11.1: Lagrangiano y Hamiltoniano

Consideremos un proceso que convierta la energía de una forma a otra. Nos interesa cómo evoluciona alguna cantidad durante el proceso de conversión energética, y llamamos a esta cantidad el camino generalizado,\(y(t)\). Por simplicidad, consideramos solo el caso donde esta ruta tiene una variable independiente\(t\) y una variable dependiente\(y\). En este capítulo,\(t\) representa el tiempo, pero también puede representar la posición u otra variable independiente. Estas ideas generalizan directamente a situaciones con múltiples variables independientes y dependientes [163] [164], pero el problema de múltiples variables requiere matemáticas más involucradas. Las unidades de ruta generalizada dependen del proceso de conversión de energía que se esté considerando. En el ejemplo de resorte de masa de la Sec. 11.4, representa la posición de una masa. En el ejemplo de inductor de condensador de Sec. 11.5, representa la carga acumulada en las placas del condensador. Aparte del proceso de conversión de energía que se está considerando, supongamos que no se producen otros procesos de conversión de energía, aunque esta situación es poco probable. El sistema pasa de tener toda la energía en la primera forma a tener toda la energía en la segunda forma siguiendo el camino\(y(t)\).

Definir lo lagrangiano\(\mathcal{L}\) como la diferencia entre la primera y la segunda forma de energía en consideración. El lagrangiano es una función de\(t\)\(y\),\(\frac{dy}{dt}\), y, y tiene las unidades de julios.

\[\mathcal{L} \left(t, y, \frac{dy}{dt} \right) = \text{(First form of energy) - (Second form of energy)} \nonumber \]

En cualquier momento, la energía total del sistema es la suma. Definir al hamiltoniano\(H\), también en julios, como la energía total.

\[H \left(t, y, \frac{dy}{dt} \right) = \text{(First form of energy) + (Second form of energy)} \nonumber \]

Algunas formas de energía no pueden ser descritas por un lagrangiano de la forma\(\mathcal{L} \left(t, y, \frac{dy}{dt} \right)\) y en cambio requieren un lagrangiano de la forma

\[\mathcal{L} \left(t, y, \frac{dy}{dt}, \frac{d^2y}{dt^2}, \frac{d^3y}{dt^3}, ... \right). \nonumber \]

[163, p. 56]. Tales formas de energía no serán consideradas aquí. La energía se conserva en cualquier proceso de conversión de energía. La conservación de la energía se puede expresar como

\[\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} = 0. \nonumber \]

Derivados del Lagrangiano serán útiles en la discusión a continuación. Definir el potencial generalizado como la derivada parcial del lagrangiano con respecto al camino,\( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} \). Las unidades del potencial generalizado dependen de las unidades del camino. Más específicamente, las unidades del potencial generalizado son julios divididos por las unidades del camino. Nótese que el potencial generalizado y la energía potencial son ideas diferentes. La energía potencial tiene unidades de julios mientras que las unidades de potencial generalizado varían. Algunos autores utilizan el término potencial como sinónimo de voltaje, pero esta definición de potencial generalizado es más amplia. Para más información sobre la distinción entre potencial, potencial generalizado y energía potencial ver Apéndice C.

Definir el impulso generalizado\(\mathbb{M}\) como la derivada parcial del lagrangiano con respecto a la derivada temporal del camino.

\[ \mathbb{M} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \frac{dy}{dt} \right)}. \nonumber \]

Muchos autores utilizan la variable\(p\) para el impulso generalizado. Sin embargo, se\(\mathbb{M}\) utilizará aquí porque la variable ya\(p\) está demasiado sobrecargada. Definir la capacidad generalizada como la relación entre el camino generalizado y el potencial generalizado.

\[\text{Generalized capacity} = \frac{\text{Generalized path}} {\text{Generalized potential}} \nonumber \]

La capacidad también se discute en el Apéndice C.