2.5: La Línea Terminada con Pérdida

Anteriormente, la Sección 2.3 presentaba abstracciones que permitían usar una vista de voltaje y corriente total con líneas de transmisión sin pérdidas. Un desarrollo similar se presenta aquí para las líneas con pérdida. Las abstracciones importantes se presentan primero para el coeficiente de reflexión de entrada de una línea con pérdidas terminada en la Sección 2.5.1 y luego para la impedancia de entrada de primero una línea larga con pérdidas en la Sección 2.5.2 y luego para una línea de longitud finita en la Sección 2.5.3. La sección 2.5.4 presenta una aproximación simple para la atenuación en una línea si es de baja pérdida. El flujo de potencia en una línea con pérdidas se considera en la Sección 2.5.5 y luego el impacto de la dispersión en la integridad de la señal se considera en la Sección 2.5.6. La sección final, Sección 2.5.7, describe una técnica para el diseño de una línea sin dispersión de ancho de banda finito.

2.5.1 Coeficiente de reflexión de entrada de una línea con pérdida

$\Gamma_{\text{in}}$de una línea con pérdida se puede desarrollar reemplazando$\jmath\beta$ en la Sección 2.3.3 por$\gamma$. Haciendo referencia a la Figura 2.3.4, a una$\ell$ distancia de la carga (es decir,$z = −\ell$), la reflexión de entrada que mira en una línea con pérdidas hacia la carga es

$$\begin{align}\left.\Gamma_{\text{in}}\right|_{z=-\ell}&=\frac{ V ^{-}(z = −\ell)}{ V ^{+}(z = −\ell)}=\frac{V ^{−}(z = 0)e^{−\gamma\ell}}{V ^{+}(z = 0)e^{+\gamma\ell}}=\frac{V ^{−}(z = 0)e^{−\gamma\ell}}{V ^{+}(z = 0)e^{+\gamma\ell}}\nonumber \\ \label{eq:1} &=\Gamma_{L}e^{-2\gamma\ell}=\Gamma_{L}e^{-2\alpha\ell}e^{-2\jmath\beta\ell}\end{align}$$

A medida que la línea se alarga la magnitud de$\Gamma_{\text{in}}$ disminuye exponencialmente, acercándose a cero, debido a la atenuación descrita por el$e^{−2\alpha\ell}$ término.

2.5.2 Impedancia de entrada de una línea larga con pérdida

La figura$\PageIndex{1}$ (a) muestra una línea infinitamente larga con impedancia característica$Z_{0}$. La impedancia$Z_{\text{in}}$ de entrada de la línea es la relación entre el voltaje$V_{1}$ total y la corriente total$I_{1}$ en la entrada de la línea:

$$\label{eq:2} Z_{\text{in}}=\frac{V_{1}}{I_{1}}$$

Si la línea es infinitamente larga o con pérdidas suficientes, hay una onda reflejada insignificante y, por lo tanto, el voltaje y la corriente totales son solo los que viajan hacia adelante

Figura$\PageIndex{1}$: Redes de líneas de transmisión: (a) una línea infinitamente larga; y (b) con una línea de longitud finita de impedancia característica$Z_{01}$ y una línea de transmisión infinitamente larga de impedancia característica$Z_{02}$.

Figura$\PageIndex{2}$: Línea de transmisión terminada: (a) una línea de transmisión terminada en una impedancia de carga,$Z_{L}$, con una impedancia de entrada de$Z_{\text{in}}$; y (b) una línea de transmisión con impedancia de fuente$Z_{G}$ y carga$Z_{L}$.

voltaje y corriente y

$$\label{eq:3}Z_{\text{in}}=\frac{V_{1}}{I_{1}}=\frac{V^{+}(0)}{I^{+}(0)}=Z_{0}$$

La línea infinitamente larga se aproxima por un cable muy largo, ligeramente con pérdidas. No importará cómo termine la línea (por ejemplo, en una resistencia, circuito abierto o cortocircuito), habrá una onda despreciable que viaja hacia atrás y la impedancia de entrada del cable será su impedancia característica.

2.5.3 Impedancia de entrada de una línea con pérdida

La impedancia que mira dentro de la línea varía con la posición, ya que las ondas de avance y retroceso se combinan para producir voltaje y corriente totales dependientes de la posición. A una distancia$\ell$ de la carga (es decir,$z = −\ell$), la impedancia de entrada vista mirando hacia la carga es

$$\label{eq:4}\left. Z_{\text{in}}\right|_{z=-\ell}=\frac{V(z=-\ell)}{I(z=-\ell)}=Z_{0}\frac{1+|\Gamma|e^{(\jmath\Theta -2\gamma\ell)}}{1-|\Gamma|e^{(\jmath\Theta -2\gamma\ell)}}=Z_{0}\frac{1+\Gamma_{L}e^{-2\gamma\ell}}{1-\Gamma_{L}e^{-2\gamma\ell}}$$

Otra forma proviene de sustituir la Ecuación (2.3.6) en la Ecuación$\eqref{eq:4}$:

$$\begin{align}Z_{\text{in}}&=Z_{0}\frac{(Z_{L} + Z_{0})e^{\gamma\ell} + (Z_{L} − Z_{0})e^{−\gamma\ell}}{(Z_{L} + Z_{0})e^{\gamma\ell} − (Z_{L} − Z_{0})e^{−\gamma\ell}}=Z_{0}\frac{Z_{L} \cosh(\gamma\ell) + \jmath Z_{0} \cosh(\gamma\ell)}{Z_{0} \cosh(\gamma\ell) +\jmath Z_{L} \cosh(\gamma\ell)}\nonumber \\ \label{eq:5} &=Z_{0}\frac{Z_{L} + Z_{0} \tanh\gamma\ell}{Z_{0} + Z_{L} \tanh\gamma\ell}\end{align}$$

Esta ecuación también se conoce como la ecuación del telégrafo con pérdida.

Tenga en cuenta que$Z_{\text{in}}$ es una función cuasi-periódica de$\ell$ y se acerca$Z_{0}$ para una línea larga con pérdida (es decir, siempre que haya atenuación y la línea$\gamma$ tenga una parte real como luego$\tanh\gamma\ell$ va a una).

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Transmission Line Resonator

Una línea en cortocircuito se utiliza como resonador. La primera resonancia es una resonancia paralela a$1\text{ GHz}$.

1. Dibuje el circuito equivalente de elementos grumados del resonador.
2. ¿Cuál es la impedancia que mira dentro de la línea en la resonancia?
3. ¿Cuál es la longitud eléctrica del resonador?
4. Si el resonador es$\lambda_{g}/4$ más largo, ¿cuál es la impedancia de entrada del resonador ahora?

Solución

1. 
   La figura$\PageIndex{3}$
   $LC$ es un circuito abierto en resonancia. Si la línea es sin pérdidas,$R=0$.
2. $Z_{\text{in}}=\infty$(para una línea sin pérdidas).
3. De la Ecuación (2.3.18) y con$Z_{L = 0}$,$Z_{\text{in}} = \jmath Z_{0} \tan(\beta\ell)$. $Z_{\text{in}} = \infty$cuándo$\tan(\beta\ell) =\infty$, es decir, cuándo$\beta\ell = π/2 = \lambda_{g}/4 = 90^{\circ}$.
   
   Figura$\PageIndex{4}$
4. $Z_{\text{in}}=0\:\Omega$

2.5.4 Atenuación en una línea de baja pérdida

Recordemos que$\gamma$, la constante de propagación, viene dada por

$$\label{eq:6}\gamma=\sqrt{(R+\jmath\omega L)(G+\jmath\omega C)}$$

Esto se puede escribir como

$$\label{eq:7}\gamma =\jmath\omega\sqrt{LC}\sqrt{\left(1+\frac{R}{\jmath\omega L}\right)\left(1+\frac{G}{\jmath\omega C}\right)}$$

Con una línea de baja pérdida$R ≪ \omega L$ y$G ≪ \omega C$, y así, usando una aproximación de la serie Taylor (ver Ecuación (1.A.88)),

$$\label{eq:8}\left(1+\frac{R}{\jmath\omega L}\right)^{1/2}\approx 1+\frac{1}{2}\frac{R}{\jmath\omega L}$$

y

$$\label{eq:9}\left(1+\frac{G}{\jmath\omega C}\right)^{1/2}\approx 1+\frac{1}{2}\frac{G}{\jmath\omega C}$$

así

$$\label{eq:10}\gamma\approx\frac{1}{2}\left(R\sqrt{\frac{C}{L}}+G\sqrt{\frac{L}{C}}\right)+\jmath\omega\sqrt{LC}$$

Por lo tanto, para líneas de baja pérdida (en$\text{Np/m}$ si se utilizan unidades SI),

$$\label{eq:11}\alpha\approx\frac{1}{2}\left(\frac{R}{Z_{0}}+GZ_{0}\right)$$

y

$$\label{eq:12}\beta\approx\omega\sqrt{LC}$$

Lo que$\eqref{eq:11}$ indica la Ecuación es que para las líneas de baja pérdida la constante de atenuación$\alpha$,, consiste en partes relacionadas con dieléctricas y conductoras; es decir,

$$\label{eq:13}\alpha =\alpha_{d}+\alpha_{C}$$

$$\label{eq:14}\alpha_{d}\approx GZ_{0}/2$$

y

$$\label{eq:15}\alpha_{c}\approx R/(2Z_{0})$$

donde$\alpha_{d}$ es la atenuación aportada por la pérdida dieléctrica y se llama atenuación dieléctrica, y$\alpha_{d}$ es la atenuación aportada por la pérdida del conductor y se llama atenuación óhmica o conductora.

Figura$\PageIndex{5}$: Una línea de transmisión de baja pérdida. La constante de propagación$\gamma =\alpha+\jmath\beta$.

2.5.5 Flujo de energía en una línea con pérdida terminada

En esta sección se considera una línea de transmisión con pérdida baja de manera que$R ≪ \omega L$ y$G ≪ \omega C$, y la impedancia característica es$Z_{0} \approx\sqrt{L/C}$. La figura$\PageIndex{5}$ es una línea de transmisión con pérdidas y el voltaje y la corriente totales en cualquier punto de la línea están dados por

$$\label{eq:16}V(z)=V_{0}^{+}\left[e^{-\gamma z}+\Gamma e^{\gamma z}\right]\quad\text{and}\quad I(z)=\frac{V_{0}^{+}}{Z_{0}}\left[e^{-\gamma z}-\Gamma e^{\gamma z}\right]$$

La Sección 2.5.3 derivó la ecuación del telégrafo con pérdida:

$$\label{eq:17}Z_{\text{in}}=Z_{0}\frac{Z_{L} + Z_{0} \tanh\gamma\ell}{Z_{0} + Z_{L} \tanh\gamma\ell}$$

Para una línea de transmisión con pérdidas, no toda la potencia aplicada en la entrada se entregará a la carga ya que la energía se perderá en la línea debido a la atenuación. La potencia entregada a la carga (que está en la posición$z = 0$) es

$$\label{eq:18}P_{L}=\frac{1}{2}\mathcal{R}\{V(0)I^{\ast}(0)\}=\frac{|V_{0}^{+}|^{2}}{2Z_{0}}(1-|\Gamma_{L}|^{2})$$

donde$\Gamma_{L}$ está el coeficiente de reflexión de la carga. Del mismo modo la potencia en la entrada de la línea (en la posición$z = −\ell$) es

$$\label{eq:19}P_{\text{in}}=\frac{1}{2}\Re\{V(-\ell)I^{\ast}(-\ell)\}=\frac{|V_{0}^{+}|^{2}}{2Z_{0}}[1-|\Gamma_{L}|^{2}e^{-4\alpha\ell}]e^{2\alpha\ell}$$

y el poder perdido en la línea es

$$\label{eq:20}P_{\text{loss}}=P_{\text{in}}-P_{L}=\frac{|V_{0}^{+}|^{2}}{2Z_{0}}[(e^{2\alpha\ell}-1)+|\Gamma_{L}|^{2}(1-2^{-2\alpha\ell})]$$

Ejemplo$\PageIndex{2}$: $Q$ of a Transmission Line Resonator Revisited

La energía se almacena en una línea de transmisión y esto debe considerarse al derivar el$Q$ de un resonador de línea de transmisión. Consideremos la línea de transmisión$\lambda/4$ - larga y cortocircuitada examinada en los Ejemplos 2.3.1 y 2.4.2. Esta línea tiene una impedancia característica de$12.28\:\Omega$, es resonante en$1850\text{ MHz}$, y una$10\text{ k}\Omega$ resistencia$R$, está en la entrada como se muestra en la figura izquierda.

Figura$\PageIndex{6}$

Solución

En resonancia

$$\begin{align} \label{eq:21}Q&=2\pi\frac{\text{Peak energy stored}}{\text{Energy dissipated per cycle}}=\omega_{r}\frac{\text{Peak energy stored}}{\text{Power loss in the resistor}} \\ \label{eq:22}Q&=1/(\text{Fractional bandwidth})\end{align}$$

donde$\omega_{r}$ está la frecuencia del radián en la resonancia. Entonces, hay dos formas fundamentales en las que se$Q$ puede determinar: determinar la energía máxima almacenada y la pérdida de potencia, y encontrar el ancho de banda fraccional. Sin embargo, usar el ancho de banda fraccional es solo un método aproximado, al igual$Q$ que una medida de la energía almacenada y la energía disipada.

Para un$RLC$ resonador de elementos grumosos

$$\label{eq:23}Q=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{\omega_{r}L}{R}}&{\text{for a series }RLC\text{ circuit}}\\{R\sqrt{\frac{C}{L}}=\frac{\omega_{r}C}{G}}&{\text{for a shunt }RLC\text{ circuit}}\end{array}\right.$$

El circuito equivalente de elementos grumosos de banda estrecha del resonador desarrollado en el Ejemplo 2.3.1, con$C = 5.503\text{ pF}$ y$L = 1.345\text{ pH}$ puede ser utilizado. Así

$$Q=R\sqrt{\frac{C}{L}}=10\cdot 10^{3}\sqrt{\frac{5.503\cdot 10^{-12}}{1.345\cdot 10^{-9}}}=640\nonumber$$

Es importante señalar que la impedancia de entrada de la línea de transmisión a la frecuencia resonante no se puede utilizar para encontrar el resonador$Q$ de la línea de transmisión, ya que no transmite ninguna información sobre la energía almacenada. Sin embargo, el modelo de banda estrecha del resonador en resonancia sí captura la información de almacenamiento de energía y por lo tanto se puede utilizar para calcular la$Q$ del resonador, como se hizo aquí.

2.5.6 Dispersión de línea de transmisión con pérdida

En una línea con pérdidas, la velocidad de fase, la velocidad de grupo y la constante de atenuación dependen de la frecuencia y, por lo tanto, una línea con pérdidas es, en general, dispersiva. Es decir, diferentes componentes de frecuencia de una señal viajan a diferentes velocidades, y la velocidad de fase$v_{p}$, y la velocidad de grupo$v_{g}$, son funciones de frecuencia. En consecuencia, la señal se extenderá en el tiempo y, si la línea es lo suficientemente larga, será difícil extraer la información original.

En el apartado anterior se vio, en Ecuación$\eqref{eq:12}$, que para una línea TEM$\omega /\beta = v_{p} = v_{g}$ es aproximadamente independiente de la frecuencia para una línea de baja pérdida. Esto es cierto para la mayoría de las líneas de dos conductores (líneas que admiten modos TEM), pero no para todas las estructuras de líneas de transmisión que guían las ondas EM (una guía de ondas rectangular es un ejemplo de dónde$v_{g}$ y$v_{p}$ difieren significativamente). Además, el componente conductor de la constante de atenuación,$\alpha_{c}$ en la Ecuación$\eqref{eq:15}$, es aproximadamente independiente de la frecuencia. Sin embargo, el componente dieléctrico,$\alpha_{d}$ en Ecuación$\eqref{eq:14}$, depende de la frecuencia incluso para una línea de baja pérdida. Esto$G$ se debe principalmente a la pérdida de energía cuando un entramado material o componentes moleculares son distorsionados por el$E$ campo. Por lo que hay más pérdida y$G$ aumenta linealmente a medida que aumenta la frecuencia. (La conductividad del dieléctrico también afecta$G$, pero este suele ser un efecto mucho menor a excepción de un sustrato de silicio). Si la línea de transmisión tiene una pérdida moderada, todos los parámetros de propagación dependerán de la frecuencia y la línea es dispersiva.

2.5.7 Diseño de una Línea Perdida sin Dispersión

A lo largo de un ancho de banda moderado, se puede diseñar una línea con pérdidas para que no tenga dispersión (es decir,$v_{g}\approx v_{p}\approx$ constante). Los parámetros que son importantes para describir la propagación de la señal en una línea de transmisión son la constante de propagación$\gamma$, y la impedancia característica,$Z_{0}$. Al considerar la dispersión es más apropiado examinar$\alpha$ y$v_{p}\approx\omega/\beta$ (para una línea de baja pérdida), ya que estos parámetros son generalmente dependientes de la frecuencia para una línea con pérdidas. Para que una línea sea sin dispersión$\alpha$,$\omega/\beta$, y$Z_{0}$ debe ser independiente de la frecuencia.

Para cualquier línea de baja pérdida, la constante de propagación es

$$\label{eq:24}\gamma=\sqrt{(R+\jmath\omega L)(G+\jmath\omega C)}=\jmath\omega\sqrt{LC}\left[\left(1+\frac{R}{\jmath\omega L}\right)\left(1+\frac{G}{\jmath\omega C}\right)\right]^{1/2}$$

Si la línea está diseñada de manera que

$$\label{eq:25}R/L=G/C$$

entonces

$$\label{eq:26}\gamma=\alpha+\jmath\beta=\jmath\omega\sqrt{LC}\left(1+\frac{R}{\jmath\omega L}\right)=R\sqrt{\frac{C}{L}}+\jmath\omega\sqrt{LC}$$

A partir de esto

$$\label{eq:27}\alpha=R\sqrt{\frac{C}{L}},\:\beta=\omega\sqrt{LC}\text{ and }v_{p}=\omega/\beta=1/\sqrt{LC}$$

El análisis se completa considerando la impedancia característica

$$\label{eq:28}Z_{0}=\sqrt{\frac{R+\jmath\omega L}{G+\jmath\omega C}}=\sqrt{\frac{L}{C}}\sqrt{\frac{R/L+\jmath\omega}{G/C+\jmath\omega}}$$

y, refiriéndose a la Ecuación$\eqref{eq:25}$, señalar que el último término de raíz cuadrada es$1$, entonces

$$\label{eq:29}Z_{0}=\sqrt{L/C}$$

que es independiente de la frecuencia. Las características importantes que describen la propagación de la señal son ahora independientes de la frecuencia y la línea no tiene dispersión. En la práctica, una línea sin dispersión con pérdidas solo puede aproximarse sobre un ancho de banda pequeño ya que$G$ depende linealmente de la frecuencia debido a la dependencia de frecuencia de la pérdida de relajación dieléctrica.

2.5.8 Resumen

Una sección anterior desarrolló el coeficiente de reflexión de entrada y la impedancia de entrada de una línea sin pérdidas. Esta sección hizo lo mismo pero por una línea con pérdidas. Se presentaron derivaciones de mano corta para la atenuación de una línea de baja pérdida en términos de resistencia por unidad de longitud e impedancia característica de la línea. Se discutió la dispersión en una línea y se presentó una técnica de diseño para el diseño de una línea sin dispersión. Este diseño es válido sobre un ancho de banda estrecho o moderado y esta limitación de ancho de banda se aplica a todos los diseños basados en líneas de transmisión.