4.5: Guía de ondas de placa paralela

La guía de ondas de placa paralela mostrada en la Figura 4.4.1 es la estructura regular más cercana a las líneas de transmisión planas, como una línea de microcinta. El objetivo aquí es desarrollar pautas de diseño que permitan diseñar estructuras de líneas de transmisión para evitar el multimodo.

Figura\(\PageIndex{1}\): Guía de ondas de placa paralela que muestra líneas de campo eléctricas y magnéticas.\(E\)\(H\) Las líneas de\((H)\) campo eléctrico\((E)\) y magnético se muestran con el grosor de la línea que indica la intensidad del campo. El sombreado de las líneas de\(E\) campo indica polaridad (\(+\)o\(−\)) y las flechas indican dirección (y también polaridad). La\(z\) dirección está en la página.

4.5.1 Derivación electromagnética

El desarrollo de las ecuaciones de onda comienza con las ecuaciones de Maxwell (Ecuaciones (1.5.1) — (1.5.4)). Una simplificación de las ecuaciones es asumir un medio lineal, isotrópico y homogéneo, un dieléctrico uniforme, de manera que\(\varepsilon\)\(\mu\) sean independientes del nivel de señal y sean independientes de la dirección y posición del campo. Así (en el dominio del tiempo)

\[\begin{align}\label{eq:1} \nabla\times\overline{\mathcal{E}}&=\frac{\partial\overline{\mathcal{B}}}{\partial t} &\nabla\times\overline{\mathcal{H}}&=\overline{\mathcal{J}}+\frac{\partial\overline{\mathcal{D}}}{\partial t} \\ \label{eq:2} \nabla\cdot\overline{\mathcal{D}}&=\rho_{V} &\nabla\cdot\overline{\mathcal{B}}&=0\end{align} \]

donde\(\rho_{V}\) está la densidad de carga volumétrica y\(\overline{\mathcal{J}}\) es la densidad de corriente. \(\overline{\mathcal{J}}\)y\(\rho_{V}\) será cero excepto en una pared eléctrica. Las ecuaciones anteriores no incluyen carga magnética ni densidad de corriente magnética. Estos no existen realmente y por lo tanto una forma modificada de las ecuaciones de Maxwell incorporándolas no es necesaria para resolver los campos en una estructura.

En la dirección lateral, la\(x\) dirección, la guía de ondas de placa paralela en la Figura 4.4.1 se extiende indefinidamente. Para esta estructura regular, y con algunas suposiciones, se puede simplificar la forma de las ecuaciones de Maxwell con derivadas espaciales multidimensionales. Un enfoque para resolver ecuaciones diferenciales es asumir una forma de la solución y luego probar para ver si es una solución válida. La primera solución a considerar se denomina modo TEM y corresponde a la mínima variación posible de los campos. Además, se supone que la variación en la\(z\) dirección es descrita por las ecuaciones de onda viajera. Entonces los únicos campos de interés aquí son\(E\) y\(H\) en el plano transversal; todo lo que se ve en la Figura 4.4.1 (b). Si todos los campos están en el\(xy\) plano, entonces es suficiente aplicar solo las condiciones de contorno que provienen de los planos de tierra superior e inferior. Al principio parece que existen muchas soluciones posibles a las ecuaciones diferenciales. Esto se simplifica asumiendo ciertas propiedades variacionales de los\(H_{y}\) campos\(E_{x},\: E_{y},\: H_{x},\) y y luego viendo si estas soluciones pueden ser soportadas. La solución más sencilla es cuando no hay variación en los campos y entonces el único resultado posible es ese\(E_{x} =0= H_{y}\). Este es el modo TEM indicado en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a). En los límites, los planos metálicos superior e inferior, hay una divergencia del campo eléctrico, ya que inmediatamente dentro del conductor (ideal) no hay campo eléctrico e inmediatamente afuera hay. Esta divergencia es soportada por la carga superficial en los planos de tierra (ver Ecuación (1.5.2)).

En la Figura\(\PageIndex{1}\) (a), el grosor de las líneas indica intensidad de campo relativa y no hay variación en la intensidad de campo ni en los campos eléctricos ni magnéticos mostrados. Los coeficientes de los componentes del campo están determinados por las condiciones de contorno. La solución de prueba utilizada aquí tiene\(E_{x} =0= H_{y}\) y\(E_{z} = 0 = H_{z}\); es decir, la solución de prueba tiene el campo eléctrico en la dirección y y el campo magnético está en la dirección x. Las ecuaciones de Maxwell (Ecuaciones\(\eqref{eq:1}\) y\(\eqref{eq:2}\)) se convierten en (tenga en cuenta que\(\overline{\mathcal{E}} =\overline{\mathcal{E}}_{x}\hat{\mathbf{x}} +\overline{\mathcal{E}}_{y}\hat{\mathbf{y}}+\overline{\mathcal{E}}_{z}\hat{\mathbf{z}}\))

\[\begin{align}\label{eq:3}\nabla\times\overline{\mathcal{E}}_{y}\hat{\mathbf{y}}&=-\frac{\partial\overline{\mathcal{B}}_{x}\hat{\mathbf{x}}}{\partial t} &\nabla\times\overline{\mathcal{H}}_{x}\hat{\mathbf{x}}&=\frac{\partial\overline{\mathcal{D}}_{y}\hat{\mathbf{x}}}{\partial t}+\overline{\mathcal{J}} \\ \label{eq:4}\nabla\cdot\overline{\mathcal{D}}_{y}\hat{\mathbf{y}}&=\rho &\nabla\cdot\overline{\mathcal{B}}_{x}\hat{\mathbf{x}}&=0\end{align} \]

Expandiendo los operadores curl\(\nabla\times\), y div,\(\nabla\cdot\), usando las ecuaciones (1.5.21) y (1.5.22) éstas se convierten en (con\(D =\varepsilon E\) y\(B =\mu H\))

\[\begin{align}\label{eq:5}\hat{x}\frac{\partial\overline{\mathcal{E}}_{y}}{\partial z}&=\frac{\partial\overline{\mathcal{B}}_{x}\hat{\mathbf{x}}}{\partial t}=\frac{\partial\mu\overline{\mathcal{H}}_{x}\hat{\mathbf{x}}}{\partial t} \\ \label{eq:6} \hat{\mathbf{y}}\frac{\partial\overline{\mathcal{H}}_{x}}{\partial z} &=\frac{\partial\overline{\mathcal{D}}_{y}\hat{\mathbf{y}}}{\partial t}+\overline{\mathcal{J}}=\frac{\partial\varepsilon\overline{\mathcal{E}}_{y}\hat{\mathbf{y}}}{\partial t}+\overline{\mathcal{J}} \\ \label{eq:7}\frac{\partial\overline{\mathcal{D}}_{y}}{\partial y}=\frac{\partial\varepsilon\overline{\mathcal{E}}_{y}}{\partial y}&=\rho \\ \label{eq:8}\frac{\partial\overline{\mathcal{B}}_{x}}{\partial x}=\frac{\partial\mu\overline{\mathcal{H}}_{x}}{\partial x}&=0\end{align} \]

Estas ecuaciones describen lo que sucede en cada punto del espacio.

La ecuación\(\eqref{eq:5}\) indica que si hay un componente variable en el tiempo del\(B\) campo\(x\) dirigido, entonces debe haber un componente\(z\) variable del componente de\(E_{y}\) campo. Esto es solo una parte de la ecuación de onda que describe un campo que se propaga en la\(z\) dirección. La ecuación\(\eqref{eq:6}\) indica lo mismo, pero ahora se invierten los papeles de los campos eléctrico y magnético. \(\eqref{eq:5}\)La ecuación muestra que el\(y\) componente del campo eléctrico puede ser constante entre las placas, pero en las placas debe haber una carga en la superficie de los conductores (ver Ecuación\(\eqref{eq:7}\)), para terminar el campo eléctrico (como lo indica la Ecuación\(\eqref{eq:7}\)), ya que no hay campo eléctrico dentro de los conductores. La ecuación\(\eqref{eq:8}\) indica que la\(x\) componente del campo magnético no puede variar en la\(x\) dirección (es decir,\(B_{x}\) y\(H_{x}\) son constantes). Por lo tanto, la suposición detrás de la solución de prueba sobre la forma de este modo es correcta. El campo eléctrico y magnético son uniformes en el plano transversal, el\(xy\) plano, y la única variación es en la dirección de propagación, la\(z\) dirección (pero no hay componente\(z\) -dirigido de los campos). Así, la solución de prueba satisface las ecuaciones de Maxwell. Este es el modo TEM, ya que todos los componentes de campo están en las\(y\) direcciones\(x\) y y ninguno está en la\(z\) dirección. El modo TEM se puede apoyar en todas las frecuencias en la guía de ondas de placa paralela.

Al explorar la existencia de modos de orden superior, las ecuaciones de Maxwell deben simplificarse aún más. Poner Ecuaciones\(\eqref{eq:5}\) —\(\eqref{eq:8}\) en forma de fasor, y considerando la región libre de fuente entre las placas (so\(J = 0\) y\(\rho = 0\)), éstas se convierten (nótese que\(E_{x}\) es el fasor de\(E_{x}\))

\[\begin{align}\label{eq:9}\frac{\partial E_{y}}{\partial z}&=\jmath\omega\mu H_{x}&\frac{\partial H_{x}}{\partial z}&=\jmath\omega\varepsilon E_{y} \\ \label{eq:10}\frac{\partial E_{y}}{\partial y}&=0 &\frac{\partial H_{x}}{\partial x}&=0\end{align} \]

y la solución se convierte

\[\label{eq:11}\frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial z^{2}}=\gamma^{2}E_{y}\quad\text{and}\quad\frac{\partial^{2}H_{x}}{\partial z^{2}}=\gamma^{2}H_{x} \]

donde\(\gamma =\jmath\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\) y no hay variación de la\(E_{y}\) componente del campo eléctrico en la\(y\) dirección y ninguna variación de la\(H_{x}\) componente del campo magnético en la\(x\) dirección.

Otro posible conjunto de modos ocurre cuando el campo eléctrico está sólo en la dirección y, pero entonces debe haber una variación de la intensidad del campo, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (b). La variación más simple es cuando hay una variación espacial semisusoidal del componente de\(E_{y}\) campo. Aplicando la metodología descrita anteriormente, se encuentra que debe haber un componente del campo magnético en la\(z\) dirección para soportar este modo. De ahí que estos modos se llamen modos eléctricos transversales (TE). (Intercambiando los roles de los campos eléctrico y magnético produce los modos magnéticos transversales (TM) donde hay un componente de campo eléctrico en la\(z\) dirección). La variación semi-sinusoidal aún permite que la carga soporte la existencia de un campo\(E_{y}\) eléctrico.

Un resultado clave de nuestra discusión anterior es que debe haber suficiente distancia para que el campo se rille y esto está relacionado con la longitud de onda,\(\lambda\). Este modo eléctrico transversal sólo puede existir cuando\(h ≥ \lambda/2\). Cuando\(h\) es menor que la mitad de la longitud de onda, este modo no puede ser soportado, y se dice que está cortado. Solo se puede admitir el modo TEM hasta DC, por lo que los modos que no sean TEM tienen una frecuencia de corte y una longitud de onda de corte\(\lambda_{c}\).\(f_{c}\) También se utiliza el concepto de número de onda\(k(= 2π/\lambda=\omega\sqrt{\mu\varepsilon})\). La longitud de onda de corte\(\lambda_{c}\), y el número de onda de corte\(k_{c}\), están ambos relacionados con la dimensión por debajo de la cual un modo no puede “curvarse” lo suficiente como para ser autoportante. Para el modo TE más bajo,\(k_{c} = 2π/\lambda_{c}\) con\(\lambda_{c} = 2h\). En general, para los modos TE, puede haber\(n\) variaciones del campo eléctrico, e\(n\) indica el modo\(n\) TH TE, denotado como\(\text{TE}_{n}\), para el cual\(k_{c,n} = n\pi/h\) y\(\lambda_{c} = 2h/n\). La constante de propagación de cualquier modo en un medio uniforme sin pérdidas (no solo en un modo de guía de ondas de placa paralela) es

\[\label{eq:12}\beta=\sqrt{k^{2}-k_{c}^{2}} \]

Para el modo TEM,\(k_{c} = 0\). Los modos de orden superior son descritos por sus propios\(k_{c}\).

Los modos TM se describen de manera similar, y nuevamente\(k_{c} = n\pi /h\) para el\(\text{TM}_{n}\) modo. Un modo puede ser soportado en cualquier frecuencia por encima de la frecuencia de corte del modo, simplemente no se puede soportar en frecuencias por debajo de la frecuencia de corte ya que no es posible que los campos varíen (o curvarse) por debajo del corte.

4.5.2 Multimodo y Paredes Eléctricas y Magnéticas

En la discusión anterior, la guía de ondas de placa paralela tenía dos paredes eléctricas: las paredes superior e inferior de metal. Aquí se presentarán los resultados cuando se introduzcan las paredes magnéticas. Una pared magnética solo se puede aproximar, ya que no existen conductores magnéticos (ya que no existen cargas magnéticas). Mientras que una pared eléctrica aparece como un cortocircuito, una pared magnética es un circuito abierto. Las ecuaciones de Maxwell y las paredes eléctricas y magnéticas establecen los siguientes requisitos en los campos:

Pared eléctrica	Campo eléctrico perpendicular Campo magnético tangencial
Pared magnética	Campo magnético perpendicular Campo eléctrico tangencial

Tabla\(\PageIndex{1}\): Requisitos impuestos a los campos por paredes eléctricas y magnéticas.

Los modos de orden más bajo que pueden ser soportados por combinaciones de paredes eléctricas y magnéticas se muestran en la Figura 4.6.1. Con dos paredes eléctricas o dos magnéticas, se puede soportar un modo TEM (sin variaciones de campo en el plano transversal). Por supuesto, habrá variaciones en los componentes del campo en la dirección de propagación. Los modos con las variaciones geométricas más simples en el plano transversal a la dirección de propagación establecen la longitud de onda crítica. En la Figura 4.6.1 la distancia entre las paredes es\(d\). Para el caso de dos paredes similares (Figuras 4.6.1 (a y c))\(\lambda_{c} = 2h\), ya que se requiere media variación sinusoidal. A diferencia de las paredes (ver Figura 4.6.1 (b)), los modos variables son compatibles con solo un cuarto de variación sinusoidal, y así\(\lambda_{c} = 4h\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Modes and Electric and Magnetic Walls

Una pared magnética y una pared eléctrica están\(1\text{ cm}\) separadas y están separadas por un material sin pérdidas que tiene\(\varepsilon_{r} = 9\). ¿Cuál es la frecuencia de corte del modo de orden más bajo en este sistema?

Solución

El campo EM establecido por las paredes eléctricas y magnéticas se describe en la Figura 4.6.1 (b). No hay solución a las ecuaciones de Maxwell que no tenga variación de los campos EM ya que no es posible tener un campo eléctrico espacialmente uniforme que sea perpendicular a una pared eléctrica mientras que también sea perpendicular a una pared magnética paralela. Las otras soluciones de las ecuaciones de Maxwell requieren que los campos varíen espacialmente, es decir, curl. Sin paredes eléctricas y magnéticas, la distancia mínima sobre la que los campos EM se doblarán hacia sí mismos es una longitud de onda. Con pared eléctrica y magnética paralela separada por\(h\) la distancia mínima para una solución de las ecuaciones de Maxwell es un cuarto de longitud de onda,\(\lambda\), de las paredes como se muestra a la derecha en la Figura 4.6.1 (b). Eso es

\[\label{eq:13}h=\lambda/4\quad\text{or}\quad\lambda=4h=4\text{ cm}=\lambda_{0}/(\sqrt{\varepsilon_{t}\mu_{r}}) \]

Figura\(\PageIndex{2}\)

Dado que no se ha especificado la permeabilidad relativa supongamos que\(\mu_{r} = 1\) así

\[\lambda_{0}=\lambda\sqrt{9}=12\text{ cm}=c/f\nonumber \]

La frecuencia de corte es

\[\begin{align} f&=(2.998 × 10^{8}\text{ m/s})/(0.12\text{ m})\nonumber \\ \label{eq:14}&=2.498\text{ GHz}\end{align} \]