3.12: Problemas adicionales

3.43 Aire fresco de montaña

Modelar la atmósfera terrestre como un gas ideal (nitrógeno) en un campo gravitacional uniforme. Ignorar todos los vientos. Que m denote la masa de una molécula de gas, g la aceleración de la gravedad, y z la altura sobre el nivel del mar.

a. Usa ideas de la mecánica newtoniana para demostrar que el cambio de la presión atmosférica p con la altura z es

\[ \frac{d p}{d z}=-\frac{m g}{k_{B} T(z)} p(z).\]

b. Si la atmósfera es un mal conductor del calor, entonces la disminución de la presión con la altura se debe a una expansión adiabática. (pista: En otras palabras: En el fondo de la montaña, llene un globo aislado con aire a la densidad, presión y temperatura locales. Transporta ese globo a la cima de la montaña. Durante el viaje el globo se expandirá, por lo que la densidad, la presión y la temperatura cambiarán. Según nuestra suposición, durante este viaje la densidad, la presión y la temperatura del globo coincidirán con las de la atmósfera exterior). Demostrar que bajo esta suposición

\[ \frac{d p}{d T}=\frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{p(T)}{T}\]

y de ahí que

\[ \frac{d T}{d z}=-\frac{\gamma-1}{\gamma} \frac{m g}{k_{B}}.\]

Evaluar esta expresión en kelvin por kilómetro para nitrógeno, que tiene γ = 1.4.

c. En contraste, si la atmósfera fuera un buen conductor de calor, entonces la temperatura sería uniforme. Encontrar p (z) en tales circunstancias. Denote la presión y temperatura del nivel del mar por p ₀ y T ₀.

d. De igual manera encontrar p (z) para una atmósfera adiabática. 3.44 La velocidad del sonido Cuando una onda sonora pasa a través de un fluido (líquido o gas), el periodo de vibración es corto comparado con el tiempo necesario para un flujo de calor significativo, por lo que las compresiones pueden considerarse adiabáticas. Analizar las compresiones y rarefacciones de fluido en un tubo. La densidad de masa en equilibrio es ρ ₀. Aplicar F = ma a un trozo de fluido de espesor ∆x, y mostrar que si las variaciones en la presión p (x, t) son pequeñas, entonces la presión satisface la ecuación de onda

\[ \frac{\partial^{2} p}{\partial t^{2}}=c^{2} \frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}\]

donde c, la velocidad del sonido, viene dada por

\[ c=\frac{1}{\sqrt{\rho_{0} \kappa_{S}}}.\]

Opcional: Utilizar los resultados de los problemas 1.2 y 3.35 para demostrar que, para un gas ideal,

\[ c=\sqrt{\gamma \frac{k_{B} T}{m}}.\]

3.45 Termodinámica de una varilla de plástico

(Este problema se basa en el problema de Reif 5.14.)

Para un rango restringido de longitudes L y temperaturas T, la fuerza de tensión en una varilla de plástico estirada es

\[ F(T, L) = aT^2 (L − L_0),\]

donde a es una constante positiva y L ₀ es la longitud relajada (sin estirar) de la varilla. Cuando L = L ₀, la capacidad calorífica C _L de la varilla (medida a longitud constante) viene dada por C _L (T, L ₀) = bT, donde b es independiente de la temperatura .

a.- Anote la relación termodinámica fundamental para esta varilla, expresando dE en términos de dS y dL.

b. Calcular (S /L) T. (Clue: Derivar una relación Maxwell apropiada para el ensamblaje con las variables T y L.)

c. Conociendo S (T ₀, L ₀), integrar a lo largo de un camino apropiado para encontrar S (T, L) a cualquier temperatura y longitud dentro del rango de aplicabilidad de la ecuación para F (T, L).

d. Si comienzas en T = T _i y L = L _i y luego estiras cuasiestáticamente una varilla térmicamente aislada hasta que alcance la longitud L _f, ¿cuál es la temperatura final T _f? Mostrar que cuando L ₀ ≤ L _i < L _f, la varilla es enfriada por este proceso.

e. encontrar la capacidad calorífica C _L (L, T) de la varilla cuando su longitud no es necesariamente L ₀.

f. encontrar (T /L) S para T y L arbitrarias. ¿Pueden los estiramientos aislados calentar y enfriar la varilla?

3.46 Refrigeración magnética

A bajas temperaturas, las sales paramagnéticas obedecen a la ley de Curie

\[ M = c \frac{H}{T},\]

donde c es una constante positiva (ver ecuación (3.100)). Supongamos que la capacidad calorífica C _H es una constante independiente de la temperatura y el campo. Supongamos que una muestra a campo magnético H _i y temperatura T _i se envuelve en aislamiento, y luego el campo magnético se reduce lentamente a cero. Encuentra la temperatura final, y demuestra que es menor que T _i. Esta técnica, conocida como “desmagnetización adiabática” es el método de refrigeración utilizado para producir las temperaturas de aproximadamente 1 kelvin a 1 microkelvin.

3.47 Termodinámica de una celda electroquímica

Reif 5.16.

3.48 Termodinámica y evolución

Lea el ensayo “La termodinámica y la evolución” de John W. Patterson, en Los científicos confrontan al creacionismo, Laurie R. Godfrey, ed. (Norton, Nueva York, 1983), páginas 99 a 116, sobre la reserva en la biblioteca de ciencias.

a. Cuando se forma un copo de nieve, su entorno aumenta en entropía (“se vuelven más desordenados”). ¿Cuál es el nombre del flujo de calor asociado a este cambio de entropía?

b. Patterson sostiene que ∆S < 0 en la Tierra, debido a la evolución biológica, y que ∆S > 0 en algún otro lugar del universo con el fin de compensarlo. ¿Dónde se produce ese incremento de entropía?

c. Patterson siente la necesidad de invocar la “autoorganización” y Prigogine (páginas 110—111) para explicar cómo se podrían hacer sus bombas de ariete. ¿Esto es necesario? Enumere dos o más situaciones de la naturaleza en las que el agua fluye cuesta arriba.

3.49 Entropía y evolución

Los creacionistas a veces afirman que la segunda ley de la termodinámica prohíbe la evolución biológica.

a. La superficie del Sol (temperatura media 5778 K) calienta la superficie de la Tierra (temperatura media 288 K) a través de radiación visible e infrarroja cercana. La energía solar absorbida por la Tierra cada segundo es 1.732 × 10 ¹⁷ J. ¿Cuál es el cambio de entropía por segundo (debido a este proceso) del Sol? ¿La Tierra? ¿Aumenta o disminuye la entropía de “Sol más Tierra”?

b. Sin embargo, la temperatura media de la Tierra cambia lentamente, si acaso. Esto se debe a que casi toda la energía solar absorbida por la Tierra se emite entonces a través de radiación infrarroja lejana que a su vez calienta el “espacio exterior” —el fondo cósmico de microondas (CMB; temperatura 2.728 K). ¿Cuál es el cambio de entropía por segundo (debido a este proceso) de la Tierra? ¿El CMB? ¿Aumenta o disminuye la entropía de “Tierra más CMB”?

c. Ahora afinar el modelo suponiendo que, debido a la evolución, la entropía de la Tierra no es exactamente constante, sino que está disminuyendo. (En este caso la entropía del CMB tendría que estar aumentando más rápido que la tasa predicha en la parte (b).) Supongamos que, debido a la evolución, cada organismo individual es 1000 veces “más improbable” de lo que era el individuo correspondiente hace 100 años. En otras palabras, si Ω _i es el número de microestados consistentes con la especificación de un organismo hace 100 años, y si Ωf es el número de microestados consistente con la especificación del organismo “mejorado y menos probable” de hoy, entonces Ω _f = 10−3Ω _i. ¿Cuál es el cambio correspondiente en la entropía por organismo?

d. La población de la Tierra es de aproximadamente 1018 individuos eucariotas y 1032 individuos procariotas. Si la estimación de la parte (c) se mantiene para cada una de ellas, ¿cuál es el cambio en la entropía debido a la evolución cada segundo?

e. ¿Con qué precisión tendría que medir el flujo de entropía de la parte (b) para notar la desviación del flujo de entropía calculado en la parte (d)? ¿Alguna vez se ha medido alguna cantidad científica con esta precisión?

f. generalmente se acuerda que la mayor tasa de evolución cayó durante el periodo Cámbrico, de 542 millones de años atrás a 488 millones de años atrás. Durante esta llamada “explosión cámbrica” organismos multicelulares primero se formaron y luego irradiaron en notable variedad. Supongamos que durante el periodo cámbrico la entropía fue desviada hacia la evolución de los seres vivos a la tasa calculada en la parte (d). Y supongamos que al final del Cámbrico había 10 ¹⁸ individuos multicelulares. ¿Cuánto sería “mejorado y menos probable” cada organismo, en relación con su ancestro unicelular al inicio del periodo Cámbrico?

¿La moraleja de la historia? Hay mucha entropía para dar la vuelta.