ =	t ₃ =
r ₁ = 0 m	r ₂ = 5.0 m	r ₃ = 6.8 m
v ₁ = 0 m/s	v ₂ =	v ₃ = 0 m/s
a ₁₂ =		a ₂₃ =

Observe que entre el instante en que sale de la pared y el instante en que golpea el cojín la aceleración es positiva (abajo), mientras que entre el instante en que golpea el cojín y el instante en que llega a descansar la aceleración es negativa (arriba). Así, al aplicar las relaciones cinemáticas y la Segunda Ley de Newton tendremos que tener cuidado de no confundir variables entre estos dos intervalos.

¡Lo que debería saltarte es el hecho de que este escenario cinemático no se puede resolver! Hay cinco cantidades cinemáticas desconocidas y sólo cuatro ecuaciones cinemáticas. Se necesita algo más para completar la descripción cinemática. Veamos las fuerzas que actúan sobre la bóveda de pértiga para ver si podemos averiguar otra pieza de información cinemática.

Entre los dos primeros instantes, la única fuerza que actúa sobre la bóveda de pértiga es la fuerza de la gravedad. Una vez que golpea el cojín, sin embargo, hay dos fuerzas que actúan sobre el polo-bóveda, la fuerza de la gravedad y la fuerza del cojín. Los diagramas correctos de cuerpo libre para estas dos fases distintas de su movimiento se dan a continuación.

El diagrama de la izquierda corresponde al primer intervalo de tiempo y el diagrama de la derecha al segundo intervalo de tiempo. Para cada uno de estos diagramas de cuerpo libre, aplicaré la Segunda Ley de Newton:

\[\begin{array}{ll} \Sigma F=m a_{12} & \qquad \qquad \qquad \Sigma F=m a_{23} \\ +F_{\text {gravity }}=(55 \mathrm{~kg}) a_{12} & \qquad \qquad \qquad +F_{\text {gravity }}-F_{\text {cushion }}=(55 \mathrm{~kg}) a_{23} \end{array} \nonumber\]

Desde

\ [\ begin {alineado}
F_ {\ text {gravedad}} &=m g\
F_ {\ texto {gravedad}} & =( 55\ mathrm {~kg})\ izquierda (9.8\ frac {\ mathrm {N}} {\ mathrm {kg}}\ derecha)\
F_ {\ texto {gravedad}} &=539\ mathrm {~N}
\ fin alineado}\ nonumber\]

\[\begin{array}{ll} 539 N=(55 \mathrm{~kg}) a_{12} & \qquad \qquad \qquad 539 N-F_{\text {cushion }}=(55 \mathrm{~kg}) a_{23} \\ a_{12}=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} & \end{array} \nonumber\]

Así, a partir de la Segunda Ley de Newton, sabemos que la aceleración durante la caída es de 9.8 m/s ². (Todavía no sabemos cuál fue la aceleración durante la porción de impacto del movimiento). Sustituir este valor de nuevo en la tabla de movimiento produce:

Evento 1: El instante en que ella sale de la pared.	Evento 2: El instante en que ella golpea el cojín.	Evento 3: El instante en que ella viene a descansar.
t ₁ = 0 s	t ₂ =	t ₃ =
r ₁ = 0 m	r ₂ = +5.0 m	r ₃ = +6.8 m
v ₁ = 0 m/s	v ₂ =	v ₃ = 0 m/s
a ₁₂ = 9.8 m/s ²		a ₂₃ =

Esto ahora es solucionable, usando estrictamente cinemática, para las cuatro incógnitas restantes. Intenta hacer los cálculos por tu cuenta y compara tu resultado con:

Evento 1: El instante en que ella sale de la pared.	Evento 2: El instante en que ella golpea el cojín.	Evento 3: El instante en que ella viene a descansar.
t ₁ = 0 s	t ₂ = 1.0 s	t ₃ = 1.36 s
r ₁ = 0 m	r ₂ = +5.0 m	r ₃ = +6.8 m
v ₁ = 0 m/s	v ₂ = +9.9 m/s	v ₃ = 0 m/s
a ₁₂ = 9.8 m/s ²		a ₂₃ = -27 m/s ²

Ahora tenemos una descripción cinemática completa de la moción.

Volviendo a la Segunda Ley de Newton para la porción de impacto de la moción,

\ [\ begin {array} {l}
539 N-F_ {\ text {cojín}} =( 55\ mathrm {~kg}) a_ {23}\\
539 N-F_ {\ text {cojín}} =( 55\ mathrm {~kg})\ left (-27\ mathrm {~m}/\ mathrm {s} ^ {2}\ derecha)\
539 N-F_ {\ texto {cojín}} =-1485\ mathrm {~N}\\
F_ {\ texto {cojín}} =2024\ mathrm {~N}
\ end {array}\ nonumber\]

El cojín ejerce una fuerza de aproximadamente 2000 N sobre la bóveda de pértiga para detener su caída.

Sugerencias y sugerencias

La Magnitud del Campo Gravitacional

Muy a menudo, los estudiantes cometen un par de errores al tratar con la magnitud del campo gravitacional, g.

1. 'g' nunca es negativo.

Dado que g es la magnitud del campo gravitacional, no puede ser un número negativo. Como magnitud, no tiene una dirección asociada con i t! ¡Resista toda tentación de reemplazar 'g' por el valor “-9.8 N/kg”!

Parte de la confusión radica en el hecho de que el campo gravitacional sí tiene una dirección asociada. El campo gravitacional de la tierra se dirige hacia abajo hacia el centro de la tierra. Aun así, el campo gravitacional no es negativo. Negativo solo tiene sentido en relación con un sistema de coordenadas, y como siempre eres libre de elegir cualquier sistema que quieras, es tan probable que el campo gravitacional esté orientado en la dirección positiva como la negativa

2. 'g' no es una aceleración.

A menudo, los estudiantes han aprendido que 'g' es la “aceleración debida a la gravedad”. Sin embargo, mientras me siento aquí en una silla escribiendo este libro, la fuerza de la gravedad está actuando sobre mí y definitivamente no estoy acelerando a 9.8 m/s ¡²! De hecho, la fuerza de la gravedad ha actuado sobre mí por cada segundo de mi vida y sólo muy raramente he acelerado a 9.8 m/s ². 'g' mide la fuerza del campo gravitacional. Como tal, se relaciona con la fuerza gravitacional, que, como todas las fuerzas, puede dar elevación a las aceleraciones. No obstante, es la fuerza total que actúa sobre un objeto la que determina su aceleración, no simplemente la fuerza de la gravedad.

Es cierto que las unidades de 'g', N/kg, son también las unidades de aceleración, ya que un Newton se define como un kg m/s ². También es cierto que en un escenario muy específico ², cuando la única fuerza que actúa sobre un objeto es la fuerza de la gravedad, la magnitud de la aceleración del objeto es numéricamente igual a 'g'. Sin embargo, también existen escenarios muy específicos en los que la aceleración de un objeto es numéricamente igual a 4.576 m/s ², o 62.31452 m/s ². La fuerza de la física es su capacidad para analizar diversos escenarios con el mismo pequeño conjunto de herramientas, no para desarrollar herramientas especializadas adaptadas a cada escenario específico diferente. La Segunda Ley de Newton siempre te permitirá determinar la aceleración de un objeto, si la fuerza de la gravedad actúa sola o no.

Nota

2 Cuando la única fuerza que actúa sobre un objeto es la fuerza de la gravedad, la situación se llama caída libre.

Tercera Ley de Newton

Muchos estudiantes de física han escuchado el dicho: “Por cada acción hay una repetición igual y opuesta”. Me obligaron a memorizar esta declaración en una clase de ciencias de secundaria, y me dijeron que se llamaba la Tercera Ley de Newton. Estoy seguro de que no tenía idea de lo que realmente significaba. Afirma que hay una reacción ante cada acción, lo que parece implicar que la “acción” ocurre primero. Esto no es lo que significa la ley. Realmente no hay separación ni posible distinción entre acción y reacción. Una mejor manera de verlo es que existe una interacción entre dos objetos, y los dos “lados” de esta interacción experimentan exactamente la misma fuerza. Por supuesto, el efecto de esta fuerza mutuamente simétrica que actúa sobre los dos objetos no necesita ser idéntico.

Como prueba de su comprensión de la Tercera Ley de Newton, trate de responder a la siguiente pregunta:

Nota

Mientras conduces por la carretera, un mosquito salpiza contra el parabrisas de tu auto. Durante la colisión entre el mosquito y el auto,

a. la fuerza sobre el mosquito fue mayor en magnitud que la fuerza sobre el automóvil.

b. la fuerza sobre el carro fue mayor en magnitud que la fuerza sobre el mosquito.

c. la fuerza sobre el mosquito fue igual en magnitud a la fuerza sobre el automóvil.

d. es imposible determinar los tamaños relativos de las fuerzas sin más información.

Por extraño que parezca, la respuesta correcta es 'c'. Las fuerzas ejercidas sobre el mosquito y el auto son iguales en magnitud. En la terminología utilizada en este capítulo, el mosquito y el automóvil interactúan (probablemente una interacción desagradable para el mosquito), y en una interacción los dos agentes involucrados ejercen fuerzas iguales entre sí.

Sin embargo, obviamente algo es diferente en la interacción desde la perspectiva del mosquito. Lo que es diferente no es la fuerza que actúa sobre el mosquito sino su aceleración. Si bien las fuerzas que actúan sobre el mosquito y el automóvil son las mismas, la aceleración del mosquito es mucho mayor que la aceleración del automóvil porque la masa del mosquito es mucho menor que la masa del automóvil. La aceleración del auto es tan pequeña que ni siquiera es notada por el conductor, ¡mientras que la aceleración del mosquito ciertamente la nota el mosquito!

Actividades

Construya diagramas de cuerpo libre para los objetos que se describen a continuación.

a. al lanzar una pelota verticalmente hacia arriba, mi mano se mueve a través de una distancia de aproximadamente 1.0 m antes de que la pelota salga de mi mano. La bola de 0.80 kg alcanza una altura máxima de unos 20 m sobre mi mano.

b. para practicar la caída, una bóveda de poste de 55 kg cae de una pared de 6.0 m sobre un cojín de espuma de 2.0 m de espesor que descansa sobre el suelo. No obstante, echa de menos el cojín.

c. Una luminaria decorativa en un elevador consiste en una luz de 2.0 kg suspendida por un cable desde el techo del elevador. De esta luz, un cable separado suspende una segunda luz de 0.80 kg.

Construya diagramas de cuerpo libre para los objetos que se describen a continuación.

a. El motor de un cohete de 4000 kg produce un empuje de 70,000 N durante 15 s. El cohete se dispara verticalmente hacia arriba.

b. Cansado de subir las escaleras, un estudiante de ingeniería de 80 kg diseña un ingenioso dispositivo para llegar a su dormitorio del tercer piso. Un bloque de 84 kg está unido a una cuerda que pasa sobre una polea. El alumno sostiene el otro extremo de la cuerda. Cuando se libera el bloque de 84 kg, el alumno es detenido hasta su dormitorio.

c. Un bloque de 1.0 kg se apila sobre un bloque de 2.0 kg en el piso de un elevador que se mueve hacia abajo a velocidad constante.

Una cuadra cuelga del techo de un elevador por una cuerda. Para cada una de las siguientes situaciones, circule el símbolo de relación correcta entre la magnitud de la fuerza de la cuerda en el bloque y la magnitud de la fuerza de gravedad en el bloque y explique su razonamiento.

a. El elevador está en reposo.

\[\mathrm{F}_{\text {string on block }}> \boxed{=} < \ ? \quad \mathrm{F}_\text{gravity on block }\nonumber\]

Explicación:

Dado que el bloque no se está acelerando, las dos fuerzas que actúan sobre él deben ser iguales en magnitud.

b. El elevador se mueve hacia arriba a una velocidad constante.

\[F_{\text {string on block }}>\boxed{=}< \ ? \quad F_\text{gravity on block } \nonumber\]

Explicación:

Dado que el bloque aún no se está acelerando, las dos fuerzas que actúan sobre él deben ser iguales en magnitud.

c. El elevador se mueve hacia abajo a una velocidad decreciente.

\[F_\text{string on block } \boxed{>} \ =\ <\ ? \quad F_\text {gravity on block } \nonumber\]

Explicación:

Dado que el bloque se está acelerando hacia arriba, la fuerza dirigida hacia arriba (la fuerza de la cuerda) debe ser mayor que la fuerza dirigida hacia abajo (la fuerza de la gravedad).

d. El elevador se mueve hacia arriba a una velocidad creciente.

\[F_\text{string on block } \boxed{>} \ =\ <\ ? \quad F_\text {gravity on block } \nonumber\]

Explicación:

El bloque se acelera hacia arriba, por lo que la fuerza dirigida hacia arriba debe ser mayor que la fuerza dirigida hacia abajo

Un hombre se para en una báscula de baño dentro de un elevador. Para cada una de las siguientes situaciones, circule el símbolo de relación correcta entre la magnitud de la fuerza de la escala sobre el hombre y la magnitud de la fuerza de gravedad sobre el hombre y explique su razonamiento.

a. El elevador está en reposo.

\[F_\text {scale on man } \quad >\ =\ <\ ? \quad F_\text {gravity on man } \nonumber\]

Explicación:

b. El elevador se mueve hacia abajo a una velocidad constante.

\[F_\text {scale on man } \quad >\ =\ <\ ? \quad F_\text {gravity on man } \nonumber\]

Explicación:

c. El elevador se mueve hacia abajo a una velocidad creciente.

\[F_\text {scale on man } \quad >\ =\ <\ ? \quad F_\text {gravity on man } \nonumber\]

Explicación:

d. El elevador se mueve hacia arriba a una velocidad decreciente.

\[F_\text {scale on man } \quad >\ =\ <\ ? \quad F_\text {gravity on man } \nonumber\]

Explicación:

Dos bloques se apilan uno encima del otro en el piso de un elevador. Para cada una de las siguientes situaciones, circule el símbolo de relación correcta entre las dos magnitudes de fuerza y explique su razonamiento.

a. El elevador se mueve hacia abajo a una velocidad constante.

\[F_\text {bottom block on top block} \quad >\ =\ <\ ? \quad F_\text {top block on bottom block}\nonumber\]

Explicación:

\[F_\text {bottom block on top block} \quad >\ =\ <\ ? \quad F_\text {gravity on top block}\nonumber\]

Explicación:

b. El elevador se mueve hacia abajo a una velocidad creciente.

\[F_\text {bottom block on top block} \quad >\ =\ <\ ? \quad F_\text {top block on bottom block}\nonumber\]

Explicación:

\[F_\text {bottom block on top block} \quad >\ =\ <\ ? \quad F_\text {gravity on top block}\nonumber\]

Explicación:

c. El elevador se mueve hacia arriba a una velocidad decreciente.

\[F_\text {bottom block on top block} \quad >\ =\ <\ ? \quad F_\text {top block on bottom block}\nonumber\]

Explicación:

\[F_\text {bottom block on top block} \quad >\ =\ <\ ? \quad F_\text {gravity on top block}\nonumber\]

Explicación:

a. si la gráfica es de posición vs. tiempo, clasificar estas gráficas en función de la fuerza total que actúa sobre el objeto.

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Negativo más grande

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

b. Si la gráfica es de velocidad vs. tiempo, clasifique estas gráficas en función de la fuerza total que actúa sobre el objeto.

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Negativo más grande

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

A continuación se muestran seis automóviles que viajan a velocidad constante. Los automóviles tienen diferentes masas y velocidades. Clasificar estos automóviles en función de la magnitud de la fuerza total que actúa sobre ellos.

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Negativo más grande

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

A continuación se muestran seis pelones de béisbol idénticos poco después de ser lanzados. Al instante mostrado, se indica la velocidad del beisbol, junto con la distancia que ha recorrido la pelota y el tiempo transcurrido desde que dejó la mano del lanzador. Clasificar estas pelotas de béisbol en base a la magnitud de la fuerza de la mano del lanzador que actualmente actúa sobre ellas.

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Negativo más grande

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

A continuación se muestran tres bloques apilados uno encima del otro en reposo. Clasificar la magnitud de las fuerzas a las que se hace referencia a continuación de mayor a menor.

A La fuerza del bloque de 3 kg sobre el bloque de 2 kg

B La fuerza del bloque de 2 kg sobre el bloque de 3 kg

C La fuerza del bloque de 3 kg sobre el bloque de 1 kg

D La fuerza del bloque de 1 kg sobre el bloque de 3 kg

E La fuerza del bloque de 2 kg sobre el bloque de 1 kg

F La fuerza del bloque de 1 kg sobre el bloque de 2 kg

G La fuerza del bloque de 1 kg en el piso

H La fuerza del piso sobre el bloque de 1 kg

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Negativo más grande

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

Debajo hay tres bloques apilados uno encima del otro dentro de un elevador que se mueve hacia arriba a una velocidad creciente. Clasificar la magnitud de las fuerzas a las que se hace referencia a continuación de mayor a menor.

A La fuerza del bloque de 3 kg sobre el bloque de 2 kg

B La fuerza del bloque de 2 kg sobre el bloque de 3 kg

C La fuerza del bloque de 3 kg sobre el bloque de 1 kg

D La fuerza del bloque de 1 kg sobre el bloque de 3 kg

E La fuerza del bloque de 2 kg sobre el bloque de 1 kg

F La fuerza del bloque de 1 kg sobre el bloque de 2 kg

G La fuerza del bloque de 1 kg en el piso del elevador

H La fuerza del piso del elevador sobre el bloque de 1 kg

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Negativo más grande

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

Para cada una de las colisiones ilustradas a continuación, circule el símbolo de relación correcta entre la magnitud de la fuerza del automóvil A en el automóvil B y la magnitud de la fuerza del automóvil B en el automóvil A y explique su razonamiento.

\[\begin{array}{l} F_{\text {car } A \text { on car B}} \quad>\ =\ <\ ? \quad F_{\text {car B on car A }} \end{array} \nonumber\]

Explicación:

\[\begin{array}{l} F_{\text {car } A \text { on car B}} \quad>\ =\ <\ ? \quad F_{\text {car B on car A }} \end{array} \nonumber\]

Explicación:

\[\begin{array}{l} F_{\text {car } A \text { on car B}} \quad>\ =\ <\ ? \quad F_{\text {car B on car A }} \end{array} \nonumber\]

Explicación:

Un hombre de 100 kg preocupado por su peso decide pesarse en un elevador. Se para en una báscula de baño en un elevador que se mueve hacia arriba a 3.0 m/s. A medida que el elevador llega a su piso, se ralentiza hasta detenerse en una distancia de 2.0 m.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Evento 1: El instante en que el elevador comienza a desacelerarse.	Evento 2: El instante en que se detiene.
t ₁ = 0 s	t ₂ =
r ₁ = 0 m	r ₂ = + 2.0 m
v ₁ = 3.0 m/s	v ₂ = 0 m/s
a ₁₂ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis matemático

Dado que solo hay dos cantidades cinemáticas desconocidas, podemos determinarlas por nuestras dos ecuaciones cinemáticas.

\ [\ begin {array} {l}
v_ {2} =v_ {1} +a_ {12}\ izquierda (t_ {2} -t_ {1}\ derecha)\\
\ izquierda.0=3+a_ {12} t_ {2} -0\ derecha)\\
a_ {12} =\ frac {-3} {t_ {2}}
\ end {array}\ nonumber\]

Ahora sustituya esta expresión por la otra ecuación:

\ [\ begin {array} {l}
r_ {2} =r_ {1} +v_ {1}\ izquierda (t_ {2} -t_ {1}\ derecha) +\ frac {1} {2} a_ {12}\ izquierda (t_ {2} -t_ {1}\ derecha) ^ {2}\
2=3 t_ {2} +\ frac {1} {2} a_ {12} t_ {2} ^ {2}\
2=3 t_ {2} +\ frac {1} {2}\ izquierda (\ frac {-3} {t_ {2}}\ derecha) t_ {2} ^ {2}\
2=3 t_ {2} -1.5 t_ {2}\\
2=1.5 t_ {2}\\
t_ {2} =1.33 s
\ end {array}\ nonumber\]

Sustituya este resultado de nuevo en la ecuación original:

\ [\ begin {array} {l}
a_ {12} =\ frac {-3} {1.33}\\
a_ {12} =-2.25\ mathrm {~m}/\ mathrm {s} ^ {2}
\ end {array}\ nonumber\]

Ahora aplica la Segunda Ley de Newton al hombre:

\ [\ begin {array} {l}
\ Sigma f=M a\\
F_ {\ texto {escala}} -F_ {\ texto {gravedad}} =( 100) (-2.25)\
F_ {\ texto {escala}} - (100) (9.8) =-225\
F_ {\ texto {escala}} =755 N
\ end {array}\ nonumber\]

Un niño de 40 kg está colgado de una cuerda de sus manos. Ella ejerce un estallido de fuerza y 2.0 s después viaja a 1.4 m/s por la cuerda.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
t ₁ =	t ₂ =
r ₁ =	r ₂ =
v ₁ =	v ₂ =
a ₁₂ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ¹⁴

Una bóveda de 55 kg, justo antes de tocar el cojín sobre el que aterriza después de un salto, está cayendo hacia abajo a una velocidad de 10 m/s La bóveda de pértiga se hunde aproximadamente 2.0 m en el cojín antes de detenerse.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
t ₁ =	t ₂ =
r ₁ =	r ₂ =
v ₁ =	v ₂ =
a ₁₂ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ¹⁵

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Evento 1: Se presiona el botón de parada	Evento 2: Se detiene el elevador.
t ₁ = 0 s	t ₂ = 1.2 s
r ₁ = 0 m	r ₂ =
v ₁ = 4.0 m/s	v ₂ = 0 m/s
a ₁₂ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis matemático

Dado que solo hay dos cantidades cinemáticas desconocidas, podemos determinarlas por nuestras dos ecuaciones cinemáticas. Tenga en cuenta que ambas luces tienen la misma descripción cinemática.

\ [\ begin {array} {l}
0=4+a_ {12} (1.2-0)\\
a_ {12} =-3.33\ mathrm {~m}/\ mathrm {s} ^ {2}
\ end {array}\ nonumber\]

\ [\ begin {array} {l}
r_ {2} =0+4 (1.2-0) +\ frac {1} {2} (-3.33) (1.2-0) ^ {2}\\
r_ {2} =2.4 m
\ end {array}\ nonumber\]

Ahora aplica la Segunda Ley de Newton a las dos luces:

luz inferior

\[\begin{array}{l} -F_{\text {bottomcable }}+F_{\text {gravity }}=m a \\ -F_{\text {bottomcable }}+(0.8)(9.8)=(0.8)(-3.33) \\ F_{\text {bottomcable }}=10.5 N \end{array} \nonumber\]

luz superior

\ [\ begin {array} {l}
-F_ {\ text {topcable}} +F_\ text {bottomcable} +F_ {\ text {gravedad}} =m a\\
-F_ {\ text {topcable}} +10.5+ (2.0) (9.8) =( 2.0) (-3.33)\\
F_ {\ text {topcable}} =36.8 N
\ end {array}\ nonumber\]

Una luminaria decorativa en un elevador consiste en una luz de 2.0 kg suspendida por un cable desde el techo del elevador. De esta luz, un cable separado suspende una segunda luz de 0.80 kg. El elevador se mueve hacia abajo a 4.0 m/s cuando alguien presiona el botón de parada de emergencia. Durante la parada, el cable superior se rompe. El ingeniero de ascensores dice que el cable podría soportar una fuerza de 40 N sin romperse.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
t ₁ =	t ₂ =
r ₁ =	r ₂ =
v ₁ =	v ₂ =
a ₁₂ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ¹⁶

Un estudiante de 70 kg se encuentra a 120 m sobre el suelo, moviéndose hacia arriba a 3.5 m/s, mientras cuelga de una cuerda que cuelga de un globo de helio de 280 kg. El levantamiento del globo debido a la fuerza de flotación es de 3000 N.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
t ₁ =	t ₂ =
r ₁ =	r ₂ =
v ₁ =	v ₂ =
a ₁₂ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ¹⁷

Para practicar la caída, una bóveda de poste de 55 kg cae de una pared 6.0 m sobre un cojín de espuma. La bóveda de polo se hunde aproximadamente 1.4 m en el cojín antes de detenerse.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:	Evento 3:
t ₁ =	t ₂ =	t ₃ =
r ₁ =	r ₂ =	r ₃ =
v ₁ =	v ₂ =	v ₃ =
a ₁₂ =		a ₂₃ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ¹⁸

Para practicar la caída, una bóveda de poste de 55 kg cae de una pared a 6.0 m por encima de un cojín de espuma de 2.0 m de espesor que descansa sobre el suelo. No obstante, echa de menos el cojín. La bóveda de polo se hunde aproximadamente 0.10 m en el suelo antes de detenerse.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:	Evento 3:
t ₁ =	t ₂ =	t ₃ =
r ₁ =	r ₂ =	r ₃ =
v ₁ =	v ₂ =	v ₃ =
a ₁₂ =		a ₂₃ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ¹⁹

Al lanzar una bola de 0.80 kg verticalmente hacia arriba, mi mano se mueve a través de una distancia de aproximadamente 1.0 m antes de que la pelota salga de mi mano. El balón me deja la mano a 35 m/s.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:	Evento 3: La bola alcanza su altura máxima
t ₁ =	t ₂ =	t ₃ =
r ₁ =	r ₂ =	r ₃ =
v ₁ =	v ₂ =	v ₃ =
a ₁₂ =		a ₂₃ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ²⁰

El motor de un cohete de 4000 kg produce un empuje de 70,000 N durante 15 s. El cohete se dispara verticalmente hacia arriba.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:	Evento 3: El cohete alcanza su altura máxima
t ₁ =	t ₂ =	t ₃ =
r ₁ =	r ₂ =	r ₃ =
v ₁ =	v ₂ =	v ₃ =
a ₁₂ =		a ₂₃ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ²¹

Cansado de subir las escaleras, un estudiante de ingeniería de 80 kg diseña un ingenioso dispositivo para llegar a su dormitorio del tercer piso. Un bloque de 84 kg está unido a una cuerda que pasa sobre una polea. El alumno sostiene el otro extremo de la cuerda. Cuando se libera el bloque de 84 kg, el alumno es levantado hasta su dormitorio, a 8.0 m del suelo.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Objeto: Student
Evento 1: Se libera el bloque	Evento 2: Estudiante llega a la habitación.
t ₁ = = 0 s	t ₂ =
r ₁ = 0 m	r ₂ = +8.0 m
v ₁ = 0 m/s	v ₂ =
a ₁₂ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis matemático

Dado que hay tres variables cinemáticas, primero tendremos que analizar las fuerzas:

estudiante

\ [\ begin {array} {l}
F_ {\ text {cuerda}} -F_ {\ texto {gravedad}} =m a\\
F_ {\ texto {cuerda}} - (80) (9.8) =80 a_ {\ texto {estudiante}}
\ end {array}\ nonumber\]

bloquear

\ [\ begin {array} {l}
F_ {\ text {cuerda}} -F_ {\ texto {gravedad}} =m a\\
F_ {\ texto {cuerda}} - (84) (9.8) =84 a_ {\ text {bloque}}
\ end {array}\ nonumber\]

Debido a que están atados entre sí, la aceleración del alumno y la aceleración del bloque son iguales en magnitud, pero opuestas en dirección. Por lo tanto,\(a_{\text {block }}=-a_{\text {student. }}\)

\ [\ begin {array} {l}
F_ {\ text {cuerda}} -784=80 a_ {\ text {estudiante}}\\
F_ {\ text {cuerda}} =80 a_ {\ text {estudiante}} +784
\ end {array}\ nonumber\]

\ [\ begin {array} {l}
F_ {\ texto {cuerda}} -823=84\ izquierda (-a_ {\ texto {estudiante}}\ derecha)\\
\ izquierda (80 a_ {\ texto {estudiante}} +784\ derecha) -823=-84 a_ {\ texto {estudiante}}\\
164 a_ {\ texto {estudiante}} =39\
a_ {\ texto {estudiante}} =0.24\ mathrm {~m}/\ mathrm {s} ^ {2}
\ end {array}\ nonumber\]

Ahora podemos completar la descripción cinemática de la moción del alumno:

\ [\ begin {array} {l}
8=0+0\ izquierda (t_ {2} -0\ derecha) +\ frac {1} {2} (0.24)\ izquierda (t_ {2} -0\ derecha) ^ {2}\\
t_ {2} =8.18 s
\ end {array}\ nonumber\]

\ [\ begin {array} {l}
v_ {2} =0+0.24 (8.18-0)\\
v_ {2} =1.96\ mathrm {~m}/\ mathrm {s}
\ end {array}\ nonumber\]

Cansado de subir las escaleras, un estudiante de ingeniería de 80 kg diseña un ingenioso dispositivo para llegar a su dormitorio del tercer piso. Un bloque está unido a una cuerda que pasa sobre una polea. El alumno sostiene el otro extremo de la cuerda. Cuando se libera el bloque, el alumno es detenido hasta su dormitorio, a 8 m del suelo, en un tiempo de 1.8 s.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Objeto:
Evento 1:	Evento 2:
t ₁ = =	t ₂ =
r ₁ =	r ₂ =
v ₁ =	v ₂ =
a ₁₂ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ²²

Cansado de bajar las escaleras, un estudiante de ingeniería de 80 kg diseña un ingenioso dispositivo para llegar al suelo desde su dormitorio del tercer piso. Un bloque, en reposo en el suelo, está unido a una cuerda que pasa sobre una polea. El alumno sostiene el otro extremo de la cuerda. Cuando la alumna sale por la ventana, cae los 8 m al suelo en un tiempo de 1.8 s.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Objeto:
Evento 1:	Evento 2:
t ₁ = =	t ₂ =
r ₁ =	r ₂ =
v ₁ =	v ₂ =
a ₁₂ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ²³

Una estudiante de 60 kg se levanta del reposo a una velocidad de 1.5 m/s en 2.1 s. La silla tiene una masa de 35 kg.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Objeto:
Evento 1:	Evento 2:
t ₁ = =	t ₂ =
r ₁ =	r ₂ =
v ₁ =	v ₂ =
a ₁₂ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis matemático ²⁴

Una estudiante de 60 kg se baja 40 m a una velocidad constante de 1.0 m/s La silla tiene una masa de 35 kg.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Objeto:
Evento 1:	Evento 2:
t ₁ = =	t ₂ =
r ₁ =	r ₂ =
v ₁ =	v ₂ =
a ₁₂ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ²⁵

Un hombre de masa m, preocupado por su peso, decide pesarse en un elevador. Se para en una báscula de baño en un elevador moviéndose hacia arriba a velocidad v. A medida que el elevador llega a su piso, se ralentiza hasta detenerse a una distancia, d. Determinar la lectura en la báscula de baño (_escala F) en función de m, v, d y g.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Objeto:
Evento 1:	Evento 2:
t ₁ = =	t ₂ =
r ₁ =	r ₂ =
v ₁ =	v ₂ =
a ₁₂ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis matemático

Preguntas

Si v = 0 m/s, ¿qué debería igualar la _escala F? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si d = ∞, ¿qué debe igualar la _escala F? ¿Su función concuerda con esta observación?

Para qué distancia de parada, d, la báscula de baño leería 0 N? ¿La báscula también leería 0 N para esta distancia de parada si el elevador inicialmente se moviera hacia abajo?

Un pole-bóvedero que cae de masa m aterriza sobre un cojín a velocidad v. La bóveda de pértiga se hunde una distancia d en el cojín antes de detenerse. Determinar la fuerza ejercida sobre el polo-bóveda debido al cojín (_cojín F) en función de m, v, d y g.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Objeto:
Evento 1:	Evento 2:
t ₁ = =	t ₂ =
r ₁ =	r ₂ =
v ₁ =	v ₂ =
a ₁₂ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis matemático

Preguntas

Si v = 0 m/s, ¿qué debería ser igual el _cojín F? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si d = 0 m, ¿qué debería ser igual el _cojín F? ¿Su función concuerda con esta observación?

¿Qué sería peor para la bóveda de pértiga, golpeando el cojín al doble de su velocidad original o hundiendo la mitad de la distancia original en el cojín?

Un polo-bóveda de masa m cae de una pared a una distancia D por encima de un cojín. La bóveda de polo se hunde una distancia d en el cojín antes de detenerse. Determinar la fuerza ejercida sobre el polo-bóveda debido al cojín (_cojín F) en función de m, D, d y g.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:	Evento 3:
t ₁ =	t ₂ =	t ₃ =
r ₁ =	r ₂ =	r ₃ =
v ₁ =	v ₂ =	v ₃ =
a ₁₂ =		a ₂₃ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis matemático

Preguntas

Si D = ∞, ¿qué debería ser igual el _cojín F? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si d = 0 m, ¿qué debería ser igual el _cojín F? ¿Su función concuerda con esta observación?

¿Qué sería peor para la bóveda de pértiga, comenzando en el doble de la distancia inicial por encima del cojín o hundiendo la mitad de la distancia original en el cojín?

Cansado de subir las escaleras, un estudiante de ingeniería de mass m diseña un ingenioso dispositivo para llegar a su dormitorio del tercer piso. Un bloque de masa M está unido a una cuerda que pasa sobre una polea. El alumno sostiene el otro extremo de la cuerda. Cuando se libera el bloque, el alumno es llevado a su dormitorio en un tiempo T. Determinar la velocidad del alumno (v) cuando llega a su habitación en función de m, M, T y g.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Objeto:
Evento 1:	Evento 2:
t ₁ = =	t ₂ =
r ₁ =	r ₂ =
v ₁ =	v ₂ =
a ₁₂ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis matemático

Preguntas

Si g = 0 m/s ², ¿qué debería ser igual v? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si m = M, ¿qué debería ser igual v? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si M = ∞, ¿qué debería ser igual v? ¿Su función concuerda con esta observación?

Un cohete de masa m se dispara verticalmente hacia arriba desde el reposo. El motor del cohete produce un empuje de magnitud constante F de _empuje durante t segundos _{de empuje}. Determinar la altura máxima alcanzada por el cohete (H) en función del _empuje F, el _empuje t, m y g.

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:	Evento 3:
t ₁ =	t ₂ =	t ₃ =
r ₁ =	r ₂ =	r ₃ =
v ₁ =	v ₂ =	v ₃ =
a ₁₂ =		a ₂₃ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis matemático

Preguntas

Si g = 0 m/s ², ¿qué debe ser H igual? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si F _empuje = mg, ¿qué debe ser H igual? ¿Su función concuerda con esta observación?

Un cohete de masa m se dispara verticalmente hacia arriba desde el reposo. El motor del cohete produce un empuje de magnitud constante F de _empuje durante t segundos _{de empuje}. Determinar el tiempo que tarda el cohete en alcanzar su _{vértice (vértice} t) en función del _empuje F, el _empuje t, m y g.

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:	Evento 3:
t ₁ =	t ₂ =	t ₃ =
r ₁ =	r ₂ =	r ₃ =
v ₁ =	v ₂ =	v ₃ =
a ₁₂ =		a ₂₃ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis matemático

Preguntas

Si g = 0 m/s ², ¿qué debería ser igual t _ápice? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si F _empuje = mg, ¿qué debe ser igual al _ápice t? ¿Su función concuerda con esta observación?

Leyes de Conservación

Conceptos y principios

¿Qué es una Ley de Conservación?

En general, una ley de conservación es una afirmación de que una cierta cantidad no cambia con el tiempo. Si sabes cuanta cantidad de esta cantidad tienes hoy en día, puedes estar seguro de que la misma cantidad exacta de la cantidad estará disponible mañana. Richard Feynman dio una famosa explicación (al menos a los físicos) de la naturaleza de una ley de conservación.

Imagina que tu hijo tiene un juego de 20 bloques de madera. Todos los días antes de acostarse, recoge los bloques de su hijo para guardarlos. A medida que recoges los bloques, mantienes la cuenta en tu cabeza. Una vez que llegas a los 20, sabes que has encontrado todos los bloques y es innecesario que busques más tiempo. Esto se debe a que se conserva el número de bloques. Es lo mismo hoy que ayer.

Si un día solo encuentras 18 cuadras, sabes seguir buscando hasta encontrar las 2 cuadras faltantes. Además, con experiencia, descubres los típicos escondites para las cuadras. Ya sabes revisar debajo del sofá, o detrás de las cortinas.

Si su hijo es bullicioso, es posible que incluso tenga que mirar fuera de la habitación. A lo mejor tiró una o dos cuadras por la ventana. A pesar de que los bloques pueden desaparecer del interior de la habitación, y aparecer en el patio, si buscas por todas partes siempre encontrarás las 20 cuadras.

Los físicos han descubierto una serie de cantidades que se comportan exactamente como el número de bloques de madera. Examinaremos dos de estas cantidades, la energía y el impulso, a continuación.

La relación impulso-impulso

Si bien la Segunda Ley de Newton relaciona directamente la fuerza total que actúa sobre un objeto en un momento específico con la aceleración del objeto en ese mismo momento exacto, las leyes de conservación relacionan la cantidad de cierta cantidad presente en un momento con la cantidad presente en un momento posterior.

La primera cantidad conservada que investigaremos es el momentum. Por supuesto, el hecho de que se conserve el impulso no significa que el impulso de cualquier objeto o sistema de objetos en particular sea siempre constante. El impulso de un solo objeto, como el número de bloques en la sala de juegos, puede cambiar. Así como los bloques pueden ser arrojados por la ventana de la sala de juegos, el impulso de un solo objeto se puede cambiar aplicándole impulso. La relación entre impulso e impulso es, conceptualmente,

\[\text { initial momentum }+\text { impulse }=\text { final momentum } \nonumber\]

Pictorialmente, podemos visualizar esto como

En la práctica, identificaremos un objeto o colección de objetos (un sistema) y determinaremos la cantidad de impulso que contiene el sistema en algún momento inicial. Esta cantidad no puede cambiar a menos que se haga impulso al sistema. Llamamos a los procesos que traen impulso al sistema como impulsos positivos, y a los procesos que eliminan el impulso del sistema como impulsos negativos.

Matemáticamente esto está escrito como

\ [\ begin {array} {l}
\ begin {recolectar*}
\ text {momentum inicial} +\ text {impulso} =\ text {impulso final}\\
P_ {i} +J_ {i f} =P_ {f}\
\ Sigma m v_ {i} +\ Sigma F (\ Delta t) =\ Sigma m v_ {f}
\ end {gather*}
\ end {array}\ nonumber\]

donde

momentum (P) es el producto de la masa y velocidad de un objeto,
impulso (J) es el producto de una fuerza externa al sistema y el intervalo de tiempo durante el cual actúa,
e\(\Sigma\) indica que se debe sumar el impulso de todos los objetos del sistema y de todos los impulsos que actúan sobre el sistema.

En definitiva, si no se aplica ningún impulso a un sistema, su impulso se mantendrá constante. No obstante, si se aplica un impulso al sistema, su impulso cambiará en una cantidad exactamente igual al impulso aplicado. Este impulso no aparece ni desaparece sin dejar rastro. Simplemente se transfiere al objeto suministrando el impulso. En este sentido, el impulso es la transferencia de impulso dentro o fuera de un sistema, análogo a lanzar bloques dentro o fuera de una sala de juegos.

La relación trabajo-energía

La segunda cantidad conservada que investigaremos es la energía. Al igual que el impulso, o los bloques de madera, la conservación de la energía no significa que la energía de un objeto en particular sea siempre constante. La energía de un solo objeto o sistema de objetos se puede cambiar haciéndole trabajo. La relación entre trabajo y energía es, conceptualmente,

\[\text { initial energy }+\text { work }=\text { final energy } \nonumber\]

Pictorialmente, podemos visualizar esto como

Sin embargo, la similitud entre el impulso y la energía no es completa. Si bien solo hay una forma de impulso (es decir, un escondite para los “bloques” de impulso) hay varias formas de energía. Estas diferentes formas de energía se introducirán a medida que progreses a través de modelos cada vez más complicados del mundo físico. Por ahora, el único “escondite” que quiero discutir es la energía cinética. En términos de energía cinética, la relación conceptual anterior entre trabajo y energía se convierte, expresada matemáticamente,

\ [\ begin {array} {l}
\ begin {reunir*}
\ text {energía inicial} +\ texto {trabajo} =\ texto {energía final}
\\\ qquad K E_ {i} +W_ {i f} =K E_ {f}
\\ Sigma\ frac {1} {2} m v_ {i} ^ {2} +\ Sigma|F\ | Delta |\ cos\ phi=\ Sigma\ frac {1} {2} m v_ {f} ^ {2}
\ fin { reunir*}
\ end {array}\ nonumber\]

donde

la energía cinética (KE) es el producto de la mitad de la masa y la velocidad al cuadrado de un objeto,
trabajo (W) es producto de una fuerza (incluso una fuerza interna) y el desplazamiento sobre el que actúa (con detalles más sutiles que se discuten más adelante),
\( \Sigma\)indica que se debe sumar la energía cinética de todos los objetos del sistema y todo el trabajo realizado al sistema,
y definimos una nueva unidad, Joule (J), como J = kg (m/s) ² = N m

A diferencia de todo lo que hemos estudiado hasta este momento, la relación trabajo-energía es una ecuación escalar. Esto cobrará especial importancia cuando estudiemos objetos que se mueven en más de una dimensión. Por ahora, todo esto significa es que en la expresión para el trabajo\( |F \| \Delta r| \cos \phi\),, debemos usar la magnitud de la fuerza y la magnitud del cambio de posición. Este producto se multiplica entonces por\( \cos \phi\), donde\( \phi \) se define como el ángulo entre la fuerza aplicada y el desplazamiento del objeto. Si la fuerza y el desplazamiento están en la misma dirección\( \phi=0^{\circ}\), y el trabajo es positivo (el objeto gana energía). Si la fuerza y el desplazamiento están en dirección opuesta\(\phi=180^{\circ} \), y el trabajo es negativo (el objeto pierde energía). Tenga en cuenta que las direcciones reales de la fuerza y el desplazamiento no son importantes, solo sus direcciones relativas entre sí afectan el trabajo.

En general, si no se trabaja a un sistema, su energía cinética se mantendrá constante. No obstante, si se trabaja al sistema, su energía total cambiará en una cantidad exactamente igual al trabajo realizado. El trabajo es la transferencia de energía de un sistema a otro, de nuevo análogo a arrojar bloques de la sala de juegos al patio.

Herramientas de análisis

Aplicación de la relación impulso-momento a un solo objeto

Investiguemos el siguiente escenario:

Un cohete modelo de 0.35 kg está equipado con un motor que produce un empuje de 11.8 N por 1.8 s. El cohete se lanza verticalmente hacia arriba.

Para aplicar la relación impulso-impulso, debes especificar claramente los eventos iniciales y finales en los que tabularás el impulso. Por ejemplo:

Evento 1: El instante en que se enciende el motor.	Evento 2: En el instante en que el cohete alcanza la altura máxima.
P ₁ = 0	P ₂ = (0.35) v ₂
\(\mathrm{J}_{12}=+F_{\text {exhaust }}(1.8)-F_{\text {gravity }}(1.8)\)

Tenga en cuenta que cada fuerza externa que actúa sobre el cohete se multiplica por el intervalo de tiempo durante el cual actúa. (¡También tenga en cuenta que el motor del cohete no produce una fuerza sobre el cohete! El motor produce una fuerza descendente sobre los gases de escape calientes emitidos por el motor y estos gases calientes ejercen una fuerza de igual magnitud de respaldo sobre el cohete. Es por ello que la fuerza sobre el cohete está etiquetada como _escape F en lugar de _motor F.)

La aplicación de impulso-impulso al cohete durante este intervalo de tiempo produce:

\ [\ begin {array} {l}
P_ {1} +J_ {12} =P_ {2}\\
0+F_ {\ text {escape}} (1.8) -F_ {\ text {gravedad}} (1.8) =0.35 v_ {2}\\
0+ (11.8) (1.8) - (0.35) (9.8) (1.8) =0.35 v_ {2}\\
v_ {2} =43.0\ mathrm {~m}/\ mathrm {s}
\ end {array}\ nonumber\]

Así, el cohete viaja a 43.0 m/s en el instante en que el motor se apaga.

Por supuesto, no hay razón para que tuviéramos que analizar el movimiento del cohete entre los dos instantes de tiempo que seleccionamos anteriormente. Podríamos haber seleccionado los eventos:

Evento 1: El instante en que se enciende el motor.	Evento 2: En el instante en que el cohete alcanza la altura máxima.
P ₁ =	P ₂ = 0
\(\mathrm{J}_{12}=+F_{\text {exhaust }}(1.8)-F_{\text {gravity }}(\Delta t)\)

Durante este intervalo de tiempo, la fuerza de los gases de escape solo actúa sobre el cohete durante una porción de todo el intervalo de tiempo. Al señalar que la velocidad del cohete cuando alcanza su altura máxima es cero, impulso-impulso se vería así:

\ [\ begin {array} {l}
P_ {1} +J_ {12} =P_ {2}\\
0+F_ {\ text {escape}} (1.8) -F_ {\ text {gravedad}} (\ Delta t) =0\\
0+ (11.8) (1.8) - (0.35) (9.8) (\ Delta t) =0\
\ Delta t=6.19 s
\ end {array}\ nonumber\]

Así, el cohete se encuentra en el aire durante 6.19 s antes de alcanzar su altura máxima.

Aplicación de la relación trabajo-energía a un solo objeto

La relación trabajo-energía también tiene muchos usos para investigar escenarios físicos. Por ejemplo, volvamos a ver nuestro modelo de cohete:

Un cohete modelo de 0.35 kg está equipado con un motor que produce un empuje de 11.8 N por 1.8 s. El cohete se lanza verticalmente hacia arriba.

Suponiendo que ya hemos analizado este escenario usando impulso-impulso, ¿qué información adicional podemos extraer usando energía de trabajo?

Evento 1: El instante en que se enciende el motor.	Evento 2: En el instante en que el motor se apaga.
KE ₁ = 0	\(\mathrm{KE}_{2}=1 / 2 \ (0.35)(43)^{2}\)
\(\mathrm{W}_{12}=F_{\text {exhaust }}(\Delta r) \cos 0+F_{\text {gravity }}(\Delta r) \cos 180\)

Por lo tanto,

\ [\ begin {array} {l}
K E_ {1} +W_ {12} =K E_ {2}\\
0+\ izquierda|f_ {\ text {escape}}\ |\ Delta r\ derecha|\ cos 0+\ izquierda|f_ {\ text {gravedad}}\ derecho||\ Delta r|\ cos 180=\ frac {1} {2} (0.35) (43.2) ^ {2}\\
0+11.8 (\ Delta r) (1) + (0.35) (9.8) (\ Delta r) (-1) =327\\
11.8\ Delta r-3. 43\ Delta r=327\
\ Delta r=39.1\ mathrm {~m}
\ end {array}\ nonumber\]

Así, el cohete se eleva a una altura de 39.1 m antes de que los motores se apaguen.

¿Qué pasa si aplicamos trabajo-energía entre los dos eventos siguientes:

Evento 1: El instante en que se enciende el motor.	Evento 2: El instante en que el cohete alcanza su altura máxima
KE ₁ = 0	KE ₂ = 0
\(\mathrm{W}_{12}=F_{\text {exhaust }}(39) \cos 0+F_{\text {gravity }}(\Delta r) \cos 180\)

Durante este intervalo de tiempo, la fuerza de los gases de escape solo actúa sobre el cohete durante una porción de todo el desplazamiento, es decir, 39 m, mientras que la fuerza de gravedad actúa sobre todo el desplazamiento.

\ [\ begin {array} {l}
K E_ {1} +W_ {12} =K E_ {2}\\
0+ (11.8) (39)\ cos 0+ (0.35) (9.8) (\ Delta r)\ cos 180=0\\
0+460-3.43\ Delta r=0\
\ Delta r=134 m
\ end {array}\ nonumber\]

De esta manera, la altura máxima alcanzada por el cohete es de 134 m.

Energía Potencial Gravitacional

En cualquier situación en la que un objeto cambie su altura por encima de la superficie de la tierra, la fuerza de la gravedad sí funciona sobre el objeto. Es posible calcular este trabajo en general, y reescribir la relación trabajo-energía de tal manera que se incorporen los efectos de este trabajo. Esto se conoce como construir una función de energía potencial para el trabajo realizado por gravedad.

Imaginemos un objeto de masa, m, ubicado a una altura inicial, h _i, por encima del cero de un sistema de coordenadas verticales, con la dirección hacia arriba designada positiva. Se mueve a una altura final de h _f.

Para calcular el trabajo realizado por gravedad sobre este objeto:

\ [\ begin {array} {l}
W_ {\ text {gravedad}} =|F\ |\ Delta r|\ cos\ phi\\
W_ {\ texto {gravedad}} =( m g)\ izquierda (h_ {f} -h_ {i}\ derecha)\ cos 180\\
W_ {\ texto {gravedad}} =-m g h_ {f} +m g h_ {i}
\ end {array}\ nonumber\]

Los términos “mgh” se conocen como energía potencial gravitacional. Así, el trabajo realizado por la gravedad puede pensarse como un cambio de la energía potencial gravitacional del objeto. Vamos a enchufar el resultado anterior a la relación trabajo-energía:

\ [\ begin {array} {l}
\ frac {1} {2} m v_ {i} ^ {2} +\ Sigma|F\ |\ Delta r|\ cos\ phi=\ frac {1} {2} m v_ {f} ^ {2}\
\ frac {1} {2} m v_ {i} ^ {2} +\ Sigma|F |\ Delta r|\ cos\ phi+w_ {\ text {gravedad}} =\ frac {1} {2} m v_ {f} ^ {2}\
\ frac {1} {2} m v_ {i} ^ {2} +\ Sigma|F\ |\ Delta r|\ cos\ phi-m g h_ { f} +m g h_ {i} =\ frac {1} {2} m v_ {f} {} {} ^ {2}
\\ frac {1} {2} m v_ {i} ^ {2} +m g h_ {i} +\ Sigma|F\ |\ Delta r|\ cos\ phi=\ frac {1} {2} m v_ {f} {2} +m g h_ {f}
\ end {array}\ nonumber\]

Por lo tanto, esta relación final:

\ [\ begin {array} {l}
K E_ {i} +G E_ {i} +W_ {i f} =K E_ {f} +G E_ {f}\
\ frac {1} {2} m v_ {i} ^ {2} +m g h_ {i} +\ Sigma|F\ |\ Delta r|\ cos\ phi=\ frac 1} {2} m v_ {f} ^ {2} +m g h_ {f}
\ final {matriz}\ nonumber\]

puede (y se utilizará) en lugar de la relación estándar trabajo-energía siempre que:

No se incluye la fuerza de gravedad por segunda vez calculando el trabajo realizado por gravedad. Básicamente, en esta relación la gravedad ya no se piensa como una fuerza que sí trabaja sobre los objetos sino como una fuente de energía potencial.
Se calculan las alturas inicial y final, h _i y h _f, utilizando un sistema de coordenadas en el que la dirección ascendente es positiva.

Aplicación de Energía de Trabajo con Energía Potencial Gravitacional

Usemos la relación trabajo-energía, con términos de energía potencial gravitacional, para reanalizar el escenario anterior:

Un cohete modelo de 0.35 kg está equipado con un motor que produce un empuje de 11.8 N por 1.8 s. El cohete se lanza verticalmente hacia arriba.

Apliquemos trabajo-energía entre los dos eventos siguientes, estableciendo la elevación inicial del cohete igual a cero:

Evento 1: El instante en que se enciende el motor.	Evento 2: El instante en que el cohete alcanza su altura máxima
KE ₁ = 0	KE ₂ = 0
GE ₁ = 0	GE ₂ = (0.35) (9.8) h ₂
\(\mathrm{W}_{12}=F_{\text {exhaust }}(39) \cos 0\)

Durante este intervalo de tiempo, la fuerza de los gases de escape solo actúa sobre el cohete durante una porción de todo el desplazamiento, a saber, 39 m. Recuerde, la fuerza de la gravedad no funciona de esta manera de modelar la naturaleza, más bien la energía gravitacional del cohete cambia a medida que cambia su elevación.

\ [\ begin {array} {l}
K E_ {i} +G E_ {i} +W_ {i f} =K E_ {f} +G E_ {f}\\
0+0+ (11.8) (39)\ cos 0=0+ (0.35) (9.8) h_ {f}\\
0+0+460=0+3.43 h_ {f}\
h_ {f} =134 m
\ end {array}\ nonumber\]

da como resultado, por supuesto, la misma altura máxima alcanzada por el cohete.

Aplicación de la relación impulso-momento a una colisión

Probablemente la aplicación más útil de la relación impulso-momento es en el estudio de las colisiones. Por ejemplo:

Lejos de la tierra, una sonda espacial de 250 kg, que se mueve a 5 km/s, choca de frente con una pieza de desechos espaciales de 60 kg inicialmente en reposo. Los desechos se enredan en los colectores solares de la sonda.

Vamos a elegir:

Evento 1: El instante antes de la colisión.	Evento 2: El instante en que los desechos y la sonda alcanzan una velocidad común.
Objeto: Sonda espacial
P ₁ = (250) (5000)	P ₂ = 250 v ₂
\(\mathrm{J}_{12}=-F_{\text {debrisonpobe }}(\Delta t)\)
Objeto: Escombros
P ₁ = 0	P ₂ = 60 v ₂
\(\mathrm{J}_{12}=+F_{\text {probeondebris }}(\Delta t)\)

Los diagramas de cuerpo libre para los dos objetos durante este intervalo de tiempo se muestran a continuación.

La aplicación de la relación impulso-momento a cada objeto por separado produce:

Sonda	Escombros
\(P_{1}+J_{12}=P_{2}\)	\(P_{1}+J_{12}=P_{2}\)
\(250(5000)-F_{\text {debrisonprobe }}(\Delta t)=250 v_{2}\)	\(0+F_{\text {probeondebris }}(\Delta t)=60 v_{2}\)
\(1250000-F_{\text {debrisonprobe }}(\Delta t)=250 v_{2}\)	\(F_{\text {probeondebris }}(\Delta t)=60 v_{2}\)

Observe que las velocidades finales de los dos objetos son las mismas, porque permanecen unidos tras la colisión. Además, las\(\Delta\) t son las mismas porque el intervalo de tiempo durante el cual la fuerza de los desechos actúa sobre la sonda debe ser el mismo que el intervalo de tiempo durante el cual la fuerza de la sonda actúa sobre los desechos. De hecho, estas dos fuerzas deben ser iguales entre sí en magnitud según la Tercera Ley de Newton.

Así, los impulsos deben cancelarse si se suman las dos ecuaciones:

\ [\ begin {array} {l}
1250000-F_ {\ text {debrisonprobe}} (\ Delta t) =250 v_ {2}\
\\ subrayado {F_ {\ text {sonescombros}} (\ Delta t) =60 v_ {2}}\\
1250000=310 v_ {2}\
v_ {2} =4032\ mathrm ~m}/\ mathrm {s}
\ end {array}\ nonumber\]

La sonda se ralentiza a una velocidad de 4032 m/s (y los escombros cambian de dirección y se aceleran a una velocidad de 4032 m/s) a través de la colisión. Así, aunque desconocemos la magnitud de la fuerza involucrada, o la duración de la colisión, podemos calcular las velocidades finales de los dos objetos que colisionan. Esto se debe a que las fuerzas involucradas comprenden una interacción, y por la Tercera Ley de Newton las fuerzas que comprenden una interacción son siempre iguales en magnitud y opuestas en dirección.

De hecho, en problemas que involucran colisiones (o explosiones, que para los físicos son simplemente colisiones jugadas hacia atrás en el tiempo!) , casi siempre se debe aplicar la relación impulso-impulso a los objetos que interactúan porque las fuerzas involucradas comprenden una interacción. Así, al sumar tus ecuaciones juntas, estos términos siempre sumarán a cero. Esto a menudo le permitirá determinar las velocidades finales de los objetos colisionantes.

En conclusión, debo señalar que la sonda pierde impulso durante la colisión y que los escombros ganan exactamente la misma cantidad de impulso. (Verifique los números para verificar esta declaración.) El impulso se transfiere de la sonda a los desechos a través de la acción del impulso que la sonda y los desechos ejercen entre sí. El traslado de impulso de la sonda a los escombros es análogo a lanzar un bloque de madera desde la sala de juegos al patio: ¡La sala de juegos ahora tiene una cuadra menos y el patio tiene una más!

Aplicación de la relación trabajo-energía a la misma colisión

Volvamos al escenario de colisión discutido anteriormente e intentemos investigarlo usando energía de trabajo.

Evento 1: El instante antes de la colisión.	Evento 2: El instante en que los desechos y la sonda alcanzan una velocidad común.
Objeto: Sonda espacial
\(\mathrm{KE}_{1}=1 / 2 \ (250) 5000^{2}\)	\(\mathrm{KE}_{2}=1 / 2 \ (250) {\mathrm{v}_{2}}^{2}\)
GE ₁ = 0	GE ₂ = 0
\(\mathrm{W}_{12}=F_{\text {on P }}\left(\Delta r_{P}\right) \cos 180\)
Objeto: Escombros
KE ₁ = 0	\(\mathrm{KE}_{2}=1 / 2 \ (60) {\mathrm{v}_{2}}^{2}\)
GE ₁ = 0	GE ₂ = 0
\(\mathrm{W}_{12}=F_{\text {on D }}\left(\Delta r_{D}\right) \cos 0\)

La aplicación de la relación trabajo-energía a cada objeto por separado produce:

Sonda	Escombros
\(K E_{i}+G E_{i}+W_{i f}=K E_{f}+G E_{f}\)	\(K E_{i}+G E_{i}+W_{i f}=K E_{f}+G E_{f}\)
\(\frac{1}{2}(250)(5000)^{2}+\left(F_{o n P}\right)\left(\Delta r_{\text {probe }}\right) \cos 180=\frac{1}{2}(250)\left(v_{2 \text { probe }}\right)^{2}\)	\(0+\left(F_{o n D}\right)\left(\Delta r_{\text {debris }}\right) \cos 0=\frac{1}{2}(60)\left(v_{2 \text { debris}}\right)^{2}\)
\(3.13 \times 10^{9}-F_{\text {onP }}\left(\Delta r_{\text {probe }}\right)=125{ v_{2 \text { probe }}}^{2}\)	\(F_{\text {onD }}\left(\Delta r_{\text {debris }}\right)=30 {v_{2 \text { debris }}}^2\)

Las velocidades finales de los dos objetos son las mismas, porque permanecen unidos tras la colisión, y las dos fuerzas son las mismas según la Tercera Ley de Newton. Sin embargo, estas dos ecuaciones no se pueden sumar y resolver porque las dos distancias sobre las que actúan las fuerzas,\(\Delta r_{\text {probe }}\) y\(\Delta \mathbf{r}_{\text {debris }}\), no son necesariamente iguales. Durante la colisión, el centro de la sonda se moverá una distancia diferente a la del centro de los escombros ³. Como estas dos distancias son diferentes, las obras no se cancelarán como lo hicieron los impulsos, ¡y las ecuaciones no son solucionables!

3 Si los dos objetos fueran realmente partículas, en lugar de aproximarse como partículas, entonces las dos distancias tendrían que ser las mismas y las dos obras se cancelarían cuando se sumara la ecuación.

De hecho, dado que conocemos v ₂ = 4032 m/s de nuestro análisis de impulso,

Sonda	Escombros
\(3.13 \times 10^{9}-F_{\text {onP }}\left(\Delta r_{\text {probe}}\right)=125(4032)^{2}\)	\(F_{\text {onD }}\left(\Delta r_{\text {debris }}\right)=30(4032)^{2}\)
\(3.13 \times 10^{9}-F_{\text {onP }}\left(\Delta r_{\text {probe }}\right)=2.03 \times 10^{9}\)	\(W_{\text {ondebris }}=F_{\text {onD }}\left(\Delta r_{\text {debris }}\right)=0.49 \times 10^{9} J\)
\(W_{\text {onprobe }}=-F_{\text {onP }}\left(\Delta r_{\text {probe }}\right)=-1.1 \times 10^{9} \mathrm{~J}\)

Obviamente, las dos obras no cancelan. De hecho, el trabajo interno, o trabajo realizado por los objetos entre sí, totaliza -0.61 x 10 ⁹ J. Esto significa que hay 0.61 x 10 ⁹ J menos energía cinética en el sistema de la sonda y los escombros después de la colisión que antes de la colisión. Esto a veces se conoce como la energía perdida en la colisión, aunque la energía no se pierde sino que se convierte en otras formas de energía (es decir, otros escondites para los bloques de madera que aún no se han discutido), como la energía térmica.

En definitiva, la relación trabajo-energía (tal como está ahora) no puede utilizarse para analizar efectivamente las colisiones a menos que se disponga de información adicional sobre la energía interna. Ocasionalmente, se realiza una aproximación en la que el trabajo interno total es cero. Cuando se realiza esta aproximación, la colisión se denomina colisión elástica. Las colisiones realistas, en las que la energía interna total no es cero y la energía cinética se “pierde”, se denominan colisiones inelásticas.

Actividades

A continuación se muestran gráficos de impulso vs. tiempo para seis objetos diferentes.

a. Clasificar estas gráficas en función del cambio en el momento del objeto a lo largo del intervalo de tiempo indicado.

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Negativo más grande

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

b. Clasificar estas gráficas sobre la base del impulso total sobre el objeto durante el intervalo de tiempo indicado.

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Negativo más grande

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

A continuación se muestran gráficos de energía cinética vs. tiempo para seis objetos diferentes. Todos los objetos se mueven horizontalmente.

a. Clasificar estas gráficas sobre la base del cambio en la energía cinética del objeto a lo largo del intervalo de tiempo indicado.

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Negativo más grande

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

b. Clasificar estas gráficas sobre la base del trabajo total sobre el objeto durante el intervalo de tiempo indicado.

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Negativo más grande

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

A continuación se muestran gráficos de velocidad vs. tiempo para seis objetos de masa igual.

a. Clasificar estas gráficas en función del cambio en el momento del objeto a lo largo del intervalo de tiempo indicado.

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Negativo más grande

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

b. clasificar estas gráficas en función del cambio en la energía cinética del objeto a lo largo del intervalo de tiempo indicado.

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Negativo más grande

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

A continuación se muestran gráficos de velocidad vs. tiempo para seis objetos de masa igual. Todos los objetos se mueven horizontalmente.

a. Clasificar estas gráficas sobre la base del impulso total sobre el objeto durante el intervalo de tiempo indicado.

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Negativo más grande

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

b. Clasificar estas gráficas sobre la base del trabajo total sobre el objeto durante el intervalo de tiempo indicado.

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Negativo más grande

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

A continuación se muestran seis automóviles que inicialmente viajaban a la velocidad indicada. Los automóviles tienen diferentes masas y velocidades.

a. Todos los automóviles serán detenidos en la misma cantidad de tiempo. Clasificar estos automóviles en base a la magnitud de la fuerza necesaria para detenerlos.

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

b. Todos los automóviles serán detenidos en la misma distancia. Clasificar estos automóviles en base a la magnitud de la fuerza necesaria para detenerlos.

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

A continuación se muestran seis automóviles que inicialmente viajaban a la velocidad indicada. Los automóviles tienen diferentes masas y velocidades.

a. Clasificar estos automóviles en función de la magnitud de la fuerza necesaria para detenerlos.

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

b. Clasificar estos automóviles en función de la magnitud de los trabajos necesarios para detenerlos.

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

c. Clasificar estos automóviles en función de la magnitud del impulso necesario para detenerlos.

Positivo más grande 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tu ranking:

Para cada una de las colisiones ilustradas a continuación, esboce un gráfico del momento y la velocidad del asteroide A, el momento y la velocidad del asteroide B, y el impulso total en el sistema de los dos asteroides. Comienza tu gráfica antes de que ocurra la colisión y continúala después de que termine la colisión. Use una escala consistente en todas las gráficas.

a. Los dos asteroides permanecen unidos tras la colisión.

b. Los dos asteroides permanecen unidos después de la colisión.

a. Los dos asteroides permanecen unidos tras la colisión.

b. Los dos asteroides permanecen unidos después de la colisión.

a. Los dos asteroides permanecen unidos tras la colisión.

b. Los dos asteroides permanecen unidos después de la colisión.

a. El asteroide A rebota a 5 m/s después de la colisión.

b. El asteroide B se mueve a 20 m/s después de la colisión.

Para cada una de las explosiones ilustradas a continuación, esboce un gráfico del momento y velocidad del fragmento A, el momento y la velocidad del fragmento B, y el momento total en el sistema de los dos fragmentos. Comienza tu gráfica antes de que ocurra la explosión y continúala mientras los fragmentos se alejan de la visión de la explosión. Utilice un sistema de coordenadas consistente y escala en todas las gráficas.

a. El huevo explosivo está inicialmente en reposo.

b. El huevo explosivo está inicialmente en reposo.

El huevo explosivo está inicialmente en reposo.

Un astronauta de 200 kg está inicialmente en reposo en el borde extremo de una plataforma espacial de 1000 kg. Lleva zapatos magnéticos especiales que le permiten caminar por la plataforma metálica. Para cada una de las situaciones ilustradas a continuación, esboce un gráfico del momento y velocidad del astronauta, el momento y la velocidad de la plataforma, y el momento total en el sistema de los dos objetos. Comienza tu gráfica antes de que el astronauta comience a caminar y continúala mientras ella camina por la plataforma. Utilice un sistema de coordenadas consistente y escala en todas las gráficas.

a. El astronauta y la plataforma están inicialmente en reposo.

b. El astronauta y la plataforma están inicialmente a la deriva hacia la derecha.

Para cada uno de los escenarios descritos a continuación, indique la cantidad de energía cinética y energía potencial gravitacional del objeto en cada uno de los eventos enumerados. Usa una escala consistente a lo largo de cada movimiento. Establezca el punto más bajo del movimiento como el punto cero de la energía potencial gravitacional.

a. El motor de un cohete de 4000 kg produce un empuje de 70,000 N durante 15 s. El cohete se dispara verticalmente hacia arriba.

b. para practicar la caída, una bóveda de poste de 55 kg cae de una pared de 6.0 m sobre un cojín de espuma de 2.0 m de espesor que descansa sobre el suelo. No obstante, echa de menos el cojín. La bóveda de polo se hunde aproximadamente 0.10 m en el suelo antes de detenerse.

Para cada uno de los escenarios descritos a continuación, indique la cantidad de energía cinética y energía potencial gravitacional de cada objeto en cada uno de los eventos enumerados. Usa una escala consistente a lo largo de cada movimiento. Establecer el punto más bajo del movimiento como el punto cero de la energía potencial gravitacional

a. Cansado de subir las escaleras, un estudiante de ingeniería de 80 kg diseña un ingenioso dispositivo para llegar a su dormitorio del tercer piso. Un bloque de 84 kg está unido a una cuerda que pasa sobre una polea. El alumno sostiene el otro extremo de la cuerda. Cuando se libera el bloque de 84 kg, el alumno es levantado hasta su dormitorio, a 8.0 m del suelo.

b. Cansado de bajar las escaleras, un estudiante de ingeniería de 75 kg diseña un ingenioso dispositivo para llegar al suelo desde su dormitorio del tercer piso. Un bloque de 60 kg en reposo en el suelo se fija a una cuerda que pasa sobre una polea. El alumno agarra el otro extremo de la cuerda y sale por su ventana.

Un hombre de 100 kg preocupado por su peso decide pesarse en un elevador. Se para en una báscula de baño en un elevador que se mueve hacia arriba a 3.0 m/s Cuando el elevador llega a su piso, se ralentiza hasta detenerse.

a. si el elevador se ralentiza a una parada sobre una distancia de 2.0 m, ¿cuál es la lectura en la báscula de baño?

b. Si el elevador se ralentiza a una parada en 1.5 s, ¿cuál es la lectura en la báscula de baño?

Diagrama de movimiento

a. Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
KE ₁ =	KE ₂ =
GE ₁ =	GE ₂ =
W ₁₂ =

Análisis Matemático ²⁶

Diagrama de cuerpo libre

b. Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
P1 =	P2 =
J12 =

Análisis matemático

a.- ¿Con qué velocidad golpea el estudiante contra el suelo?

b. ¿Cuánto tiempo tarda el alumno en llegar al suelo?

Diagrama de movimiento

a. Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
KE ₁ =	KE ₂ =
GE ₁ =	GE ₂ =
W ₁₂ =

Análisis Matemático ²⁷

Diagrama de cuerpo libre

b. Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =

Análisis matemático

El motor de un cohete de 4000 kg produce un empuje de 70,000 N durante 15 s. El cohete se dispara verticalmente hacia arriba.

a. ¿Cuál es la velocidad del cohete cuando su motor se apaga?

b. ¿Cuánto tiempo tarda el cohete en alcanzar su altura máxima?

Diagrama de movimiento

a. Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =

Análisis Matemático ²⁸

Diagrama de cuerpo libre

b. Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =

Análisis matemático

Para practicar la caída, una bóveda de poste de 55 kg cae de una pared a 6.0 m sobre un cojín de espuma de 2.0 m de espesor que descansa sobre el suelo. No obstante, echa de menos el cojín. La bóveda de polo se hunde aproximadamente 0.10 m en el suelo antes de detenerse.

a. ¿Cuál es la velocidad del barbotador cuando golpea el suelo?

b. ¿Cuál es la fuerza que ejerce sobre la bóveda de pértiga por el suelo a medida que llega a descansar?

Diagrama de movimiento

a. Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
KE ₁ =	KE ₂ =
GE ₁ =	GE ₂ =
W ₁₂ =

Análisis Matemático ²⁹

Diagrama de cuerpo libre

b. Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
KE ₁ =	KE ₂ =
GE ₁ =	GE ₂ =
W ₁₂ =

Análisis matemático

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =
KE ₁ =	KE ₂ =
GE ₁ =	GE ₂ =
W ₁₂ =

Análisis Matemático ³⁰

Diagrama de cuerpo libre

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Evento 1: Se libera el bloque	Evento 2: El alumno llega a la sala.
Objeto: Student
KE ₁ = 0	KE ₂ =\(1 / 2(80) \mathcal{V}_{f}^{2}\)
GE ₁ = 0	GE ₂ = 80 (9.8) (8)
W ₁₂ =\(\mathcal{F}_{\mathrm{R}}(8) \cos 0^{\circ}\)
Objeto: Block
KE ₁ = 0	KE ₂ =\(1 / 2(84) \mathcal{V}_{f}^{2}\)
GE ₁ = 84 (9.8) (8)	GE ₂ = 0
W ₁₂ =\(\mathcal{F}_{R}(8) \cos 180^{\circ}\)

Diagrama de cuerpo libre

Dado que se conoce la distancia que recorre el estudiante y el bloque, aplicar la energía laboral debería permitirnos resolver el problema. Lo aplicaré por separado a cada objeto.

estudiante	bloquear
\(0+F_{\text {rope }}(8)=\frac{1}{2} 80 v_{f}^{2}+80(9.8)(8)\)	\(84(9.8)(8)-F_{\text {rope }}(8)=\frac{1}{2} 84 v_{f}^{2}\)
\(8 F_{\text {rope }}=40 v_{f}^{2}+6272\)	\(6586-8 F_{\text {rope }}=42 v_{f}^{2}\)

\(\mathcal{F}_{\text {rope }}\)es lo mismo en ambas ecuaciones, como lo es la velocidad final. Así, las dos ecuaciones se pueden sumar juntas para producir:

\ [\ begin {alineado}
&6586=40 v_ {f} ^ {2} +42 v_ {f} ^ {2} +6272\\
&314=82 v_ {f} ^ {2}\\
&v_ {f} =1.96\ mathrm {~m}/\ mathrm {s}
\ end {alineado}\ nonumber\]

Observe que si aplicó energía de trabajo a todo el sistema habría generado esta misma ecuación. Inicialmente, la única forma de energía presente es la energía gravitacional del bloque (mgh = 6586 J). En el segundo evento, ambos objetos tienen energía cinética más el estudiante tiene energía potencial gravitacional (mgh = 6272 J).

Cansado de subir las escaleras, un estudiante de ingeniería diseña un ingenioso dispositivo para llegar a su dormitorio del tercer piso. Se fija un bloque de 100 kg a una cuerda que pasa sobre una polea. El alumno sostiene el otro extremo de la cuerda. Cuando se libera el bloque, el alumno es levantado hasta su dormitorio, a 8.0 m del suelo. Está viajando a 2.2 m/s cuando llega a su habitación.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
KE ₁ =	KE ₂ =
GE ₁ =	GE ₂ =
W ₁₂ =
Objeto:
KE ₁ =	KE ₂ =
GE ₁ =	GE ₂ =
W ₁₂ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ³¹

Cansado de bajar las escaleras, un estudiante de ingeniería de 75 kg diseña un ingenioso dispositivo para llegar al suelo desde su dormitorio del tercer piso. Un bloque de 60 kg en reposo en el suelo se fija a una cuerda que pasa sobre una polea. El alumno agarra el otro extremo de la cuerda y sale por su ventana. Cae por 5.5 s antes de llegar al suelo.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis matemático ³²

Cansado de bajar las escaleras, un estudiante de ingeniería de 75 kg diseña un ingenioso dispositivo para llegar al suelo desde su dormitorio. Un bloque de 60 kg en reposo en el suelo se fija a una cuerda que pasa sobre una polea. El alumno agarra el otro extremo de la cuerda y sale por su ventana. Golpea al suelo a 3.3 m/s.

Diagrama de movimiento

Información de movimiento

Evento 1:		Evento 2:
Objeto:		Objeto:
P ₁ =	P ₂ =	P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =		J ₁₂ =
P ₁ =	P ₂ =	P ₁ =	P ₂ =
KE ₁ =	KE2 =	KE ₁ =	KE2 =
GE ₁ =	GE2 =	GE ₁ =	GE2 =
W ₁₂ =		W ₁₂ =

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ³³

Lejos de cualquier otra masa, un asteroide de 2000 kg que viaja a 12 m/s choca con un asteroide de 1200 kg que viaja en la otra dirección a 16 m/s Después de la colisión permanecen unidos y se mueven con una velocidad común.

Diagrama de movimiento

Diagramas de cuerpo libre

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =

Análisis Matemático ³⁴

En un tramo remoto de carretera intergaláctica, una nave espacial de 7.5 x 10 ⁶ kg que viaja al 10 por ciento de la velocidad de la luz (0.10c = 3.0 x 10 ⁷ m/s) no nota que la nave espacial más lenta por delante obstruye el carril. El barco de rápido movimiento atrasó al barco más lento, un modelo más antiguo de 5.5 x 10 ⁶ kg, y los dos barcos se enredan y se desplazan hacia adelante a 0.07c.

Diagrama de movimiento

Diagramas de cuerpo libre

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =

Análisis Matemático ³⁵

En un tramo remoto de carretera intergaláctica, una nave espacial de 7.5 x 10 ⁶ kg que viaja al 10 por ciento de la velocidad de la luz (0.10c = 3.0 x 10 ⁷ m/s) no nota la nave espacial más lenta adelante, moviéndose a 0.05c, obstruyendo el carril. El barco de rápido movimiento atrasó al barco más lento, un modelo más antiguo de 4.5 x 10 ⁶ kg, y el barco más lento se impulsa hacia adelante a 0.13c.

Diagrama de movimiento

Diagramas de cuerpo libre

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =

Análisis Matemático ³⁶

En los confines más lejanos del espacio profundo, una nave espacial de 8000 kg, incluyendo su contenido, está en reposo en relación con una estación espacial. La nave espacial retrocede tras lanzar una sonda científica de 600 kg con una velocidad de 300 m/s con relación a la estación espacial.

Diagrama de movimiento

Diagramas de cuerpo libre

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =

Análisis Matemático ³⁷

En los confines más lejanos del espacio profundo, una nave espacial de 8000 kg, incluyendo su contenido, está a la deriva a 50 m/s en relación con una estación espacial. La nave espacial se pone en reposo, en relación con la estación espacial, por el retroceso del lanzamiento de una sonda científica de 600 kg.

Diagrama de movimiento

Diagramas de cuerpo libre

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =

Análisis Matemático ³⁸

Un astronauta de 140 kg está parado en el borde extremo de una plataforma espacial de 1000 kg, en reposo respecto a la nave nodriza. Comienza a caminar hacia el otro borde de la plataforma, alcanzando una velocidad de 2.0 m/s relativa a la nave nodriza. (Lleva zapatos magnéticos especiales que le permiten caminar por la plataforma metálica).

Diagrama de movimiento

Diagramas de cuerpo libre

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =

Análisis matemático ³⁹

Dos astronautas, 140 kg Andy y 170 kg Bob, están parados en bordes opuestos de una plataforma espacial de 1000 kg, en reposo respecto a la nave nodriza. Cada uno comienza a caminar hacia los extremos opuestos de la plataforma, Andy alcanzando una velocidad de 2.0 m/s y Bob 1.5 m/s, ambos relativos a la nave nodriza. (Usan zapatos magnéticos especiales que les permiten caminar a lo largo de la plataforma metálica).

Diagrama de movimiento

Diagramas de cuerpo libre

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =

Análisis Matemático ⁴⁰

Un estudiante de 70 kg está colgado de un globo de helio de 280 kg. El globo está subiendo a una velocidad constante de 8.0 m/s con respecto al suelo. El levantamiento del globo debido a la fuerza de flotación es constante. El alumno comienza a subir la cuerda a una velocidad de 15 m/s con respecto al suelo. La velocidad ascendente del globo disminuye a medida que el alumno sube.

Diagrama de movimiento

Diagramas de cuerpo libre

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =

Análisis Matemático ⁴¹

Un hombre de masa m, preocupado por su peso, decide pesarse en un elevador. Se para en una báscula de baño en un elevador que se mueve hacia arriba en v. A medida que el elevador llega a su piso, se ralentiza hasta detenerse en un intervalo de tiempo, T. Determinar la lectura en la báscula de baño (_escala F) en función de m, v, T y g.

Diagrama de movimiento

Diagramas de cuerpo libre

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =

Preguntas

Si T = ∞, ¿qué debería igualar la _escala F? ¿Su función concuerda con esta observación?

¿Para qué combinación de v y T leería la báscula de baño 0 N?

Si el elevador bajara inicialmente, ¿la combinación anterior de v y T también conduciría a una lectura de escala de 0 N?

Un cohete de masa m se dispara verticalmente hacia arriba desde el reposo. El motor del cohete produce un empuje de magnitud constante F durante t segundos _{de empuje}. Determinar el tiempo que tarda el cohete en alcanzar su _{vértice (vértice} t) en función del _empuje F, t, m y g.

Diagrama de movimiento

Diagramas de cuerpo libre

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =

Preguntas

Si g = 0 m/s ², ¿qué debería ser igual t _ápice? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si F = mg, ¿qué debe ser igual al _ápice t? ¿Su función concuerda con esta observación?

¿Para qué valor de F sería t _ápice = 2t _{de empuje}?

Para practicar la caída, un polo-bóveda de masa m cae de una pared a una distancia D por encima de un grueso cojín de espuma. La bóveda de polo se hunde una distancia d en el cojín antes de detenerse. Determinar la fuerza ejercida sobre el polo-bóveda debido al cojín (_cojín F) en función de m, D, d y g.

Diagrama de movimiento

Diagramas de cuerpo libre

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
KE ₁ =	KE ₂ =
GE ₁ =	GE ₂ =
W ₁₂ =

Preguntas

Si D = ∞, ¿qué debería ser igual el _cojín F? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si d = 0 m, ¿qué debería ser igual el _cojín F? ¿Su función concuerda con esta observación?

¿Qué sería peor para la bóveda de pértiga, comenzando en el doble de la distancia inicial por encima del cojín o hundiendo la mitad de la distancia original en el cojín?

Diagrama de movimiento

Diagramas de cuerpo libre

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =

Preguntas

Si g = 0 m/s ², ¿qué debería ser igual v? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si m = M, ¿qué debería ser igual v? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si M = ∞, ¿qué debería ser igual v? ¿Su función concuerda con esta observación?

Cansada de bajar las escaleras, una estudiante de ingeniería de mass m diseña un ingenioso dispositivo para llegar al suelo desde su dormitorio. Un bloque de masa M en reposo en el suelo está unido a una cuerda que pasa sobre una polea. El alumno agarra el otro extremo de la cuerda y sale por su ventana a una distancia D sobre el suelo. Determinar la velocidad del alumno (v) cuando llega al suelo en función de m, M, D y g.

Diagrama de movimiento

Diagramas de cuerpo libre

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
KE ₁ =	KE2 =
GE ₁ =	GE ₂ =
W ₁₂ =
Objeto:
KE ₁ =	KE ₂ =
GE ₁ =	GE ₂ =
W ₁₂ =

Preguntas

Si g = 0 m/s ², ¿qué debería ser igual v? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si m = M, ¿qué debería ser igual v? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si M = ∞, ¿qué debería ser igual v? ¿Su función concuerda con esta observación?

En los confines más lejanos del espacio profundo, una nave espacial de masa M, incluyendo el contenido, está en reposo en relación con una estación espacial. La nave espacial retrocede después de que lanza una sonda científica de masa m a una velocidad v relativa a la estación espacial. Determinar la velocidad de retroceso de la nave espacial (V) en función de M, m y v.

Diagrama de movimiento

Diagramas de cuerpo libre

Información de movimiento

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =
Objeto:
P ₁ =	P ₂ =
J ₁₂ =

Preguntas

Si M = 2m, ¿qué debería ser igual V? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si M = ∞, ¿qué debería ser igual V? ¿Su función concuerda con esta observación?

Modelo Uno

Resumen Problemas

Una velocista en un guión de 100 metros comienza desde el reposo y acelera a 2.5 m/s ² por 3.9 s. Luego corre a velocidad constante, hasta que llanta o termina la carrera. Ella puede correr a una velocidad constante durante como máximo 7.0 s sin cansarse. Una vez cansada, comienza a disminuir, acelerando a 1.0 m/s ². ¿Cuánto tiempo le lleva terminar la carrera?
El Schindler Mobile es un elevador autopropulsado, alimentado por un pequeño motor unido a la parte inferior de la cabina del elevador que conduce la cabina hacia arriba y hacia abajo por las vías de dos columnas de aluminio de alta resistencia. Supongamos que el Schindler Mobile puede viajar desde ^el primer piso hasta el ^piso 10 (aproximadamente 40 m) en 15 s. Supongamos que el elevador acelera y ralentiza
El Thrust SSC, un jet móvil de 7 toneladas alimentado por dos jets Royal Air Force Phantom que proporcionan 110.000 hp, fue diseñado para romper la velocidad del sonido. El “auto” fue probado en una pista de 15 millas de largo en el desierto de Black Rock de Nevada. El auto aceleró por casi cinco millas, luego se movió a través de una milla medida a velocidad máxima. El auto se ralentizó al cortar la potencia y soltar paracaídas durante cinco millas adicionales antes de aplicar frenos a velocidades inferiores a 300 mph. Complete una descripción cinemática para el movimiento del automóvil, asumiendo que alcance una velocidad máxima de Mach 1 (750 mph a las temperaturas encontradas en la pista de carreras del desierto de Black Rock).
A menudo el motivo de la formación de tráfico congestionado es obvio; accidentes, cierres de carriles u otros cuellos de botella. No obstante, probablemente también hayas experimentado atascos “fantasmas”, que surgen sin ninguna razón obvia, aparentemente de la nada. Este fenómeno se puede entender por el comportamiento colectivo de muchos conductores. Si un vehículo conduce más lentamente que otros, el vehículo detrás tiene que frenar para mantener el tiempo de seguridad deseado. (El tiempo de seguridad es el tiempo transcurrido entre los dos objetos que pasan por el mismo punto. Así, la distancia asociada a este “colchón de tiempo” varía con la velocidad del tráfico). En consecuencia, el siguiente vehículo detrás tiene que frenar, y así sucesivamente. Si el flujo de tráfico es inestable, cada vehículo siguiente tiene que frenar más fuerte que su predecesor. Así, una pequeña perturbación inicial desencadena una “onda” de propagación hacia atrás de vehículos más lentos con amplitud creciente. Por último, los vehículos casi se detienen; ha evolucionado un atasco de tráfico en toda regla. ¡El conductor que ha causado la pequeña perturbación al conducir inusualmente lentamente se escapa sin siquiera darse cuenta de lo que ha desencadenado!

Para tener una mejor idea de la cinemática involucrada en instigar atascos fantasmas, imagina un automóvil acercándose a un camión de movimiento lento en una carretera de un solo carril. El automóvil viaja inicialmente a 120 km/hr, mientras que el camión se mueve a 70 km/hr. El auto se encuentra a 100 m detrás del camión cuando el conductor lo nota por primera vez. Encuentra la aceleración mínima necesaria para que el auto llegue al equilibrio detrás del camión y logre un tiempo de seguridad de 2 s. Supongamos que el camión no acelera.
Al modelar el flujo de tráfico, se deben incorporar diversos factores psicológicos. Uno es el factor de cortesía. El factor de cortesía cuantifica cuánto uno pondera las desventajas impuestas a otros conductores contra la propia ventaja al considerar un cambio de carril. Los cambios de carril son más comunes cuando el factor de cortesía es bajo. Diferentes regiones del país tienen, en promedio, diferentes factores de cortesía. Además, los conductores urbanos vs. rurales difieren en factor de cortesía. A valores altos del factor de cortesía, los conductores corren el riesgo de quedarse atrapados permanentemente detrás de vehículos de movimiento lento u otros obstáculos.

Para tener una mejor idea de cómo la “cortesía” afecta el flujo del tráfico, imagínese un automóvil atascado detrás de un obstáculo estacionario de 5 m de largo bloqueando su carril. 30 m por delante del automóvil hay un giro en la carretera. Por lo tanto, el conductor del automóvil no puede ver un automóvil o camión que se aproxima hasta que esté a 30 m del automóvil.
1. Si el auto sale para dar la vuelta al obstáculo (con aceleración 4 m/s ²) justo cuando un camión que se mueve a 55 mph redondea la curva, ¿es esta una maniobra “extremadamente educada”? (Una maniobra es extremadamente educada cuando el camión no necesita reducir la velocidad para evitar un accidente).
2. ¿Qué aceleración es necesaria para que un conductor extremadamente educado salga de detrás de la barrera? (Si el auto no puede generar esta aceleración, ¡un conductor extremadamente educado debe pasar el resto de su vida atrapado detrás de la barrera!)
Los ingenieros de tránsito se preocupan por seleccionar el “tiempo amarillo” adecuado para garantizar el paso seguro a través de los semáforos. Para entender este escenario, imagínate conduciendo por una carretera relativamente vacía. Adelante, el semáforo se vuelve amarillo. Si estás lo suficientemente cerca del semáforo puedes pasar por la intersección antes de que el semáforo se ponga rojo. Si estás lejos del semáforo puedes reducir la velocidad de manera segura y detenerte antes de la intersección. Pero, ¿y si estás en el medio, en lo que se denomina la zona de “no ganar”, y estás demasiado lejos para lograrlo y demasiado cerca para detenerte? Los ingenieros de tránsito diseñan la duración de la señal amarilla para eliminar esta zona de no ganar.
1. Estás conduciendo al límite de velocidad (45 mph) en una carretera recta y vacía con una visibilidad perfecta. Tu aceleración máxima al frenar es de 7.0 m/s ². El tiempo amarillo es de 1.0 s. Determine la ubicación de la zona de no ganar (es decir, el rango de posiciones desde las que no puede atravesar la intersección de manera segura). Supongamos que no aceleran para “correr” el amarillo, ya que se trata de una actividad ilegal.
2. Si quieres “correr” el amarillo desde cualquier lugar de la zona de no ganar, ¿qué aceleración mínima se necesita? ¿Esto es factible? ¿Qué tan rápido viajarías a medida que avanzas por la intersección?
Cansado de subir las escaleras, un estudiante de ingeniería de 80 kg diseña un ingenioso dispositivo para llegar a su dormitorio del tercer piso. Un bloque pesado está unido a una cuerda que pasa sobre una polea. El alumno sostiene el otro extremo de la cuerda. Cuando se libera el bloque, el alumno es levantado hasta su dormitorio, a 8.0 m del suelo. No obstante, el estudiante tiene un estómago débil y obtendrá náuseas si acelera a más de 4.0 m/s ². Además, la cuerda que utilizó puede transmitir una fuerza de sólo 1100 N antes de romperse. De ser posible, ¿qué bloque de lastre masivo debe usar para evitar romper la cuerda y evitar tener náuseas?
Cansada de subir las escaleras, una estudiante de ingeniería de 80 kg diseña un ingenioso dispositivo para llegar a su dormitorio del tercer piso. Un bloque pesado está unido a una cuerda que pasa sobre una polea. El alumno sostiene el otro extremo de la cuerda. Sin embargo, la ventana del dormitorio está a 12 m del suelo y el bloque está inicialmente a solo 10 m del suelo. El alumno quiere elegir una masa para el bloque de tal manera que cuando el bloque choca contra el suelo, la alumna sea “lanzada” hacia arriba, y llegue a su ventana en la cúspide de su movimiento. (Eso hará que sea más fácil subir por la ventana.) ¿Qué bloque masivo debería usar?

Respuestas Seleccionadas

¹ r2 = 1.4 m

² t2 = 1.45 m

³ t3 = 3.4 s

⁴ t3 = 4.55 s

⁵ r3 = 36.6 m

⁶ r3 = 3520 m

⁷ r2 = 14.9 m

⁸ r4 = 2000 m

⁹ t4 = 3.7 x 105 s

¹⁰ t2 = 14.9 s

¹¹ t2 = 7.8 s

¹² t3 = 15.7 s

¹³ t3 = 2.87 s

Cuerda ¹⁴ F = 420 N

Cojín ¹⁵ F = 1910 N

¹⁶ a ≥ 4.49 m/s2

¹⁷ t2 = 17.1 s para llegar al suelo

Cojín ¹⁸ F = 2830 N

¹⁹ F tierra = 43700 N

²⁰ r3 = 63.5 m

²¹ r3 = 1550 m

Bloque de ²² m = 240 kg

Bloque ²³ m = 26 kg

Cuerda ²⁴ F = 500 N

Cuerda ²⁵ F = 466 N

²⁶ a. Escala F = 755 N b. Escala F = 780 N

²⁷ a. v = 17,5 m/s b. t = 17,1 s

²⁸ a. v = 116 m/s b. t = 26.8 s

²⁹ a. v = 12.5 m/s b. F tierra = 43700 N

³⁰ t2 = 0.89 s r2 = 1.78 m

³¹ m estudiante = 94 kg

³² v2 = 6.0 m/s

³³ Estudiante cae 5.0 m en 3.03 s

³⁴ v2 = 1.5 m/s

Desaceleración ³⁵ v1 = 0.029c = 8.73 x 10 ⁶ m/s

Buque rápido ³⁶ v2 = 0.052c = 1.56 x 10 ⁷ m/s

³⁷ v2 buque = 24.3 m/s

Sonda de ³⁸ v = 667 m/s

Plataforma ³⁹ v2 = 0.28 m/s

Plataforma ⁴⁰ v2 = 0.025 m/s

Globo ⁴¹ v2 = 6.3 m/s

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