2.6: Reflexiones en las interfaces

Las líneas de transmisión transfieren energía de un punto a otro y a menudo hay muchas interfaces en las que se refleja y transfiere la energía. Esta sección se centra en desarrollar una comprensión intuitiva de la reflexión y transmisión de potencia en interfaces y sobre una línea de transmisión. La Sección 2.6.1 presenta una comprensión del flujo de potencia e introduce el concepto de pérdida de retorno aplicando este análisis a una única interfaz en la Sección 2.6.3. La ingeniería de microondas está muy preocupada por la máxima transferencia de potencia y el análisis que respalda las opciones de diseño, el teorema de transferencia de potencia máxima, se revisa en la Sección 2.6.2. La Sección 2.6.4 presenta el análisis del diagrama de rebote que se refiere a la reflexión y transmisión en múltiples interfaces. Esto puede ser un análisis confuso pero proporciona la comprensión esencial para el desarrollo de la intuición sobre cómo fluye el poder, y la comprensión de situaciones en las que el flujo de energía puede ser interrumpido. La sección final, Sección 2.6.5, presenta la teoría de las pequeñas reflexiones, derivada del análisis del diagrama de rebote, que se utiliza en varios lugares de esta serie de libros en la síntesis de redes de líneas de transmisión.

2.6.1 Flujo de potencia y pérdida de retorno

Ahora considere el flujo de potencia en la línea sin pérdidas en la Figura 2.3.1. La onda incidente (que viaja hacia adelante) tiene el poder

\[\begin{align}P^{+}&=\frac{1}{2}\Re\left[V^{+}(I^{+})^{\ast}\right]=\frac{1}{2}\Re\left[V^{+}\left(\frac{V^{+}}{Z_{0}}\right)^{\ast}\right]\nonumber \\ \label{eq:1}&=\frac{1}{2}\Re\left\{(V_{0}^{+}e^{-\jmath\beta z})\left(\frac{V_{0}^{+}e^{-\jmath\beta z}}{Z_{0}}\right)^{\ast}\right\}=\frac{1}{2}\frac{|V_{0}^{+}|^{2}}{Z_{0}}\end{align} \]

y la onda reflejada tiene la potencia (usando la Ecuación (2.3.7))

\[\label{eq:2}P^{-}=\frac{1}{2}\frac{|V_{0}^{-}|^{2}}{Z_{0}}=\frac{|\Gamma|^{2}}{2}\frac{|V_{0}^{+}|^{2}}{Z_{0}} \]

Considerando la conservación de la energía, la potencia entregada a la carga\(P_{L}\),, es la diferencia de las potencias que viajan hacia adelante y hacia atrás:

\[\label{eq:3}P_{L}=\frac{1}{2}\Re\{V_{L}I_{L}^{\ast}\}=P^{+}-P^{-}=P^{+}\left(1-|\Gamma|^{2}\right) \]

Los casos notables son cuando hay un circuito abierto, un cortocircuito o una carga puramente reactiva al final de una línea de transmisión. Estos tienen\(|\Gamma| = 1\). Así todo el poder se refleja de nuevo a la fuente y\(P_{L} = 0\).

La potencia que es absorbida por la carga aparece como una pérdida en lo que respecta a las ondas incidentes y reflejadas. Para describir esto, se introduce el concepto de pérdida de retorno (RL) y se define como

\[\label{eq:4}\text{RL}=-20\log|\Gamma|\text{ dB} \]

RL indica la potencia disponible no entregada a la carga. Una carga emparejada\((\Gamma=0)\) tiene\(\text{RL} =\infty\text{ dB}\), y una reflexión total\((|\Gamma| = 1)\) tiene\(\text{RL} = 0\text{ dB}\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Transmission Line Model at the Load

Una línea de transmisión con una impedancia característica de\(75\:\Omega\) soporta una onda de avance con una potencia de\(1\:\mu\text{W}\). La línea se termina en una resistencia de\(100\:\Omega\). Dibuje el circuito equivalente a elementos grumados en la interfaz entre la línea de transmisión y la carga.

Solución

El circuito equivalente tiene la forma

Figura\(\PageIndex{1}\)

donde\(E_{\text{TH}}\) es el generador equivalente a Thevenin y\(Z_{\text{TH}}\) es la impedancia del generador equivalente a Thevenin.

La amplitud de la onda de voltaje de avance se obtiene calculando la potencia en la onda de avance:

\[P^{+}=\frac{1}{2}(V^{+})^{2}/Z_{0}=(V^{+})^{2}/150=1\:\mu\text{W}=10^{-6}\text{ W}\nonumber \]

Entonces\(V^{+} =\sqrt{150\cdot 10^{−6}} = 12.25\text{ mV}\). Tenga en cuenta que no lo\(V^{+}\) es\(E_{\text{TH}}\). Para calcular\(E_{\text{TH}}\), considera el circuito a la derecha que da como resultado la máxima transferencia de potencia.

Figura\(\PageIndex{2}\)

Entonces\(E_{\text{TH}} = 2V^{+} = 24.5\text{ mV}\). Dado que la línea tiene una impedancia característica de\(75\:\Omega\), entonces\(Z_{\text{TH}} = 75\:\Omega\). Entonces, el circuito equivalente a elementos grumados a la carga es

Figura\(\PageIndex{3}\)

2.6.2 Teorema de transferencia de potencia máxima

Muchos cálculos de líneas de transmisión se pueden resolver utilizando los conceptos de potencia máxima disponible, potencia incidente y potencia reflejada. A frecuencias de microondas la impedancia de salida de las fuentes, por ejemplo, no puede ignorarse como a menudo se puede hacer a bajas frecuencias. Así, la salida de una fuente de RF se define en términos de potencia máxima disponible.

Considere la fuente que se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\) con una impedancia que\(Z_{S} = R_{S} +\jmath X_{S}\) impulsa una carga\(Z_{L} = R_{L} +\jmath X_{L}\). El objetivo aquí es encontrar\(Z_{L}\) para la entrega máxima de potencia a la carga. La corriente fasora en la carga es

\[\label{eq:5}I=\frac{E}{Z_{S}+Z_{L}} \]

y así la potencia promedio en la carga es

\[\label{eq:6}P_{L}=\frac{1}{2}|I|^{2}R_{L}=\frac{1}{2}\left(\frac{|E|}{|Z_{S}+Z_{L}|}\right)^{2}R_{L}=\frac{\frac{1}{2}|E|^{2}R_{L}}{(R_{S}+R_{L})^{2}+(X_{S}+X_{L})^{2}} \]

La carga requerida para la transferencia máxima de potencia se obtiene considerando primero un valor fijo de\(R_{L}\) y luego encontrando el valor de\(X_{L}\) requerido para minimizar

Figura\(\PageIndex{4}\): Una fuente terminada en una carga. La transferencia máxima de potencia ocurre cuando\(Z_{L} = Z_{S}^{\ast}\).

Ecuación\(\eqref{eq:6}\). Dado que\(X_{L}\) sólo afecta el denominador en la Ecuación\(\eqref{eq:6}\), es claro que el denominador se minimiza haciendo\(X_{L} = −X_{S}\). Así que ahora Ecuación se\(\eqref{eq:6}\) reduce a

\[\label{eq:7}P_{L}=\frac{\frac{1}{2}|E|^{2}R_{L}}{(R_{S}+R_{L})^{2}} \]

y

\[\label{eq:8}P_{L}=\frac{\frac{1}{2}|E|^{2}}{(R_{S}^{2}/R_{L}+2R_{S}+R_{L})} \]

Ahora la potencia entregada a la carga se maximiza minimizando el denominador en la Ecuación\(\eqref{eq:8}\), lo que ocurrirá cuando la derivada del denominador en Ecuación\(\eqref{eq:8}\) sea cero. Es decir, cuando

\[\label{eq:9}\frac{d}{dR_{L}}(R_{S}^{2}/R_{L}+2R_{S}+R_{L})^{2}=\frac{-R_{S}^{2}}{R_{L}^{2}}+1=0 \]

La derivada es cero cuando

\[\label{eq:10}R_{S}^{2}/R_{L}^{2}=1,\quad\text{that is, when}\quad R_{L}=\pm R_{S} \]

Cuando la derivada es cero, la potencia transferida a la carga es la potencia mínima o máxima que se puede entregar a la carga. Claramente\(R_{L} = −R_{S}\) es una solución sin sentido ya que la resistencia de carga y fuente debe ser positiva. Además, hay que comprobar las situaciones en los extremos, es decir, cuando\(R_{L}\) es muy pequeño\(R_{L}\to 0\), y cuando\(R_{L}\) es muy grande,\(R_{L}\to\infty\). As\(R_{L}\to 0\), Ecuación\(\eqref{eq:7}\) se convierte\(P_{L}\to 0\), y como\(R_{L}\to\infty\), Ecuación\(\eqref{eq:7}\) se convierte\(P_{L}\to 0\). Claramente no habrá potencia negativa disipada en\(R_{L}\), así que cuando\(R_{L} = R_{S}\) la potencia máxima,\(P_{L}|_{\text{max}}\), se disipa en la carga. La ecuación\(\eqref{eq:7}\) se convierte

\[\label{eq:11}P_{L}|_{\text{max}}=\frac{1}{2}\frac{|E|^{2}R_{L}}{(R_{S}+R_{S})^{2}}=\frac{1}{8}\frac{|E|^{2}}{R_{S}} \]

Esto se llama la potencia máxima disponible, o simplemente la potencia disponible de la fuente. Entonces las condiciones para la máxima transferencia de potencia son\(R_{L} = R_{S}\) y\(X_{L} = −X_{S}\); es decir, la transferencia máxima de potencia de la fuente a la carga requiere

\[\label{eq:12}Z_{L}=Z_{S}^{\ast} \]

También tenga en cuenta que si la impedancia de la fuente en la Figura\(\PageIndex{4}\) es resistiva,\(V =\frac{1}{2}E\) a máxima transferencia de potencia.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Available Power

Una\(75\:\Omega\) fuente con una potencia disponible de\(1\text{ W}\) se termina en un cortocircuito. ¿Cuál es la potencia disipada en la resistencia equivalente Thevenin de la fuente?

Solución

En RF, “\(75\:\Omega\)fuente” se refiere a una fuente con una resistencia equivalente a Thevenin de la\(75\:\Omega\) cual aquí está\(Z_{S}\). La condición para la máxima transferencia de potencia, y cuando se entrega la potencia completa disponible a la carga, es cuando la impedancia de carga,\(Z_{L}\) es el complejo conjugado de\(Z_{S} = 75\:\Omega\). El circuito para la transferencia máxima de potencia es como se muestra a la derecha.

Figura\(\PageIndex{5}\)

Para resolver el problema debemos determinar\(E\) ya que esto no va a cambiar a pesar de que la corriente a través\(Z_{S}\)\(I\),, dependerá de la impedancia de carga. La potencia disponible es

\[P_{A} = \frac{1}{2}|I|^{2}\Re(Z_{S}) = \frac{1}{2}|I|^{2}\times 75 = 1\text{ W}\text{ and so }I =\sqrt{2\times 1/75} = 0.1633\text{ A}\nonumber \]

A partir de esto se puede determinar el voltaje a través de la carga:

\[V = IZ_{L} = 0.1633\times 75 = 12.25\text{ V}\text{ and from symmetry }E = 2V = 24.50\text{ V}\nonumber \]

Ahora se puede determinar la condición con un cortocircuito\(Z_{L} = 0\),,. Tenga en cuenta que\(I\) y\(V\) va a cambiar pero\(E\) será fijo.

Considerando el circuito a la derecha, ahora

\[I = E/(Z_{S} + Z_{L}) = 24.50/(75 + 0) = 0.3267\text{ A}\nonumber \]

El poder disipado en\(Z_{S}\) es

\[P_{S} =\frac{1}{2}I^{2}\Re(Z_{S}) = 0.3267\times 75 = 4.002\text{ W}\nonumber \]

Figura\(\PageIndex{6}\)

Se pueden hacer algunos comentarios sobre este resultado. Con un cortocircuito la corriente que fluye en el circuito se duplica en comparación con la condición de transferencia de potencia máxima. Dado que la potencia disipada en\(Z_{S}\) es proporcional al cuadrado de la corriente, la potencia disipada en la resistencia equivalente de Thevenin aumenta en un factor de\(4\) (\(P_{S}\)debería ser exactamente\(4\text{ W}\)). La fuente de voltaje ideal\(E\) puede proporcionar energía ilimitada. Sin embargo, no importa cuál sea el valor de\(Z_{L}\), la potencia disipada en nunca\(Z_{L}\) puede ser más que la potencia disponible.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Forward-Traveling Wave Calculations

Una línea de transmisión es accionada por un generador con una potencia máxima disponible de\(20\text{ dBm}\) y una impedancia equivalente a Thevenin de\(50\:\Omega\). La línea de transmisión tiene una impedancia característica de\(50\:\Omega\).

1. ¿Cuál es el voltaje equivalente del generador Thevenin?
2. ¿Cuál es la magnitud de la onda de voltaje que viaja hacia adelante en la línea? Supongamos que la línea es infinitamente larga.
3. ¿Cuál es la potencia de la onda de voltaje que viaja hacia adelante?

Solución

Figura\(\PageIndex{7}\)

1. La potencia máxima disponible se entrega a la carga cuando se corresponde conjugadamente con la impedancia del generador (ver diagrama de la derecha). Entonces\(P_{\text{LOAD}} =\frac{1}{2}V^{2}/R\) (\(V\)es voltaje pico) (es decir,\(P_{\text{LOAD}} = 20\text{ dBm} = 0.1\text{ W}\)) y
   \[V=\sqrt{2P_{\text{LOAD}}\cdot R}=\sqrt{2\times 0.1\times 50}\text{ V}_{\text{peak}}=3.16\text{ V,}\quad E_{G}=2V=6.32\text{ V}\nonumber \]
2. Esto es justo\(V\), así\(V^{+}= 3.16\text{ V}\).
3. \(P^{+} = 20\text{ dBm}\).

2.6.3 Una sola interfaz

Muchos cálculos de líneas de transmisión se abordan de manera más conveniente utilizando el concepto de potencia máxima disponible. Esto es particularmente así cuando hay múltiples líneas de transmisión. El concepto es que la potencia máxima disponible de una fuente es incidente sobre una carga y si hay un desajuste, se refleja la potencia y se transmite el resto de la potencia. Los circuitos utilizados para ilustrar estos cálculos se muestran en la Figura\(\PageIndex{8}\). La potencia disponible de la fuente es\(P_{\text{av}}\), la cual es incidente en el plano de referencia que se muestra en la Figura\(\PageIndex{8}\) (b) donde se denomina potencia incidente\(P_{I}\). En la potencia del plano de referencia

Figura\(\PageIndex{8}\): Cálculos usando potencia incidente y reflejada: (a) fuente terminada en una carga; y (b) plano de referencia que ilustra el uso de energía incidente y reflejada en una carga.

se refleja,\(P_{R}\), y se transmite el poder,\(P_{T}\). Usando el coeficiente de reflexión normalizado a la impedancia de la fuente (i.e.,\(Z_{S}\))

\[\label{eq:13}P_{R}=|\Gamma|^{2}P_{I} \]

donde

\[\label{eq:14}\Gamma=\frac{Z_{S}-Z_{L}}{Z_{S}+Z_{L}} \]

y la potencia transmitida es

\[\label{eq:15}P_{T}=\left(1-|\Gamma|^{2}\right)P_{I} \]

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Transmission Line Power Calculations

La línea de transmisión mostrada en la Figura 2.5.1 (b) consiste en una fuente con impedancia Thevenin\(Z_{1} = 40\:\Omega\) y fuente\(E = 5\text{ V}\) (pico), conectada a una línea\(\lambda /4\) larga de impedancia característica\(Z_{01} = 40\:\Omega\), que a su vez está conectada a una línea infinitamente larga de impedancia característica\(Z_{02} = 100\:\Omega\). Las líneas de transmisión no tienen pérdidas. En la Figura 2.5.1 (b) se muestran dos planos de referencia. En\(\mathsf{1}\) el plano de referencia la potencia incidente es\(P_{I1}\) (la potencia máxima disponible de la fuente), la potencia reflejada es\(P_{R1}\), y la potencia transmitida es\(P_{T1}\). \(P_{I2}\)(la potencia máxima disponible de\(Z_{01}\))\(P_{R2}\), y\(P_{T2}\) son cantidades similares en el Plano de Referencia\(\mathsf{2}\). \(P_{I1},\: P_{R1},\: P_{T1},\: P_{I2},\: P_{R2},\)y\(P_{T2}\) son cantidades en estado estacionario.

1. ¿Qué es\(P_{I1}\)?
2. ¿Qué es\(P_{T2}\)?

Solución

Dado que la línea infinitamente larga no tiene una onda que viaja hacia atrás, este problema se reduce a un problema de interfaz de línea de transmisión única.

En primer lugar desarrollar algunas expectativas. Esto será un chequeo de cordura durante el problema. \(P_{I1}\)y\(P_{I2}\) son potencias máximas disponibles y dado que la\(Z_{01}\) línea (esta es una forma corta de hablar de la línea con una impedancia característica\(Z_{01}\)) es sin pérdidas deberían ser iguales:\(P_{I1} = P_{I2}\). \(P_{T1}\)y\(P_{T2}\) son los poderes totales entregados a la derecha de las respectivas interfaces. Nuevamente ya que la\(Z_{01}\) línea es sin pérdidas\(P_{T1} = P_{T2}\), También\(P_{T1} ≤ P_{I1}\) como la potencia\(P_{R1}\) se refleja desde la interfaz. De igual manera\(P_{T2} ≤ P_{I2}\).

1. \(P_{I1}\)es la potencia disponible del generador. Dado que la impedancia Thevenin del generador es\(40\:\Omega\),\(P_{I1}\) es la potencia que se entregaría a una carga igualada (la potencia máxima disponible). Un problema equivalente se muestra a la derecha donde\(V =\frac{1}{2}E = 2.5 \text{ V}_{\text{peak}}\). Así
   
   Figura\(\PageIndex{9}\)
   \[\label{eq:16}P_{I1}=\text{ power in }Z_{L}=\frac{1}{2}(V)^{2}\frac{1}{Z_{L}}=\frac{1}{2}(2.5)^{2}\frac{1}{40}=0.07813\text{ W}=78.13\text{ mW} \]
   Tenga en cuenta que el\(\frac{1}{2}\) ocurre porque el voltaje pico se utiliza en los cálculos de RF.
2. Ahora el problema se vuelve interesante y hay muchas formas de resolverlo. Una de las observaciones clave es que la primera línea de transmisión tiene la misma impedancia característica que la impedancia equivalente Thevenin del generador\(Z_{01} = Z_{1}\), y así puede ignorarse cuando sea apropiado. Esta observación se utilizará en este ejemplo. Una forma de proceder es calcular directamente\(P_{T2}\), y un segundo enfoque es calcular las potencias incidentes y reflejadas en el plano de referencia\(\mathsf{2}\) y luego determinar\(P_{T2}\).
   1. Primer enfoque: mirando a la izquierda desde el plano de referencia\(\mathsf{2}\), el circuito se puede modelar como un circuito equivalente que tiene una resistencia equivalente Thevenin de\(40\:\Omega\) y un voltaje equivalente Thevenin que tiene una potencia disponible de\(78.13\text{ mW}\). Entonces en el circuito a la derecha,\(E_{2}\) es justo\(E\) o\(5\text{ V}\).
      
      Figura\(\PageIndex{10}\)
      La carga es\(100\:\Omega\) como la segunda línea de transmisión es infinitamente larga. Una pregunta razonable es por qué no lo\(E_{2}\) es\(2.5\text{ V}\), ya que este sería el voltaje a través\(Z_{L} = 40\:\Omega\) en la parte (a). Sin embargo,\(2.5\text{ V}\) es el voltaje de la onda de voltaje de avance en la primera línea de transmisión con impedancia característica\(Z_{01} = 40\:\Omega\). No es el voltaje equivalente Thevenin de la fuente. El voltaje a través de la carga es
      \[\label{eq:17}V=E_{2}\frac{100}{40+100}=E\frac{100}{140}=3.57\text{ V}_{\text{peak}} \]
      La potencia transmitida en el plano de referencia también\(\mathsf{2}\) es la potencia entregada a la carga:
      \[\label{eq:18}P_{T2}=P_{L}=\frac{1}{2}(V)^{2}\frac{1}{Z_{L}}=\frac{1}{2}(3.57)^{2}\frac{1}{100}=0.0638\text{ W}=63.8\text{ mW} \]
      Una comprobación rápida es que esto es menor que\(P_{I1}\), como debería ser.
   2. Segundo enfoque: Esta vez\(P_{R2}\), se calculará la potencia reflejada en el plano\(\mathsf{2}\) de referencia. El poder incidente en avión\(\mathsf{2}\),\(P_{I2}\), es justo\(P_{I1}\). \(P_{I2}\)es la potencia máxima disponible en el plano de referencia\(\mathsf{2}\) y no necesariamente la potencia que es incidente allí. En general, para calcular\(P_{I2}\) la fuente equivalente de Thevenin mirando a la izquierda desde el plano de referencia\(\mathsf{2}\) necesitaría ser calculada. Sin embargo desde aquí\(Z_{01} = Z_{1},\: P_{I2} = P_{I1} = 78.13\text{ mW}\).
      \(P_{R2}\)se puede calcular a partir del coeficiente de reflexión de voltaje en el plano de referencia\(\mathsf{2}\):
      \[\begin{align}\label{eq:19}\Gamma_{2}&=\frac{Z_{L}-Z_{01}}{Z_{L}+Z_{01}}=\frac{100-40}{100+40}=0.429 \\ \label{eq:20}P_{R2}&=\Gamma_{2}^{2}P_{12}=0.429^{2}\times 78\text{ mW}=14.36\text{ mW}\end{align} \]
      Entonces\(P_{T2} = P_{I2} − P_{R2} = 78.13\text{ mW} − 14.36\text{ mW} = 63.7\text{ mW}\), que es la misma que la potencia transmitida calculada en el primer enfoque, lo que permite el error de redondeo.
   3. Un tercer enfoque es calcular la impedancia de entrada mirando a la derecha desde el plano de referencia\(\mathsf{1}\), llame a esto\(Z_{\text{in}1}\). Usando la ecuación del telégrafo sin pérdidas, la Ecuación 2.3.18,\(Z_{\text{in}1}\) se calcula para ser\(16\:\Omega\).
      
      Figura\(\PageIndex{11}\)
      El voltaje a través de la\(16\:\Omega\) resistencia es\(16/(40 + 16)(5\text{ V}) = 1.429\text{ V}\). Entonces el poder disipado en\(Z_{\text{in}1}\) es
      \[P=\frac{1}{2}(1.429\text{ V})^{2}\frac{1}{16}=0.0638\text{ W}=63.8\text{ mW}\nonumber \]
      como antes. Toda esta potencia debe transmitirse a la línea infinitamente larga, es decir, lo es\(P_{T2}\), ya que el sistema no tiene pérdidas.

2.6.4 Diagrama de rebote

Un diagrama de rebote es una representación gráfica de reflexiones en las interfaces entre redes. Una red de microondas se muestra en la Figura\(\PageIndex{12}\) donde hay dos planos de referencia en los límites entre diferentes partes de la red. En cada límite hay reflexiones y transmisiones de lo que podrían verse como pequeños paquetes de señales sinusoidales. Mientras que el diagrama de rebote produce un resultado de estado estacionario como la impedancia de entrada, el experimento mental es que pequeños paquetes sinusoidales rebotan alrededor de la red de línea de transmisión. Los diagramas de rebote se utilizan para explorar el impacto de múltiples reflexiones en una red que conducen a la comprensión, y desde eso hasta las decisiones de diseño. Los diagramas de rebote se ilustran mejor a través de un ejemplo.

Coeficientes de reflexión y transmisión en un límite

El análisis del diagrama de rebote requiere que los coeficientes de reflexión y transmisión en un límite sean referenciados a una impedancia común. La figura\(\PageIndex{13}\) (a) muestra la interfaz de dos líneas de transmisión de impedancia característica\(Z_{01}\) y\(Z_{02}\) en un plano de referencia. El problema es determinar el coeficiente de reflexión\(\Gamma\), y el coeficiente de transmisión\(T\), en el límite referenciándolos a la misma impedancia. Aquí se hará referencia a ellos\(Z_{01}\). El coeficiente de reflexión visto desde la\(Z_{01}\) línea a la que se hace referencia\(Z_{01}\) es

\[\label{eq:21}\Gamma=\frac{Z_{02}-Z_{01}}{Z_{02}+Z_{01}} \]

Ahora el coeficiente de transmisión al que se hace referencia\(Z_{01}\) es

\[\label{eq:22}T=^{Z01}V_{2}^{+}/V_{1}^{+} \]

donde\(^{Z01}V_{2}^{+}\) se hace referencia a la onda de voltaje de avance en la\(Z_{02}\) línea (viajando hacia la derecha)\(Z_{01}\). No es el voltaje real que viaja hacia adelante en la\(Z_{02}\) línea. \(V_{1}^{+} = ^{Z01}V_{1}^{+}\)es la onda de voltaje de desplazamiento en la\(Z_{01}\) línea que es incidente en el límite. Se obtiene utilizando el circuito de la Figura\(\PageIndex{13}\) (b). La figura\(\PageIndex{13}\) (b) muestra la condición de transferencia de potencia máxima de manera que

Figura\(\PageIndex{12}\): Red de líneas de transmisión con una línea de longitud finita de impedancia característica\(Z_{01}\) y una línea de transmisión infinitamente larga de impedancia característica\(Z_{02}\). \(^{A}\Gamma_{1i}\)es la\(i\) reflexión discreta de una onda incidente en el lado izquierdo del plano de referencia\(\mathsf{A}\). \(^{A}T_{1i}\)es la transmisión en el plano de referencia\(\mathsf{A}\) para el mismo evento. \(^{A}\Gamma_{2i}\)es la\(i\) reflexión discreta de una onda incidente en el lado derecho del plano de referencia\(\mathsf{A}\).

Figura\(\PageIndex{13}\): Reflexión (\(\Gamma\)) y transmisión (\(T\)) en el límite entre dos líneas de transmisión de impedancia característica\(Z_{01}\) y\(Z_{02}\).

la onda que viaja hacia adelante en la\(Z_{01}\) línea a la izquierda del límite es

\[\label{eq:23}V_{1}^{+}=V_{1}=E\frac{Z_{01}}{Z_{01}+Z_{01}^{\ast}}=E\frac{Z_{01}}{2\Re(Z_{01})} \]

(Para impedancias reales\(V_{1}^{+} =\frac{1}{2}E\).)

El siguiente parámetro a determinar es\(^{Z01}V_{2}^{+}\). Esto comienza determinando el voltaje total,\(V_{2}\), en el límite usando el circuito de la Figura\(\PageIndex{13}\) (c):

\[\label{eq:24}V_{2}=E\frac{Z_{02}}{Z_{01}+Z_{02}} \]

Ahora considera que la\(Z_{02}\) línea es infinitamente larga, entonces es claro que\(V_{2} = ^{Z02}V_{2}^{+}\). Este es el voltaje real que viaja hacia adelante en la\(Z_{02}\) línea. Ahora el problema es cómo cambiar la impedancia de referencia de\(V_{2}^{+}\). Esto se hace señalando que la onda de potencia que viaja hacia adelante es independiente de la impedancia de referencia, por lo tanto, la onda de potencia que viaja hacia adelante en la\(Z_{02}\) línea que viaja a la derecha, lejos del plano de referencia, es

\[\label{eq:25}P_{Z02}=\frac{1}{2}\left[\frac{(^{Z02}V_{2}^{+})^{2}}{\Re(Z_{02})}\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{(^{Z01}V_{2}^{+})^{2}}{\Re(Z_{01})}\right] \]

Por lo tanto, la onda de voltaje que viaja hacia adelante deseada es (desde\(^{Z02}V_{2}^{+} = V_{2}\))

\[\label{eq:26}^{Z01}V_{2}^{+}=\sqrt{\frac{\Re(Z_{01})}{\Re(Z_{02})}}V_{2}=E\sqrt{\frac{\Re(Z_{01})}{\Re(Z_{02})}}\left(\frac{Z_{02}}{Z_{01}+Z_{02}}\right) \]

Entonces el coeficiente de transmisión al que se hace referencia\(Z_{01}\) es

\[\begin{align}T&=\frac{^{Z01}V_{2}^{+}}{V_{1}^{+}}=E\sqrt{\frac{\Re(Z_{01})}{\Re(Z_{02})}}\left(\frac{Z_{02}}{Z_{01}+Z_{02}}\right)\left(\frac{2\Re(Z_{01})}{Z_{01}}\frac{1}{E}\right)\nonumber \\ \label{eq:27}&=\sqrt{\frac{\Re(Z_{01})}{\Re(Z_{02})}}\left[\frac{\Re(Z_{01})}{Z_{01}}\right]\left(\frac{2Z_{02}}{Z_{01}+Z_{02}}\right)\end{align} \]

Una forma alternativa de determinar\(T\) es considerar la conservación de energía en el límite. Entonces

\[\label{eq:28}|T|^{2}=1-|\Gamma|^{2},\quad\text{that is}\quad |T|=\pm\sqrt{1-|\Gamma|^{2}} \]

Esto se puede utilizar si\(T\) se espera que sea real, que será si\(Z_{01}\) y\(Z_{02}\) son reales. Se debe tomar el signo positivo. La fórmula más general, Ecuación\(\eqref{eq:27}\), se puede utilizar con impedancias complejas.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Bounce Diagram

En el sistema de línea de transmisión de\(\PageIndex{12}\) la Figura la longitud eléctrica de la\(Z_{01}\) línea (es decir, la línea con impedancia característica\(Z_{01}\)) es\(45^{\circ}\) y la\(Z_{02}\) línea es infinitamente larga. El objetivo aquí es encontrar la impedancia de entrada,\(Z_{\text{in}}\). A esto se llegará de dos maneras. La primera técnica utiliza un enfoque de diagrama de rebote y enfatiza la reflexión y transmisión en los planos de interfaz. El segundo enfoque utiliza la ecuación del telégrafo.

1. ¿Cuáles son los parámetros de reflexión y transmisión en el plano de referencia\(\mathsf{A}\)?
   \(^{A}\Gamma_{11}\)es el coeficiente de reflexión de las señales que inciden en el Plano\(\mathsf{A}\) de Referencia desde la izquierda. \(^{A}T_{21}\)es el coeficiente de transmisión en el plano para las señales de la izquierda. \(^{A}\Gamma_{22}\)y\(^{A}T_{12}\) son los parámetros correspondientes para la dispersión de las señales que vienen de la derecha al plano. Entonces, normalizando a\(Z_{1}\),
   \[\label{eq:29}^{A}\Gamma_{11}=\frac{Z_{01}-Z_{1}}{Z_{01}+Z_{1}}=0.333 \]
   \[\label{eq:30}^{A}\Gamma_{22}=-^{A}\Gamma_{11}=-0.333 \]
   Usando Ecuación\(\eqref{eq:27}\),
   \[\label{eq:31}^{A}T_{21}=\sqrt{\frac{Z_{1}}{Z_{01}}}\left(\frac{2Z_{01}}{Z_{1}+Z_{01}}\right)=\sqrt{\frac{30}{60}}\left(\frac{2\cdot 60}{30+60}\right)=0.943 \]
   Similarmente,\(^{A}T_{12} = 0.943\), que se debe a la reciprocidad. Como verificación adicional de cordura (esto solo se puede hacer si\(Z_{01}\) y\(Z_{02}\) son reales)
   \[\label{eq:32}^{A}T_{21}=\sqrt{1-^{A}\Gamma_{11}^{2}}=0.943\qquad ^{A}T_{12}=\sqrt{1-^{A}\Gamma_{22}^{2}}=0.943 \]
2. ¿Cuáles son los parámetros de dispersión\(\Gamma_{2}\) y\(T_{2}\) en el plano de referencia\(\mathsf{B}\)?
   El referente es\(Z_{0}\), y así el coeficiente de reflexión que va de la\(Z_{01}\) línea a la\(Z_{02}\) línea es
   \[\label{eq:33}^{B}\Gamma_{11}=\frac{Z_{02}-Z_{0}}{Z_{02}+Z_{0}} \]
   La pregunta ahora es ¿qué impedancia de referencia del sistema utilizar? ¿Debería ser\(Z_{1},\: Z_{01},\) o incluso\(Z_{02}\)? El problema podría resolverse usando cualquiera de estos, pero el procedimiento más sencillo es usar la misma impedancia de referencia en todas partes, y dado que el objetivo final es calcular el coeficiente de reflexión de entrada global, la elección adecuada es\(Z_{0} = Z_{1}\). Tenga en cuenta, sin embargo, que los niveles de voltaje reales en las líneas no se están calculando (lo que necesitaría ser referenciado a la impedancia característica de las líneas que se están considerando), sino una onda viajera referenciada a una impedancia universal del sistema. Entonces los parámetros de dispersión en el plano de referencia\(\mathsf{B}\) referenciado a la impedancia\(Z_{1}\) son
   \[\begin{align}\label{eq:34}^{B}\Gamma_{11}&=\frac{Z_{02}-Z_{1}}{Z_{02}+Z_{1}}=0.143; &^{B}\Gamma_{22}&=-^{B}\Gamma_{11}=-0.143 \\ \label{eq:35} ^{B}T_{21}&=\sqrt{1-^{A}\Gamma_{11}^{2}}=0.990; &^{B}T_{12}&=\sqrt{1-^{B}\Gamma_{22}^{2}}=0.990\end{align} \]
   La segunda línea de transmisión es infinitamente larga y por lo tanto ninguna señal de la línea incidirá en el plano\(\mathsf{B}\) de referencia desde la derecha.
3. ¿A qué se refiere el coeficiente de\(Z_{01}\) transmisión de la línea de transmisión\(Z_{01}\)?
   \(T_{01}\)es la relación entre la onda que viaja hacia adelante al final de la línea y su valor al inicio de la línea. Usando una impedancia de referencia de\(Z_{01}\), la magnitud del coeficiente de transmisión es uno y gira por la longitud eléctrica de la línea\(\Theta_{1} = 45^{\circ}\) o\(0.785\text{ radians}\):
   \[\label{eq:36}T_{01}=e^{-\jmath\Theta_{1}}=\exp(-\jmath 0.785)=0.707-\jmath 0.707 \]
4. Dibuja el diagrama de rebote de la red de líneas de transmisión.
   El diagrama de rebote se muestra en la Figura\(\PageIndex{14}\).
5. ¿Qué es\(\Gamma_{\text{in}}\) y por lo tanto qué es\(Z_{\text{in}}\)?
   \(\Gamma_{\text{in}}\)es el coeficiente de reflexión de entrada en estado estacionario y se obtiene sumando todas las señales que van a la izquierda desde el plano de referencia\(\mathsf{A}\) en la Figura\(\PageIndex{14}\). Entonces,
   \[\begin{align} \Gamma_{\text{in}}&=^{A}\Gamma_{11}+\:^{A}T_{12}\:^{A}T_{21}T_{01}^{2}\:^{B}\Gamma_{11}\nonumber \\ &\quad +^{A}T_{12}\:^{A}T_{21}T_{01}^{4}\:^{B}\Gamma_{11}^{2}\:^{A}\Gamma_{22} + ^{A}T_{12}\:^{A}T_{21}T_{01}^{6}\:^{B}\Gamma_{11}^{3}\:^{A}\Gamma_{22}^{2}\cdots\nonumber \\ \label{eq:37} &=^{A}\Gamma_{11} + ^{A}T_{12}\:^{A}T_{21}T_{01}^{2}\:^{B}\Gamma_{11}\left[1 + x + x^{2} +\cdots\right]\end{align} \]
   donde\(x = T_{01}^{2}\:^{B}\Gamma_{11}\:^{A}\Gamma_{22}\). Ahora\(1/(1 − x)=1+ x + x^{2} +\cdots\), y así
   \[\begin{align}\Gamma_{\text{in}}&=^{A}\Gamma_{11}+\frac{^{A}T_{12}\:^{A}T_{21}T_{01}^{2}\:^{B}\Gamma_{11}}{1-T_{01}^{2}\:^{B}\Gamma_{11}\:^{A}\Gamma_{22}}\nonumber \\ &=0.333+\frac{0.943\times 0.943\times (0.707 −\jmath 0.707)^{2}\times (−0.2)}{1− (0.707 −\jmath 0.707)^{2}\times (−0.2)\times (−0.333)} \nonumber \\ \label{eq:38}&=0.345-\jmath 0.177\end{align} \]
   \(\Gamma_{\text{in}}\) es la reflexión en el plano de referencia\(\mathsf{A}\) y se hace referencia a\(Z_{1} = 30\:\Omega\). Entonces la impedancia de entrada es
   \[\label{eq:39}Z_{\text{in}}=Z_{1}\left(\frac{1+\Gamma_{\text{in}}}{1-\Gamma_{\text{in}}}\right)=30\left(\frac{1+0.345-\jmath 0.1777}{1-0.345+\jmath 0.177}\right) =55.39+\jmath 23.08\:\Omega \]
6. Utilice la ecuación del telégrafo sin pérdidas, Ecuación (2.3.18), para encontrar\(Z_{\text{in}}\).
   La línea infinitamente larga presenta una impedancia\(Z_{02}\) a la línea\(60\:\Omega\) de transmisión. Entonces, la impedancia de entrada que mira dentro de la\(60\:\Omega\) línea en el plano de referencia\(\mathsf{A}\) es, usando la ecuación del telégrafo sin pérdidas,
   \[Z_{\text{in}}=Z_{01}\left(\frac{Z_{02}+\jmath Z_{01}\tan\beta\ell}{Z_{01}+\jmath Z_{02}\tan\beta\ell}\right)\nonumber \]
   donde la longitud eléctrica\(\beta\ell\) es\(45^{\circ}\) o\(π/4\) radianes. Tan
   \[Z_{\text{in}}=60\left(\frac{40+\jmath 60\tan(\pi/4)}{60+\jmath 40\tan(\pi/4)}\right)=55.39+\jmath 23.08\:\Omega\nonumber \]
   equivalente al resultado obtenido usando el método del diagrama de rebote (ver Ecuación\(\eqref{eq:39}\)).

La técnica del diagrama de rebote ayuda en la comprensión física, sin embargo, usar la ecuación del telégrafo es un enfoque menos propenso a errores para resolver problemas de línea de transmisión.

2.6.5 Teoría de las pequeñas reflexiones

Si la discontinuidad en el límite A en la Figura\(\PageIndex{12}\) es pequeña (\(Z_{1}\)es decir, está cerca de\(Z_{01}\) en lugar de la\(30\:\Omega/60\:\Omega\) discontinuidad mostrada) entonces se obtiene una aproximación útil señalando que\(^{A}\Gamma_{11}\) y\(^{A}\Gamma_{22}\) son pequeñas y\(^{A}T_{21}\approx\:^{A}T_{12}\approx 1\) así que en la Ecuación\(\eqref{eq:37}\)\(x\approx 0\). Entonces la ecuación\(\eqref{eq:37}\) se convierte, usando la ecuación\(\eqref{eq:36}\), [6]

\[\label{eq:40}\Gamma_{\text{in}}\approx\:^{A}\Gamma_{11}+^{A}T_{12}\:^{A}T_{21}T_{01}^{2}\:^{B}\Gamma_{11}\approx\:^{A}\Gamma_{11}+^{B}\Gamma_{11}e^{-2\jmath\Theta_{1}} \]

Es decir, si la discontinuidad en el plano de referencia\(\mathsf{A}\) es pequeña entonces el coeficiente de reflexión de entrada está dominado por la reflexión inicial en\(\mathsf{A}\), de\(Z_{1}\) a\(Z_{01}\), y la reflexión inicial en\(\mathsf{B}\), de\(Z_{01}\) a\(Z_{02}\), girada el doble de la longitud eléctrica, \(\theta_{1}\), de la línea.

Figura\(\PageIndex{14}\): Diagrama de rebote de la red de líneas de transmisión en la Figura\(\PageIndex{12}\).

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Advanced Power Calculations

Este ejemplo es similar al Ejemplo\(\PageIndex{4}\). Nuevamente, se considera la red de líneas de transmisión de la Figura 2.5.1, pero ahora la impedancia característica de la primera línea de transmisión no es la misma que la impedancia del generador y por lo tanto ya no se puede utilizar la simplificación utilizada en el ejemplo anterior. Ahora el generador tiene una impedancia\(Z_{1} = 40\:\Omega\) y fuente Thevenin\(E = 5\text{ V}_{\text{peak}}\), conectada a una línea larga de un cuarto de longitud de onda de impedancia característica\(Z_{01} = 30\:\Omega\) que a su vez está conectada a una línea infinitamente larga de impedancia característica\(Z_{02} = 100\:\Omega\). Las líneas de transmisión no tienen pérdidas. En la Figura 2.5.1 se muestran dos planos de referencia. En\(\mathsf{1}\) el plano de referencia la potencia incidente es\(P_{I1}\) (la potencia máxima disponible de la fuente), la potencia reflejada es\(P_{R1}\) y la potencia transmitida es\(P_{T1}\). \(P_{I2}\)(la potencia máxima disponible de\(Z_{01}\))\(P_{R2}\), y\(P_{T2}\) son cantidades similares en el plano de referencia\(\mathsf{2}\). \(P_{I1},\: P_{R1},\: P_{T1},\: P_{I2},\: P_{R2},\)y\(P_{T2}\) son cantidades en estado estacionario.

1. ¿Qué es\(P_{I1}\)?
2. ¿Qué es\(P_{T2}\)?
3. Determinar\(P_{T1},\: P_{I2},\: P_{R1},\) y\(P_{R2}\).

Solución

Una de las primeras cosas a tener en cuenta es que la línea de\(100\:\Omega\) transmisión infinitamente larga es indistinguible de una\(100\:\Omega\) resistencia, por lo que la forma reducida del problema es como se muestra a continuación.

Figura\(\PageIndex{15}\)

1. \(P_{I1}\)se calculó en Ejemplo\(\PageIndex{4}\) en Ecuación\(\eqref{eq:16}\):
   \[\label{eq:41}P_{I1}=78.13\text{ mW} \]
   \(P_{I1}\) es la potencia disponible de la fuente y esta es la potencia que se entregaría a una carga que se corresponde conjugadamente con la impedancia de fuente equivalente a Thevenin.
2. El problema aquí es encontrar\(P_{T2}\). Recordemos que los poderes aquí son cantidades de estado estacionario por lo que no se están considerando múltiples reflexiones de, digamos, un pulso. Dado que el sistema no tiene pérdidas, la potencia entregada por el generador debe ser la potencia entregada a la línea de transmisión infinitamente larga\(Z_{02}\) (es decir,\(P_{T2}\)). La ecuación del telégrafo se puede utilizar para calcular la impedancia de entrada,\(Z_{\text{in}}\), del sistema de dos líneas de transmisión; es decir, la impedancia de entrada\(Z_{01}\) desde el extremo del generador. Sin embargo, una forma más sencilla de encontrar esta impedancia es darse cuenta de que la\(Z_{01}\) línea es un\(\lambda/4\) transformador para que
   \[\label{eq:42}Z_{01}=30\:\Omega=\sqrt{Z_{\text{in}}Z_{02}}=\sqrt{100Z_{\text{in}}} \]
   y así
   \[\label{eq:43}Z_{\text{in}}=9\:\Omega \]
   El circuito equivalente es como se muestra a continuación, donde\(E\) está el original voltaje del generador de\(5\text{ V}\) y
   
   Figura\(\PageIndex{16}\)
   \[\label{eq:44} V=\frac{9}{40+9}5=0.9184\text{ V} \]
   La potencia entregada por el generador a la\(9\:\Omega\) carga es
   \[\label{eq:45}P_{T2}=\frac{1}{2}V^{2}/9=0.04686\text{ W}=46.86\text{ mW} \]
3. La potencia transmitida al sistema en el plano de referencia\(\mathsf{1}\),\(P_{T1}\), es la misma que la potencia transmitida a la\(100\:\Omega\) carga, ya que la primera línea de transmisión es sin pérdidas; es decir,
   \[\label{eq:46}P_{T1}=P_{T2}=46.86\text{ mW} \]
   También
   \[\label{eq:47}P_{R1}=P_{I1}-P_{T1}=(78.13-46.86)\text{ mW}=31.27\text{ mW} \]
   Los dos cantidades restantes a determinar son\(P_{I2}\) y\(P_{R2}\). Puede haber una serie de interpretaciones de lo que estos deberían ser, pero una cosa que es cierta es que
   \[\label{eq:48}P_{T2}=P_{I2}-P_{R2}=46.86\text{ mW} \]
   Una interpretación que se seguirá aquí se basa en el circuito equivalente en el plano de referencia\(\mathsf{2}\). Dejar\(Z_{\text{out}}\) ser la impedancia mirando a la izquierda desde el plano de referencia\(\mathsf{2}\). Nuevamente, usando la propiedad de una línea de transmisión larga de un cuarto de longitud de onda,
   \[\label{eq:49}Z_{01}=30=\sqrt{Z_{\text{out}}\times 40} \]
   y así
   \[\label{eq:50}Z_{\text{out}}=Z_{01}^{2}/40=30^{2}/40=22.5\:\Omega \]
   El circuito equivalente en el plano de referencia\(\mathsf{2}\) es entonces
   
   Figura \(\PageIndex{17}\)
   Ahora determine\(V_{x}\) que da como resultado que\(P_{T2}\) se entregue una potencia a la\(100\:\Omega\) carga, así
   \[\label{eq:51}P_{T2}=\frac{1}{2}V_{x}^{2}/100=0.04686\text{ W} \]
   y
   \[\label{eq:52}V_{x}=3.06\text{ V} \]
   Desde el circuito anterior,
   \[\label{eq:53}V_{x}=\frac{100}{100+22.5}E_{3} \]
   y así
   \[\label{eq:54}E_{3}=3.75\text{ V} \]
   La potencia disponible de esta fuente se obtiene considerando
   
   Figura\(\PageIndex{18}\)
   La potencia disponible en el plano de referencia\(\mathsf{2}\) es
   \[\label{eq:55}P_{I2}=\frac{1}{2}\frac{(E_{3}/2)^{2}}{22.5}=\frac{1.875^{2}}{2\times 22.5} =0.07813\text{ W}=78.13\text{ mW} \]
   De la Ecuación\(\eqref{eq:48}\),
   \[\label{eq:56}P_{R2}=P_{I2}-P_{T1}=(78.13-46.86)\text{ mW}=31.27\text{ mW} \]
   Tenga\(P_{R2}\) en cuenta que en Ecuación\(\eqref{eq:56}\) es lo mismo que\(P_{R1}\) en Ecuación\(\eqref{eq:47}\), como se esperaba.