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Centro de masa y momentos de inercia de masa para cuerpos 3D homogéneos

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    Se muestra la forma con el volumen y la ubicación del centro de masa Momentos masivos de inercia

    Varilla Esbelta

    Un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales con el eje z' apuntando fuera de la pantalla, el eje x' horizontalmente en el plano de la pantalla, y el eje y tendido verticalmente en el plano de la pantalla. Una varilla de longitud l se encuentra a lo largo del eje y positivo, con un extremo en el origen de este sistema. El centro de masa G de la varilla se encuentra l/2 unidades por encima del origen. El punto G forma el origen de otro sistema cartesiano, con el eje z apuntando fuera de la pantalla, el eje x acostado horizontalmente en el plano de la pantalla y el eje y compartido con el eje y existente.

    \(I_{xx} = I_{zz} = \dfrac{1}{12} ml^2\)

    \(I_{yy} = 0\)

    \(I_{xx'} = I_{zz'} = \dfrac{1}{3} ml^2\)

    Placa Rectangular Plana

    Un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional con el eje z apuntando fuera de la pantalla, el eje x acostado horizontalmente en el plano de la pantalla, y el eje y acostado verticalmente en el plano de la pantalla. Una placa plana rectangular se encuentra en el plano xz, con su centro de masa G en el origen de este sistema. La placa tiene una longitud de b paralela al eje x, y una anchura de h, paralela al eje z.

    \(I_{xx} = \dfrac{1}{12} mh^2\)

    \(I_{yy} = \dfrac{1}{12} m (h^2 + b^2) \)

    \(I_{zz} = \dfrac{1}{12} mb^2\)

    Placa Circular Plana

    Un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional con el eje z apuntando fuera de la pantalla, el eje x acostado horizontalmente en el plano de la pantalla, y el eje y acostado verticalmente en el plano de la pantalla. Una placa circular plana de radio r se encuentra en el plano xz, con su centro de masa G ubicado en el origen del sistema.

    \(I_{xx} = I_{zz} = \dfrac{1}{4} mr^2\)

    \(I_{yy} = \dfrac{1}{2} mr^2\)

    Anillo Circular Delgado

    Plano de coordenadas cartesianas tridimensionales con el eje z apuntando fuera de la pantalla, el eje x que se encuentra horizontalmente en el plano de la pantalla y el eje y verticalmente en el plano de la pantalla. Un delgado anillo circular de radio r se encuentra en el plano xz, con su centro de masa G en el origen de este sistema.

    \(I_{xx} = I_{zz} = \dfrac{1}{2} mr^2\)

    \(I_{yy} = mr^2\)

    Prisma Rectangular

    Plano de coordenadas cartesianas tridimensionales con el eje z apuntando fuera de la pantalla, el eje x que se encuentra horizontalmente en el plano de la pantalla y el eje y verticalmente en el plano de la pantalla. Un prisma rectangular se centra en este sistema, con el centro de masa G tendido en el origen. El prisma tiene un ancho de w unidades paralelas al eje x, una altura de h unidades paralelas al eje y y una profundidad de d unidades paralelas al eje z.

    \(Volume = dwh\)

    \ begin {alinear*} I_ {xx} &=\ frac {1} {12} m (h^2 + d^2)\\ [4pt] I_ {yy} &=\ frac {1} {12} m (d^2 + w^2)\\ [4pt] I_ {zz} &=\ frac {1} {12} m (h^2 + w^2)\ end {alinear*}

    Cilindro

    Plano de coordenadas cartesianas tridimensionales con el eje z apuntando fuera de la pantalla, el eje x que se encuentra horizontalmente en el plano de la pantalla y el eje y verticalmente en el plano de la pantalla. Un cilindro se encuentra centrado en este sistema, con su centro de masa G en el origen. La base del cilindro tiene un radio de r y se encuentra paralela al plano xz, y el cilindro tiene una altura h que se mide paralela al eje y.

    \(Volume = \pi r^2 h\)

    \( I_{xx} = I_{zz} = \dfrac{1}{12} m(3r^2 + h^2) \)

    \(I_{yy} = \dfrac{1}{2} mr^2\)

    Carcasa cilíndrica delgada

    Plano de coordenadas cartesianas tridimensionales con el eje z apuntando fuera de la pantalla, el eje x que se encuentra horizontalmente en el plano de la pantalla y el eje y verticalmente en el plano de la pantalla. Una concha cilíndrica hueca se encuentra centrada en este sistema, con su centro de masa G en el origen. La base de la cubierta cilíndrica tiene un radio de r y se encuentra paralela al plano xz, y la concha tiene una altura h que se mide paralela al eje y.

    \(I_{xx} = I_{zz} = \dfrac{1}{6} m(3r^2 + h^2)\)

    \(I_{yy} = mr^2\)

    Medio Cilindro

    Plano de coordenadas cartesianas tridimensionales con el eje z apuntando fuera de la pantalla, el eje x' horizontalmente en el plano de la pantalla y el eje y' verticalmente en el plano de la pantalla. Un medio cilindro se encuentra con su cara rectangular en el plano x'y' y el centroide de esa cara rectangular en el origen de este sistema. El semiclindro tiene un radio de r y una altura de h, medidas paralelas al eje y'. El centro de masa G del medio cilindro se encuentra a una distancia de 4r/ (3 pi) desde el origen de este sistema, en la dirección z negativa. El punto G forma el origen de otro sistema cartesiano tridimensional, con el eje x que se encuentra horizontalmente dentro del plano de la pantalla, el eje y se encuentra verticalmente dentro del plano de la pantalla y el eje z compartido con el eje z original.

    \(Volume = \dfrac{1}{2} \pi r^2h\)

    \(I_{xx} = I_{zz} = \left( \dfrac{1}{4} - \dfrac{16}{9 \pi^2} \right) mr^2 + \dfrac{1}{12} mh^2\)

    \(I_{yy} = \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{16}{9 \pi^2} \right) mr^2\)

    \(I_{xx'} = I_{zz'} = \dfrac{1}{12} m(3r^2 + h^2)\)

    \(I_{yy'} = \dfrac{1}{2} mr^2\)

    Esfera

    Plano de coordenadas cartesianas tridimensionales con el eje z apuntando fuera de la pantalla, el eje x que se encuentra horizontalmente en el plano de la pantalla y el eje y verticalmente en el plano de la pantalla. Una esfera de radio r se encuentra con su centro de masa G en el origen de este sistema.

    \(Volume = \dfrac{4}{3} \pi r^3\)

    		 \(I_{xx} = I_{yy} = I_{zz} = \dfrac{2}{5} mr^2\)

    Shell Esférico

    Plano de coordenadas cartesianas tridimensionales con el eje z apuntando fuera de la pantalla, el eje x que se encuentra horizontalmente en el plano de la pantalla y el eje y verticalmente en el plano de la pantalla. Una delgada concha esférica de radio r con un interior hueco se encuentra en este sistema, con su centro de masa G ubicado en el origen.

    		 \(I_{xx} = I_{yy} = I_{zz} = \dfrac{2}{3} m r^2\)

    Hemisferio

    Plano de coordenadas cartesianas tridimensionales con el eje z' apuntando fuera de la pantalla, el eje x' horizontalmente en el plano de la pantalla y el eje y tendido verticalmente en el plano de la pantalla. Un hemisferio sólido de radio r se encuentra en este sistema, con su base plana ubicada en el plano x'z' y centrada en el origen. El hemisferio se extiende hacia arriba a lo largo del eje y positivo, y su centro de masa G se encuentra 3r/8 unidades por encima del origen. El punto G forma el origen de otro sistema de coordenadas, con el eje z apuntando fuera de la pantalla, el eje x acostado horizontalmente en el plano de la pantalla y el eje y compartido con el eje y del sistema existente.

    \(Volume = \dfrac{2}{3} \pi r^3\)

    \(I_{xx} = I_{zz} = \dfrac{83}{320} mr^2\)

    \(I_{yy} = \dfrac{2}{5} mr^2\)

    \(I_{xx'} = I_{zz'} = \dfrac{2}{5} mr^2\)

    Concha hemisférica

    Plano de coordenadas cartesianas tridimensionales con el eje z' apuntando fuera de la pantalla, el eje x' horizontalmente en el plano de la pantalla y el eje y tendido verticalmente en el plano de la pantalla. Un caparazón hemisférico hueco, similar a un bol, de radio r, se encuentra en este sistema, con su base plana ubicada en el plano x'z' y centrada en el origen. El hemisferio se extiende hacia arriba a lo largo del eje y positivo, y su centro de masa G se ubica r/2 unidades por encima del origen. El punto G forma el origen de otro sistema de coordenadas, con el eje z apuntando fuera de la pantalla, el eje x acostado horizontalmente en el plano de la pantalla y el eje y compartido con el eje y del sistema existente.

    \(I_{xx} = I_{zz} = \dfrac{5}{12} mr^2\)

    \(I_{yy} = \dfrac{2}{3} mr^2\)

    \(I_{xx'} = I_{zz'} = \dfrac{2}{3} mr^2\)

    Cono Circular Derecho

    Plano de coordenadas cartesianas tridimensionales con el eje z' apuntando fuera de la pantalla, el eje x' horizontalmente en el plano de la pantalla y el eje y tendido verticalmente en el plano de la pantalla. Un cono circular derecho se encuentra en este sistema, con su base de radio r ubicada en el plano x'z' y centrada en el origen y su altura h extendiéndose a lo largo del eje y positivo. El centro de masa G del cono se encuentra en el eje y, h/4 unidades por encima del origen. El punto G forma el origen de otro sistema de coordenadas, con el eje z apuntando fuera de la pantalla, el eje x acostado horizontalmente en el plano de la pantalla y el eje y compartido con el eje y del sistema existente.

    \(Volume = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h\)

    \(I_{xx} = I_{zz} = \dfrac{3}{80} m(4r^2 + h^2) \)

    \(I_{yy} = \dfrac{3}{10} mr^2\)

    \(I_{xx'} = I_{zz'} = \dfrac{1}{20} m(3r^2 + 2h^2) \)

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