3.3: Leyes de conservación

Conceptos y principios

La relación impulso-impulso

Al igual que las relaciones cinemáticas y la segunda ley de Newton, la relación impulso-impulso es válida independientemente en cualquier miembro de un conjunto de direcciones perpendiculares. Por lo tanto, normalmente aplicaremos la relación impulso-impulso en sus formas componentes:

\ [\ comenzar {alineado}
&m v_ {x i} +\ Sigma\ izquierda (F_ {x} (\ Delta t)\ derecha) =m v_ {x f}\\
&m v_ {y_ {i}} +\ Sigma\ izquierda (F_ {y} (\ Delta t)\ derecha) =m v_ {y_ {f}}\\
&m v_ {z i} +\ Sigma\ izquierda (F_ {z} (\ Delta t)\ derecha) =m v_ {z f}
\ final {alineado}\ nonumber\]

La relación trabajo-energía

Del Modelo 1, nuestra expresión para la Relación Trabajo-Energía, con términos de energía potencial gravitacional, es:

\[\frac{1}{2} m v_{i}^{2}+m g h_{i}+\Sigma(|F \| \Delta r| \cos \phi)=\frac{1}{2} m {v_{f}}^{2}+m g h_{f} \nonumber\]

Es muy importante recordar que la relación trabajo-energía es una ecuación escalar, lo que significa que no se puede romper en componentes y “resolver” por separado en las direcciones x, y y z. Esto es aún más importante recordar ahora que estamos trabajando en múltiples dimensiones. Esta observación da como resultado dos puntos importantes:

• La relación trabajo-energía involucra las velocidades iniciales y finales reales, no sus componentes. La energía cinética de un objeto no depende de la dirección de desplazamiento del objeto.
• En la expresión para el trabajo\( |F \| \Delta r| \cos \phi\),, el producto de la magnitud de la fuerza y la magnitud del desplazamiento se multiplica por\(\cos \phi\), donde\(\phi\) se define como el ángulo entre la fuerza aplicada y el desplazamiento del objeto. Si la fuerza y el desplazamiento están en la misma dirección\(\phi=0^{\circ}\), y el trabajo es positivo (el objeto gana energía). Si la fuerza y el desplazamiento están en la dirección opuesta\(\phi\) = 180°, y el trabajo es negativo (el objeto pierde energía). Si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares, no se realiza ningún trabajo. Tenga en cuenta que las direcciones reales de la fuerza y el desplazamiento no son importantes, solo sus direcciones relativas entre sí afectan el trabajo.

Herramientas de análisis

Aplicación de la relación impulso-momento a un solo objeto

Investiguemos el siguiente escenario:

Un niño tira un trineo de 30 kg, incluyendo la masa de su hermano menor, a lo largo del hielo. El niño tira de la cuerda de remolque, orientada a 60 ⁰ por encima de la horizontal, con una fuerza de 110 N hasta que su hermano menor comienza a llorar. Como un reloj, su hermano siempre llora al alcanzar una velocidad de 2.0 m/s El coeficiente de fricción es (0.20,0.15).

Para aplicar la relación impulso-impulso, debes especificar claramente los eventos iniciales y finales en los que tabularás el impulso. Por ejemplo:

Evento 1: El instante antes de que el trineo comience a moverse.	Evento 2: El instante en que el trineo alcanza los 2.0 m/s.
P 1x = 0	P 2x = 30 (2.0) = 60
P 1 año = 0	P 2 años = 0
\(\mathrm{J}_{12 \mathrm{x}}=110 \cos 60(\Delta t)-F_{k f}(\Delta t)\)
\(\mathrm{J}_{12 \mathrm{y}}=110 \sin 60(\Delta t)-(30)(9.8)(\Delta t)+F_{\text {surface }}(\Delta t)\)

La aplicación de impulso-impulso por separado en las direcciones x e y produce:

\[\begin{array}{ll} \underline{\mathbf{ x-direction }} && {\underline{\mathbf{y-direction }}} \\ P_{1}+J_{12}=P_{2} && P_{1}+J_{12}=P_{2} \\ 0+110 \cos 60(\Delta t)-F_{k f}(\Delta t)=60 && 0+110 \sin 60(\Delta t)-(30)(9.8)(\Delta t)+F_{\text {surface }}(\Delta t)=0 \\ 55(\Delta t)-0.15 F_{\text {surface }}(\Delta t)=60 && 95(\Delta t)-294(\Delta t)+F_{\text {surface }}(\Delta t)=0 \\ && F_{\text {surface }}=199 N \end{array} \nonumber\]

Sustituyendo el valor por la fuerza de la superficie en la ecuación x,

\ [\ start {alineado}
&55 (\ Delta t) -0.15 (199) (\ Delta t) =60\\
&55 (\ Delta t) -30 (\ Delta t) =60\\
&25 (\ Delta t) =60\\
&\ Delta t=2.4 s
\ end {alineado}\ nonumber\]

El hermanito comienza a llorar después de sólo 2.4 s.

Aplicación de la relación trabajo-energía a un solo objeto

¿Qué nos dirá la relación trabajo-energía sobre el mismo escenario?

Un niño tira un trineo de 30 kg, incluyendo la masa de su hermano menor, a lo largo del hielo. El niño tira de la cuerda de remolque, orientada a 60 ⁰ por encima de la horizontal, con una fuerza de 110 N hasta que su hermano menor comienza a llorar. Como un reloj, su hermano siempre llora al alcanzar una velocidad de 2.0 m/s El coeficiente de fricción es (0.20,0.15).

Para aplicar la relación trabajo-energía, debes especificar claramente los eventos iniciales y finales en los que tabularás la energía. Por ejemplo:

Evento 1: El instante antes de que el trineo comience a moverse.	Evento 2: El instante en que el trineo alcanza los 2.0 m/s
KE 1 = 0	\(\mathrm{KE}_{2}=\frac{1}{2} \ 30(2.0)^{2}=60\)
GE 1 = 0	GE 2 = 0
\(\mathrm{W}_{12}=110(\Delta r) \cos 60+F_{\text {surface }}(\Delta r) \cos 90+F_{\text {kineticfriction }}(\Delta r) \cos 180\)

Aplicando la relación trabajo-energía rinde:

\ [\ begin {alineado}
&K E_ {1} +G E_ {1} +W_ {12} =K E_ {2} +G E_ {2}\\\
&0+0+110 (\ Delta r)\ cos 60+F_ {\ text {superficie}} (\ Delta r)\ cos 90+F_ {\ text {cinética fricción}} (\ r Delta)\ cos 180=60+0\\
&55 (\ Delta r) -0.15 F_ {\ texto {superficie}} (\ Delta r) =60
\ end { alineado}\ nonumber\]

Observe que la fuerza de la superficie no funciona, la fuerza de la cuerda hace un trabajo positivo y la fuerza de fricción hace un trabajo negativo. Cada uno de estos términos debería tener sentido si recuerdas que el trabajo es la transferencia de energía hacia (positiva) o fuera (negativa) del sistema de interés. Recordemos también que en esta forma de la relación trabajo-energía conceptualizamos la gravedad como una fuente de energía potencial, no como una fuerza que sí funciona.

Usando el resultado para la fuerza de la superficie determinada en el primer ejemplo, la _superficie F = 199 N, da:

\ [\ begin {alineado}
&55 (\ Delta r) -0.15 F_ {\ text {superficie}} (\ Delta r) =60\\
&55 (\ Delta r) -0.15 (199) (\ Delta r) =60\\
&55 (\ Delta r) -30 (\ Delta r) =60\\
&25 (\ Delta r) =60\\
&\ Delta r=2.4 m
\ end {alineado}\ nonumber\]

El hermanito comienza a llorar tras viajar 2.4 m.

Aplicación de Energía de Trabajo con Energía Potencial Gravitacional

Usemos la relación trabajo-energía, con términos de energía potencial gravitacional, para analizar el siguiente escenario:

Un niño de 30 kg en su trineo de 15 kg se desliza por los 10 m de largo de sus padres, 15 ⁰ sobre la calzada horizontal después de una tormenta de hielo. El coeficiente de fricción entre el trineo y la calzada es (0.10, 0.08).

Para calcular los términos de energía gravitacional, deje que la parte inferior de la calzada sea cero y positiva hacia arriba. El sistema de coordenadas utilizado para calcular la energía gravitacional no tiene por qué ser en general el mismo que el sistema que usas para el resto del problema. De hecho, dado que la relación trabajo-energía es una ecuación escalar, ¡las otras partes de la ecuación no deberían depender en absoluto de su elección del sistema de coordenadas!

Evento 1: El instante antes de que el trineo comience a moverse.	Evento 2: El instante en que el trineo llega al fondo del camino de entrada
Evento 2: El instante en que el trineo llega al fondo del camino de entrada	\(\mathrm{KE}_{2}=\frac{1}{2} \ 45 \mathrm{v}^{2}\)
GE 1 = 45 (9.8) (10 sin 15 ^0) = 1140	GE 2 = 0
\(\mathrm{W}_{12}=F_{i c e}(10) \cos 90+F_{\text {kineticfriction }}(10) \cos 180\)

\ [\ begin {alineado}
&K E_ {1} +G E_ {1} +W_ {12} =K E_ {2} +G E_ {2}\\\
&0+1140+F_ {i c e} (10)\ cos 90+F_ {k f} (10)\ cos 180=\ frac {1} {2} 45 v_ {2} ^ {2}} +0\\
&1140-10 F_ {k f} =22.5 v_ {2} ^ {2}
\ final {alineado}\ nonumber\]

Nota:

• Las únicas fuerzas que podrían hacer trabajo son la fuerza del hielo y la fuerza de fricción, ya que la acción de la fuerza de la gravedad ya está incorporada a los términos de energía potencial gravitacional.
• Las alturas en la función de energía potencial gravitacional se midieron desde la parte inferior de la calzada, con la dirección positiva como hacia arriba, según se requiera. Observe que la altura inicial no es la misma que la longitud del camino de entrada. Dado que el camino de entrada es de 10 m de largo, en un ángulo de 15°, la altura de la parte superior de la calzada con respecto a la parte inferior es de (10 m) a 15°. La altura en la parte inferior de la calzada se define como 0 m.

Para terminar el análisis necesitamos determinar la fuerza cinética de fricción. Dado que esto depende de la fuerza del hielo, aplique la Segunda Ley de Newton en la dirección y y encuentre:

\ [\ begin {alineado}
&\ Sigma f=m a\\
&+F_ {i c e} -F_ {\ text {gravedad}}\ cos 15=45 (0)\\
&F_ {i c e} - (45) (9.8)\ cos 15=0\
&F_ {i c e} =426 N
\ end {alineado}\ nonumber\]

\ [\ comenzar {alineado}
F_ {k f} &=\ mu_ {s} F_ {i c e}\\
F_ {k f} & =( 0.08) (426)\\
F_ {k f} &=34 N
\ end {alineado}\ nonumber\]

Al conectar este valor a la relación trabajo-energía se obtiene:

\ [\ begin {alineado}
&1140-10 (34) =22.5 v_ {2} ^ {2}\\
&1140-340=22.5 v_ {2} ^ {2}\\
&800=22.5 v_ {2} ^ {2}\\
&v_ {2} =5.96 m/s
\ end {alineado}\ nonumber\]

Una colisión bidimensional

Probemos una colisión bidimensional.

En una intersección transitada, un conductor impaciente que se dirige al sur pasa un semáforo en rojo y choca con un camión de reparto que originalmente se mueve a 15 m/s al oeste Los vehículos se enredan y las marcas de derrape de los restos se encuentran a 22 ^o al sur del oeste. La masa automática es de 755 kg y la masa del camión es de 1250 kg.

A continuación se muestran diagramas parciales de carrocería libre (vista superior) tanto para el automóvil como para el camión durante el intervalo de tiempo durante la colisión.

Estos son solo diagramas parciales de cuerpo libre porque:

• No se muestran las fuerzas perpendiculares a la superficie terrestre (la fuerza de gravedad y la fuerza de la carretera).
• Durante una colisión, la fuerza entre los objetos colisionantes es normalmente mucho mayor en magnitud que cualquier otra fuerza que actúe sobre los objetos. Por lo tanto, a menudo ignoraremos las otras fuerzas que actúan sobre objetos colisionantes mientras dure una colisión. Esta aproximación se conoce como aproximación de impulso. Bajo la aproximación de impulso, se ignoran las fuerzas de fricción entre el automóvil y el camión y la carretera.

También señalar que se desconoce la dirección de la fuerza que actúa entre el automóvil y el camión. El ángulo no\(\theta\) se determina a partir de la descripción de la situación.

Evento 1: El instante antes de que choquen el auto y el camión	Evento 2: El instante en que alcanzan una velocidad común
Objeto: Car
P 1x = 0	P 2x = 755 (v 2 cos 22º) = 700 v 2
P 1y = 755 v auto	P 2y = 755 (v 2 sin 22º) = 283 v 2
\(\mathrm{J}_{12 \mathrm{x}}=F_{\text {truckoncar }} \cos \theta(\Delta t)\)
\(\mathrm{J}_{12 \mathrm{y}}=-F_{\text {truckoncar }} \sin \theta(\Delta t)\)
Objeto: Truck
P 1x = 1250 (15) = 18750	P 2x = 1250 (v 2 cos 22º) = 1160 v 2
P 1 año = 0	P 2y = 1250 (v 2 sin 22º) = 468 v 2
\(\mathrm{J}_{12 \mathrm{x}}=-F_{\text {carontruck }} \cos \theta(\Delta t)\)
\(\mathrm{J}_{12 \mathrm{y}}=F_{\text {carontruck }} \sin \theta(\Delta t)\)

Aplicando la relación impulso-impulso a los rendimientos del automóvil y camión:

Coche

\[\begin{array}{ll} \underline{\mathbf { x-direction }} && \underline{\mathbf{y -direction }} \\ P_{1}+J_{12}=P_{2} && P_{1}+J_{12}=P_{2} \\ 0+F_{\text {truckoncar }} \cos \theta(\Delta t)=700 v_{2} && 755 v_{\text {car }}-F_{\text {truckoncar }} \sin \theta(\Delta t)=283 v_{2} \end{array} \nonumber\]

Camioneta

\ [\ begin {array} {ll}\ subrayado {\ mathbf {x-direction}} &&\ subrayado {\ mathbf {y -dirección}}\
P_ {1} +J_ {12} =P_ {2} && P_ {1} +J_ {12} =P_ {2}\\
18750-F_ {\ text {carro}}\ cos\ theta (\ Delta t) =1160 v_ {2} && 0+F_ {\ text {carontruck}}\ sin\ theta (\ Delta t) =468 v _ {2}\ end {array}\ nonumber\]

Dado que la magnitud de la fuerza sobre el auto debida al camión y la fuerza sobre el camión debido al auto son iguales, cuando se agregan las ecuaciones x para el auto y el camión, ¡los impulsos se cancelan!

\[\begin{aligned} & \underline{\mathbf { x-direction }} \\ &0+18750=700 v_{2}+1160 v_{2} \\ &18750=1860 v_{2} \\ &v_{2}=10.1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} \nonumber \]

Esta es la velocidad de los restos inmediatamente después de la colisión. Tenga en cuenta que esta es exactamente la misma ecuación que hubiéramos escrito si hubiéramos considerado el sistema del automóvil y camión desde el principio. ¡Pruébalo!

Sumando las dos ecuaciones y rinde:

\[\begin{aligned} & \underline{\mathbf { x-direction }} \\ &\begin{array}{l} 755 v_{\text {car }}+0=283 v_{2}+468 v_{2} \\ 755 v_{\text {car }}=751(10.1) \\ v_{\text {car }}=10.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{array} \end{aligned} \nonumber\]

Esta es la velocidad del auto inmediatamente antes de chocar con el camión.

Actividades

A continuación se muestran seis direcciones diferentes en las que se puede lanzar una pelota de béisbol. En todos los casos el beisbol se lanza a la misma velocidad inicial desde la misma altura sobre el suelo. Supongamos que los efectos de la resistencia al aire son insignificantes.

a. Clasificar estas pelotas de béisbol en función de su velocidad horizontal el instante antes de que golpeen el suelo.

Mayor 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

b. clasificar estas pelotas de béisbol en función de su velocidad vertical el instante antes de que golpeen el suelo.

Mayor 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

c. Clasificar estas pelotas de béisbol en función de su velocidad el instante antes de que golpeen el suelo.

Mayor 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tus rankings:

A continuación se muestran seis direcciones y alturas diferentes desde las que se puede lanzar una pelota de béisbol. En todos los casos el beisbol se lanza a la misma velocidad, v. Supongamos que los efectos de la resistencia al aire son despreciables.

Clasifica estas pelotas de béisbol en función de su velocidad en el instante antes de que golpeen el suelo.

Mayor 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tus rankings:

Una cajón se libera del reposo a lo largo de una superficie inclinada. La masa de la cajón y el ángulo de inclinación varían. Los coeficientes de fricción entre las cajas y las superficies son idénticos y tan pequeños que el efecto de fricción es insignificante. Todas las cajas se liberan desde la misma altura vertical, H, por encima de la parte inferior de la inclinación.

a. Clasificar estos escenarios sobre la base de la energía cinética de la caja en el instante en que llegue al fondo de la pendiente.

Mayor 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tus rankings:

b. clasificar estos escenarios en función de la velocidad de la caja en el instante en que llegue al fondo de la pendiente.

Mayor 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tus rankings:

Una cajón se libera del reposo a lo largo de una superficie inclinada. La masa de la cajón y el ángulo de inclinación varían. Los coeficientes de fricción entre las cajas y las superficies son idénticos y tan pequeños que el efecto de fricción es insignificante. Todas las cajas se liberan desde la misma distancia, D, a lo largo de la pendiente.

a. Clasificar estos escenarios sobre la base de la energía cinética de la caja en el instante en que llegue al fondo de la pendiente.

Mayor 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tus rankings:

b. clasificar estos escenarios en función de la velocidad de la caja en el instante en que llegue al fondo de la pendiente.

Mayor 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tus rankings:

A continuación se muestran vistas a vista de pájaro de seis choques automovilísticos un instante antes de que ocurran. Los automóviles tienen diferentes masas y velocidades. Todos los automóviles permanecerán unidos después del impacto y patines para descansar. Clasificar estos choques automovilísticos en función del ángulo en el que patinan los restos. Sea 0 ⁰ el ángulo orientado directamente hacia la derecha y mida los ángulos en sentido antihorario desde 0 ⁰.

Mayor 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tus rankings:

A continuación se muestran vistas a vista de pájaro de seis choques automovilísticos un instante antes de que ocurran. Los automóviles tienen diferentes masas y velocidades. Todos los automóviles permanecerán unidos después del impacto y el derrape para descansar en el mismo ángulo, medido desde una línea orientada directamente hacia la derecha. Clasifique estos escenarios en función de la velocidad inicial del auto viajando hacia la parte superior de la página.

Mayor 1. _____ 2. _____ 3. _____ 4. _____ 5. _____ 6. _____ Más pequeño

_____ El ranking no se puede determinar con base en la información proporcionada.

Explica el motivo de tus rankings:

Para cada una de las colisiones ilustradas a continuación, esboce un gráfico del impulso del asteroide A, el impulso del asteroide B y el impulso total en el sistema de los dos asteroides. Esboce el momento horizontal y vertical por separado. Comienza tu gráfica antes de que ocurra la colisión y continúala después de que termine la colisión. Use una escala consistente en todas las gráficas.

a. Los dos asteroides permanecen unidos tras la colisión.

b. Los dos asteroides permanecen unidos después de la colisión.

Para cada una de las colisiones ilustradas a continuación, esboce un gráfico del impulso del asteroide A, el impulso del asteroide B y el impulso total en el sistema de los dos asteroides. Esboce el momento horizontal y vertical por separado. Comienza tu gráfica antes de que ocurra la colisión y continúala después de que termine la colisión. Las velocidades iniciales de los asteroides están orientadas en el mismo ángulo desde la horizontal. Use una escala consistente en todas las gráficas.

a. Los dos asteroides permanecen unidos tras la colisión.

b. Los dos asteroides permanecen unidos después de la colisión.

Para cada una de las colisiones ilustradas a continuación, esboce un gráfico del impulso del asteroide A, el impulso del asteroide B y el impulso total en el sistema de los dos asteroides. Esboce el momento horizontal y vertical por separado. Comienza tu gráfica antes de que ocurra la colisión y continúala después de que termine la colisión.

a. Los dos asteroides permanecen unidos después de la colisión y se mueven directamente hacia la parte superior de la página.

b. Los dos asteroides permanecen unidos después de la colisión y se mueven directamente hacia la derecha. Las velocidades iniciales de los asteroides están orientadas en el mismo ángulo desde la horizontal.

Para cada una de las explosiones que se ilustran a continuación, esboce un gráfico del impulso de los fragmentos A, B y C, y el impulso total en el sistema de los tres asteroides. Esboce el momento horizontal y vertical por separado. Comienza tu gráfica antes de que ocurra la explosión y continúala a medida que los fragmentos se separan. El huevo explosivo está inicialmente en reposo.

a. El fragmento A se mueve horizontalmente y los fragmentos B y C se mueven en el mismo ángulo desde la horizontal después de la explosión.

b. El fragmento B se mueve verticalmente y los fragmentos A y C se mueven en el mismo ángulo desde la vertical después de la explosión.

Para cada uno de los escenarios que se describen a continuación, indique la cantidad de energía cinética y energía potencial gravitacional del objeto en cada uno de los eventos enumerados. Use una escala consistente a lo largo de ambos movimientos. Establecer el nivel del suelo como el punto cero de la energía potencial gravitacional

a. Se lanza una pelota de béisbol a 30 m/s en un ángulo de 30° por encima de la horizontal sobre terreno nivelado.

b. Se lanza una pelota de béisbol a 30 m/s en un ángulo de 60° por encima de la horizontal sobre terreno nivelado.

Para cada uno de los escenarios que se describen a continuación, indique la cantidad de energía cinética y energía potencial gravitacional del objeto en cada uno de los eventos enumerados. Usa una escala consistente en ambos movimientos

a. Un esquiador de 60 kg parte del descanso en lo alto de una pendiente de 100 m, 25 ⁰. No empuja con sus bastones porque tiene miedo de ir demasiado rápido. Establecer la parte inferior de la pendiente como el punto cero de la energía potencial gravitacional

b. un esquiador de 60 kg parte del descanso en la cima de una pendiente de 100 m, 25 ⁰. No empuja con sus bastones porque tiene miedo de ir demasiado rápido. Establecer la parte superior de la pendiente como el punto cero de la energía potencial gravitacional

Para cada uno de los escenarios que se describen a continuación, indique la cantidad de energía cinética y energía potencial gravitacional de cada objeto en cada uno de los eventos enumerados. Use una escala consistente a lo largo de ambos movimientos. Establecer las posiciones iniciales del esquiador y bloquear como los puntos cero de la energía potencial gravitacional.

a.- En un dispositivo de esquí horizontal, el esquiador comienza desde el descanso a 35 m del final de la pista de esquí. El bloque de lastre tiene una masa de 50 kg y el esquiador tiene una masa de 75 kg. El coeficiente de fricción es extremadamente pequeño.

b. en un dispositivo de esquí inclinado, el esquiador comienza desde el descanso a 35 m del final de la pista de esquí inclinada horizontal 20 ⁰ arriba. El bloque de lastre tiene una masa de 50 kg y el esquiador tiene una masa de 75 kg. El coeficiente de fricción es extremadamente pequeño.

Una niña tira un trineo de 35 kg, incluyendo la masa de su hermana menor, a lo largo del hielo. La niña tira de la cuerda de remolque, orientada a 40 ⁰ por encima de la horizontal, con una fuerza de 120 N hasta que su hermana comienza a llorar. Como un reloj, su hermana siempre llora al alcanzar una velocidad de 3.0 m/s El coeficiente de fricción es (0.10,0.08).

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ⁴¹

Evento 1:	Evento 2:
P 1x =	P 2x =
P 1y =	P 2 años =
J 12x =
J 12 años =
K E1 =	K E2 =
G E1 =	G E2 =
W 12 =

a. ¿Hasta dónde se ha movido el trineo antes de que la hermanita empiece a llorar?

b. ¿Cuál es el tiempo transcurrido antes de que la hermanita empiece a llorar?

Un niño tira un trineo de 30 kg, incluyendo la masa de su hermano menor, a lo largo del hielo. El niño tira de la cuerda de remolque, orientada a 60° por encima de la horizontal, con una fuerza de 110 N por 3.0 s. Al final del tirón de 3.0 s, su hermano menor comienza a llorar. El coeficiente de fricción es (0.20,0.15).

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ⁴²

Evento 1:	Evento 2:
P 1x =	P 2x =
P 1y =	P 2 años =
J 12x =
J 12 años =
K E1 =	K E2 =
G E1 =	G E2 =
W 12 =

a. ¿Qué tan rápido se mueve el trineo antes de que el hermanito empiece a llorar?

b. ¿Hasta dónde se ha movido el trineo antes de que el hermanito empiece a llorar?

Partiendo del descanso, una niña puede tirar de un trineo, llevando a su hermano menor, 20 m en 8 s. La niña tira de la cuerda de remolque, orientada a 30 ⁰ por encima de la horizontal, con una fuerza de 90 N. El coeficiente de fricción es (0.15,0.10).

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ⁴³

Evento 1:	Evento 2:
P 1x =	P 2x =
P 1y =	P 2 años =
J 12x =
J 12 años =
K E1 =	K E2 =
G E1 =	G E2 =
W 12 =

Una bicicleta de 100 kg y un jinete inicialmente se mueven a 16 m/s subiendo una colina de 15 ⁰. El piloto choca los frenos y patina para descansar. El coeficiente de fricción es (0.8,0.7).

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ⁴⁴

Evento 1:	Evento 2:
P 1x =	P 2x =
P 1y =	P 2 años =
J 12x =
J 12 años =
K E1 =	K E2 =
G E1 =	G E2 =
W 12 =

a. ¿Qué tan lejos resbala la bicicleta?

b. ¿Cuál es el tiempo transcurrido antes de que la bicicleta deje de derrapar?

Un esquiador de 60 kg parte del descanso en lo alto de una pendiente de 100 m, 25 ⁰. No empuja con sus bastones porque tiene miedo de ir demasiado rápido. El coeficiente de fricción es (0.10,0.05).

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ⁴⁵

Evento 1:	Evento 2:
P 1x =	P 2x =
P 1y =	P 2 años =
J 12x =
J 12 años =
K E1 =	K E2 =
G E1 =	G E2 =
W 12 =

Un snowboarder de 70 kg parte del descanso en lo alto de una pendiente de 270 m, 20 ⁰. Al fondo del cerro se mueve a 33 m/s.

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ⁴⁶

Evento 1:	Evento 2:
P 1x =	P 2x =
P 1y =	P 2 años =
J 12x =
J 12 años =
K E1 =	K E2 =
G E1 =	G E2 =
W 12 =

El dispositivo a la derecha garantiza toda la emoción del esquí sin necesidad de colinas. El esquiador comienza del descanso a 35 m de la pared de ladrillo. El bloque tiene una masa de 50 kg y el esquiador tiene una masa de 75 kg. El coeficiente de fricción es (0.15,0.13).

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ⁴⁷

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
K E1 =	K E2 =
G E1 =	G E2 =
W12 =
Objeto:
K E1 =	K E2 =
G E1 =	G E2 =
W12 =

El dispositivo a la derecha permite a los principiantes esquiar cuesta abajo a velocidades reducidas. El bloque tiene una masa de 10 kg y el esquiador tiene una masa de 80 kg. El coeficiente de fricción es (0.08,0.07). El esquiador parte del descanso en lo alto de una pendiente de 30 m, 20 ⁰.

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ⁴⁸

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
K E1 =	K E2 =
G E1 =	G E2 =
W12 =
Objeto:
K E1 =	K E2 =
G E1 =	G E2 =
W12 =

El dispositivo a la derecha te permite esquiar cuesta arriba (hasta que chocas contra la polea). El bloque de lastre tiene una masa de 60 kg y el esquiador tiene una masa de 70 kg. El coeficiente de fricción es (0.1,0.09). La rampa está inclinada a 200 por encima de la horizontal y la polea está a 45 m de distancia.

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ⁴⁹

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
K E1 =	K E2 =
G E1 =	G E2 =
W12 =
Objeto:
K E1 =	K E2 =
G E1 =	G E2 =
W12 =

Dos automóviles idénticos de 800 kg, uno que se mueve hacia el este a 10 m/s y el otro que se mueve hacia el norte a 15 m/s, chocan. Después de la colisión permanecen unidos y se mueven con una velocidad común.

Diagramas de cuerpo libre

Análisis Matemático ⁵⁰

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
P 1x =	P 2x =
P 1y =	P 2 años =
J 12x =
J 12 años =
Objeto:
P 1x =	P 2x =
P 1y =	P 2 años =
J 12x =
J 12 años =

Dos automóviles idénticos de 750 kg, uno que se mueve hacia el este a 10 m/s y el otro al norte, chocan. Después de la colisión permanecen unidos y se mueven con una velocidad común. El naufragio patina a 30 ⁰ al norte del este.

Diagramas de cuerpo libre

Análisis Matemático ⁵¹

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
P 1x =	P 2x =
P 1y =	P 2 años =
J 12x =
J 12 años =
Objeto:
P 1x =	P 2x =
P 1y =	P 2 años =
J 12x =
J 12 años =

En un derbi de demolición, un Audi de 700 kg viaja a 15 m/s 30 ⁰ al norte del este. Un BMW de 800 kg viaja a 5.0 m/s sur. Chocan. Después de la colisión, el Audi es redirigido a 100 al norte del este y el BMW es redirigido a 400 este de sur.

Diagramas de cuerpo libre

Análisis Matemático ⁵²

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
P 1x =	P 2x =
P 1y =	P 2 años =
J 12x =
J 12 años =
Objeto:
P 1x =	P 2x =
P 1y =	P 2 años =
J 12x =
J 12 años =

En un derbi de demolición, un Audi de 600 kg viaja a 15 m/s 30 ⁰ al oeste del sur. Un BMW de 700 kg viaja a 10 m/s 400 al norte del este. Chocan. Después de la colisión, el Audi es redirigido a 200 norte de poniente y el BMW es redirigido a 50 ⁰ sur de este.

Diagramas de cuerpo libre

Análisis Matemático ⁵²

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
P 1x =	P 2x =
P 1y =	P 2 años =
J 12x =
J 12 años =
Objeto:
P 1x =	P 2x =
P 1y =	P 2 años =
J 12x =
J 12 años =

Un niño tira un trineo inicialmente estacionario de masa m (incluida la masa del extraño chico del vecindario montando el trineo) a lo largo de una superficie nivelada. Ejerce una fuerza de magnitud F en un ángulo\(\theta\) por encima de la horizontal. Determinar la velocidad (v) del trineo en función de la distancia tirada (d), el coeficiente de fricción apropiado entre el trineo y la superficie, m, F\(\theta\), y g.

Diagrama de cuerpo libre

Análisis matemático

Evento 1:	Evento 2:
K E1 =	K E2 =
G E1 =	G E2 =
W12 =

Preguntas

Si d = 0 m, ¿qué debería ser igual v? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si m = 0 kg, ¿qué debería ser igual v? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si F = 0 N, ¿qué debería ser igual v? ¿Su función concuerda con esta observación?

Un esquiador de masa m parte del descanso en la parte superior de una pendiente de longitud D inclinada\(\theta\) por encima de la horizontal. Ella no empuja con sus bastones. Determinar la velocidad del esquiador en el fondo de la pendiente (v) en función del coeficiente de fricción apropiado entre el cielo y la nieve, D, m\(\theta\), y g.

Diagrama de cuerpo libre

Análisis matemático

Evento 1:	Evento 2:
K E1 =	K E2 =
G E1 =	G E2 =
W12 =

Preguntas

Si g = 0 m/s ², ¿qué debería ser igual v? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si\(\theta\) = 0°, ¿qué debería ser v igual? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si se duplica la D, ¿qué pasará con v?

El conductor de un automóvil de masa m, viajando por una pendiente de ángulo\(\theta\), de repente ve un obstáculo bloqueando su carril. Ignorando su tiempo de reacción, determinar el tiempo transcurrido (T) antes de que el carro patine a una parada en función de la velocidad inicial (v), el coeficiente de fricción apropiado entre las llantas y la carretera, m,\(\theta\) y g.

Diagrama de cuerpo libre

Análisis matemático

Evento 1:	Evento 2:
P 1x =	P 2x =
P 1y =	P 2 años =
J 12x =
J 12 años =

Preguntas

Si\(\mu\) = 0, ¿qué debería ser igual T? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si se duplica m, ¿qué pasará con T?

Si v se duplica, ¿qué pasará con T?

¿Hay un ángulo máximo por encima del cual el auto no se detendrá? Si es así, determinar una expresión para este ángulo.

El conductor de un automóvil de masa m, viajando por una pendiente de ángulo\(theta\), de repente ve un obstáculo bloqueando su carril. Ignorando su tiempo de reacción, determine la distancia (D) que patina el automóvil antes de detenerse en función de la velocidad inicial (v), el coeficiente de fricción apropiado entre las llantas y la carretera, m\(\theta\) y g

Diagrama de cuerpo libre

Análisis matemático

Evento 1:	Evento 2:
K E1 =	K E2 =
G E1 =	G E2 =
W 12 =

Preguntas

Si\(\mu\) = 0, ¿qué debería ser igual T? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si se duplica m, ¿qué pasará con T?

Si v se duplica, ¿qué pasará con T?

¿Hay un ángulo máximo por encima del cual el auto no se detendrá? Si es así, determinar una expresión para este ángulo.

El dispositivo a la derecha garantiza toda la emoción del esquí sin necesidad de colinas. Un esquiador de masa m comienza del descanso a una distancia D de la pared de ladrillo. Determinar la velocidad del esquiador cuando choca contra la pared (v) en función del coeficiente de fricción apropiado entre el cielo y la nieve, la masa del bloque (M), D, m y g.

Diagrama de cuerpo libre

Análisis Matemático ⁴⁷

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
K E1 =	K E2 =
G E1 =	G E2 =
W12 =
Objeto:
K E1 =	K E2 =
G E1 =	G E2 =
W12 =

Preguntas

Si M = 0, ¿qué debería ser igual v? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si se duplica D, ¿qué pasará con v?

¿Cuál es la masa mínima de bloque necesaria para que el esquiador se mueva?

Dos automóviles idénticos, uno moviéndose hacia el este en v _E y el otro moviéndose hacia el norte en v _N, chocan. Después de la colisión permanecen unidos y se mueven con una velocidad común. Determinar el ángulo en el que los restos patines (\(\theta\)), medidos en sentido antihorario desde el este, en función de v _E y v _N.

Diagramas de cuerpo libre

Análisis Matemático ⁵¹

Evento 1:	Evento 2:
Objeto:
P 1x =	P 2x =
P 1y =	P 2 años =
J 12x =
J 12 años =
Objeto:
P 1x =	P 2x =
P 1y =	P 2 años =
J 12x =
J 12 años =

Preguntas

Si v _E = ∞, ¿qué debería ser\(\theta\) igual? ¿Su función concuerda con esta observación?

Si v _E = v _N, ¿qué debería ser\(\theta\) igual? ¿Su función concuerda con esta observación?