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2.3. Curvas definidas implícitamente en el espacio

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$$\newcommand{\dnormal}[1]{ \dfrac{\partial {#1}}{\partial {\vector n}} }}$$

Curvas dadas por la intersección de dos superficies

Dados dos campos escalares $$F(x,y,z)$$ y $$G(x,y,z)$$, los puntos $$(x,y,z)$$ que cumplen $$F(x,y,z)=0$$ y $$G(x,y,z)=0$$ forman, en general, una curva $$C$$ en el espacio tridimensional. Entonces se dice que estas ecuaciones definen implícitamente la curva $$C$$ y se llaman ecuaciones implícitas de $$C$$. El ejemplo más simple es la definición de una recta como intersección de dos planos. Otro ejemplo son las cónicas, definidas en 3D como la intersección de un cono y un plano, o las curvas dadas por la intersección de dos cuádricas, como la curva de Viviani, que es la curva en forma de $$8$$ dada por la intersección de la esfera $$x^2+y^2+z^2=1$$ con el cilindro circular $$x^2+y^2=x$$, en otras palabras, es el conjunto de puntos cuyas coordenadas $$(x,y,z)$$ son las soluciones de las ecuaciones $$F(x,y,z) = x^2+y^2+z^2-1=0$$ y $$G(x,y,z)=x^2+y^2-x=0$$.

La curva de Viviani.

Recta tangente a una curva dada por la intersección de dos superficies. Para ver que el conjunto $$C$$ de los puntos $$(x,y,z)$$ que cumplen $$F(x,y,z)=0$$ y $$G(x,y,z)=0$$ es una curva, lo ideal sería despejar dos de las variables en función de la tercera, que podría usarse como parámetro de la curva. Si $$C$$ es una curva, entonces está contenida en ambas superficies, luego que el vector tangente a $$C$$ en un punto $$P$$ debe ser ortogonal tanto a $$\nabla F(P)$$ como a $$\nabla G(P)$$. En consecuencia, el producto vectorial $$\nabla F(P)\times \nabla G(P)$$ es, si no es el vector nulo, tangente a la curva en $$P$$, luego la condición debe ser que $$\nabla F(P)$$ y $$\nabla G(P)$$ sean linealmente independientes para que $$\nabla F(P)\times \nabla G(P) \neq \vecs 0$$.

Teorema de la función implícita para una curva en el espacio o para dos ecuaciones con tres variables.

Teorema de la función implícita (3D, dos ecuaciones). Sean $$F$$ y $$G$$ funciones de clase $$C^n(U)$$ y $$P=(x_0,y_0,z_0)$$ un punto interior del dominio $$U$$ tal que $$F(P)=0$$ y $$G(P)=0$$. Si los vectores gradientes $$\nabla F(P)$$ y $$\nabla G(P)$$ son linealmente independientes, entonces cerca del punto $$P$$ los puntos $$(x,y,z)$$ que cumplen $$F(x,y,z)=0$$ y $$G(x,y,z)=0$$ forman una curva $$C$$ que podemos parametrizar usando una de las variables como parámetro.

Concretamente, si $$\nabla F(P)$$ y $$\nabla G(P)$$ son linealmente independientes, entonces $$\nabla F(P)\times \nabla G(P)\neq \vecs 0$$ y podemos usar como parámetro de la curva cualquiera de las variables cuya coordenada correspondiente en $$\nabla F(P) \times \nabla G(P)$$ no sea cero. Así, por ejemplo, si la primera coordenada de $$\nabla F(P) \times \nabla G(P)$$ no es cero, entonces podemos usar $$x$$ como parámetro y despejar $$y,z$$ en función de $$x$$ cerca de $$P$$, en el sentido de que existen un intervalo $$I \subset \R$$ centrado en el punto $$x_0$$ y dos únicas funciones escalares $$y(x)$$ y $$z(x)$$ de clase $$C^n(I)$$ tales que $$y(x_0)=y_0$$, $$z(x_0)=z_0$$ y $$\bigl(x,y=y(x),z=z(x)\bigr)$$ es una solución del sistema de ecuaciones $$F(x,y,z)=0$$, $$G(x,y,z)=0$$ para cada $$x \in I$$. Además, las derivadas $$y'(x)$$ y $$z'(x)$$ vienen dadas para cada $$x \in I$$ por la solución única del sistema de ecuaciones lineales

\begin{align} F_y\bigl(x, y(x), z(x) \bigr) y'(x) + F_z \bigl(x, y(x), z(x) \bigr)z'(x) &=- F_x \bigl(x, y(x), z(x) \bigr) \notag \\ G_y\bigl(x, y(x), z(x) \bigr) y'(x) + G_z\bigl(x, y(x), z(x) \bigr) z'(x) &=-G_x\bigl(x, y(x), z(x) \bigr) \notag \end{align}

Se dice, en este caso, que las ecuaciones $$F(x,y,z)=0$$ y $$G(x,y,z)=0$$ definen implícitamente las variables $$y, z$$ como funciones $$y(x), z(x)$$ de la variable $$x$$ cerca del punto $$P$$.

En estas condiciones, el trozo de curva $$C$$ cerca de $$P$$ podemos parametrizarlo, usando $$x$$ como parámetro, mediante $${\vecs r}: x \in I \to {\vecs r}(x)=\bigl(x,y(x),z(x)\bigr)$$. Entonces, un vector tangente a la curva en un punto $$\bigl( x,y=y(x),z=z(x) \bigr)$$ es $${\vecs r}\,{}'(x)= \bigl( 1,y'(x),z'(x) \bigr)$$ que, como se deduce del sistema de ecuaciones anterior, es ortogonal tanto a $$\nabla F$$ como a $$\nabla G$$ y, por tanto, paralelo al producto vectorial $$\nabla F \times \nabla G$$, como habíamos adelantado.

Como en los casos de curvas en el plano y de superficies en el espacio, el papel de las variables es intercambiable, de manera que si la segunda coordenada de $$\nabla F(P)\times \nabla G(P)$$ no es cero, entonces podemos usar $$y$$ como parámetro y despejar $$x,z$$ en función de $$y$$ cerca de $$P$$, mientras que si la tercera coordenada de $$\nabla F(P)\times \nabla G(P)$$ no es cero, entonces podemos usar $$z$$ como parámetro y despejar $$x,y$$ en función de $$z$$ cerca de $$P$$.

Procedimiento de derivación implícita

Volviendo al caso en que las ecuaciones $$F(x,y,z)=0$$ y $$G(x,y,z)=0$$ definen implícitamente las variables $$y, z$$ como funciones de la variable $$x$$ cerca del punto $$P$$, el procedimiento de derivación implícita para ir calculando las sucesivas derivadas de $$y(x)$$ y $$z(x)$$ consiste en derivar simultáneamente las dos igualdades $$F\bigl(x, y(x), z(x) \bigr)=0$$, $$G\bigl(x, y(x), z(x) \bigr)=0$$ para $$x \in I$$, sustituir los valores previamente obtenidos y resolver el sistema corrrespondiente. Veamos un ejemplo.

Ejemplo. Consideremos la intersección de la superficie dada por $$x^2+y^2+z^3=2$$ con el plano $$x+y+z=2$$. El punto $$P=(0,1,1)$$ está en dicha intersección. Los campos $$F(x,y,z)=x^2+y^2+z^3-2$$ y $$G(x,y,z)=x+y+z-2$$ son de clase $$C^\infty(\R^3)$$. Además, $$\nabla F(x,y,z)=(2x, 2y, 3z^2)$$ y $$\nabla G(x,y,z)=(1,1,1)$$ cumplen que $$\nabla F(P)=(0,2,3)$$ y $$\nabla G(x,y,z)=(1,1,1)$$ son linealmente independientes y la primera componente de $$\nabla F(P) \times \nabla G(P) = (-1,3,-2)$$ no es cero, así que el teorema de la función implícita nos dice que las ecuaciones $$x^2+y^2+z^3=2$$ y $$x+y+z=2$$ definen implícitamente, cerca del punto $$P =(0,1,1)$$, una curva $$C$$ en la que las variables $$y, z$$ son funciones $$y(x), z(x)$$ de la variable $$x$$ que se mueve en un intervalo $$I$$ centrado en $$x_0=0$$ y cumplen $$y(0)=1, z(0)=1$$. Sería muy complicado calcular las expresiones explícitas de estas funciones $$y(x), z(x)$$, pero podemos calcular sus derivadas en $$x_0=1$$ y, por tanto, sus polinomios de Maclaurin.

Derivamos con respecto a $$x$$ en las igualdades $$x^2+y^2+z^3=2$$ y $$x+y+z=2$$, usando ya que $$y, z$$ son funciones de $$x \in I$$ (pero suprimiendo el argumento $$(x)$$ de las funciones $$y(x), z(x), y'(x), z'(x), \ldots$$ por claridad). Entonces nos queda $$2x+2yy'+3z^2z'=0$$ y $$1+y'+z'=0$$ para $$x \in I$$. Tomando $$x=0$$ y usando que $$y(0)=1, z(0)=1$$, obtenemos $$2y'(0)+3z'(0)=0$$ e $$y'(0)+z'(0)=-1$$. Resolviendo este sistema obtenemos $$y'(0)=-3$$ y $$z'(0)=2$$.

Ahora, derivando con respecto a $$x$$ las igualdades $$2x+2yy'+3z^2z'=0$$ y $$1+y'+z'=0$$ para $$x \in I$$, obtenemos $$2+2(y')^2+2yy''+6z(z')^2+3z^2z'' =0$$ e $$y''+z''=0$$ para $$x \in I$$. Poniendo $$x=0$$ y usando que $$y(0)=1, z(0)=1, y'(0)=-3, z'(0)=2$$, nos queda $$2y'(0)+3z'(0)=-44$$ e $$y''(0)+z''(0)=0$$, con lo que $$y''(0)=44$$ y $$z''(0)=-44$$.

Volviendo a derivar obtenemos $$6y'y''+2yy'''+6(z')^3+18zz'z''+3z^2z'''=0$$ e $$y'''+z'''=0$$ para $$x \in I$$. Tomando $$x=0$$ y los valores anteriormente obtenidos queda $$2y'''(0)+3z'''(0)=2328$$ e $$y'''(0)+z'''(0)=0$$. Resolviendo este sistema nos queda $$y'''(0)=-2328$$ y $$z'''(0)=2328$$. Entonces, los polinomios de Maclaurin de grado $$3$$ de $$y(x)$$ y $$z(x)$$ son, respectivamente,

$y(x)\approx p_3(x)=1-3x+22x^2-388x^3, \qquad z(x)\approx q_3(x)=1+2x-22x^2+388x^3. \notag$

En la figura vemos la superficie $$x^2+y^2+z^3=2$$ (los tonos verdosos y violeta al fondo), el plano $$x+y+z=2$$ (en amarillo oscuro), el punto $$P=(0,1,1)$$ (en negro) y la aproximación de la curva $$C$$ (en rojo) dada por la parametrización $$x, y(x)\approx p_3(x), z(x)\approx q_3(x)$$ con $$-0.05 < x < 0.05$$.

Corte de la superficie $$x^2+y^2+z^3=2$$ con el plano $$x+y+z=2$$.

Ejercicios

Utiliza la aplicación CalcPlot3D para dibujar las gráficas de las superficies que aparecen en los ejercicios.

Ejercicio 1. Calcula la recta tangente en $$P=(0,0,2)$$ a la curva $$C$$ obtenida al cortar la esfera $$x^2 + y^2 + z^2 = 4$$ con el paraboloide $$x^2 + z^2 = y + 4$$.

Ejercicio 2. Sea $$C$$ la curva dada por la intersección del paraboloide $$z=2-(x^2+y^2)$$ con el cilindro $$x^2+z^2=2x$$. Calcula las ecuaciones continuas de la recta tangente a $$C$$ en el punto $$P=(1,0,1)$$.

Ejercicio 3. Sea $$C$$ la elipse obtenida al cortar el elipsoide $$x^2 + 4y^2 + 3z^2 = 16$$ con el plano $$x+y+2z = 5$$. Prueba que cerca del punto $$P=(0,1,2)$$ se pueden despejar las variables $$y$$ y $$z$$ de dicha elipse en función de la variable $$x$$ y calcula los correspondientes polinomios de Maclaurin de grado $$3$$.

Ejercicio 4. Prueba que el sistema de ecuaciones $$x^2+zy^2+z^3=1$$, $$x+y+z=1$$ define implícitamente las variables $$y,z$$ como funciones $$y(x),z(x)$$ cerca de $$P=(0,0,1)$$ y calcula los correspondientes polinomios de Maclaurin de grado $$2$$ de dichas funciones $$y(x), z(x)$$.

Ejercicio 5. Sea $$C$$ la curva dada por la intersección de la esfera $$x^2+y^2+z^2=3$$ con el cilindro $$x^2+y^2=2x$$. Prueba que cerca de $$P=(1,1,1)$$ se pueden despejar las variables $$x$$ e $$y$$ de la curva como funciones de $$z$$ y calcula los polinomios de Taylor de orden 3 de las correspondientes funciones alrededor del punto $$z_0=1$$.

Ejercicio 6. Sea $$C$$ la curva dada por las ecuaciones implícitas $$x+y+z^2=0$$ y $$x^3+y^3+z^3=3xyz$$. Prueba que cerca del punto $$P=(1,-1,0)$$ se pueden despejar las variables $$y,z$$ de la curva como funciones de $$x$$ y calcula los polinomios de Taylor de orden $$3$$ de las correspondientes funciones alrededor del punto $$x_0=1$$.

Ejercicio 7. Sea $$S$$ la superficie de ecuación implícita $$F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+4xy+z=1$$.

1. Prueba que dicha ecuación implícita permite definir $$z$$ como una función de $$x$$ e $$y$$, que denotaremos por $$z=f(x,y)$$,cerca de $$P=(0,-1,0)$$.
2. Determina la dirección según la cual la derivada direccional de $$f$$ en el punto $$(0,-1)$$ es máxima y calcula el valor de dicha derivada direccional.
3. Determina la ecuación del plano tangente a $$S$$ en $$P$$.
4. Al cortar la superficie $$S$$ con el cilindro de ecuación $$x^{2}+y^{2}=1$$ se obtiene una curva $$C$$ que pasa por $$P$$. Halla la recta tangente a la curva $$C$$ en el punto $$P$$ y su curvatura en dicho punto $$P$$.

Ejercicio 8. Sea $$C$$ la curva dada por las ecuaciones $$y^2+z^2-x^2+2=0$$ e $$yz+xz-xy-1=0$$.

1. Prueba que es posible parametrizar un tramo de $$C$$ cerca del punto $$P=(2,1,1)$$ tomando la variable $$x$$ como parámetro.
2. Halla el vector $$\vecs{u}$$ que es tangente a la curva $$C$$ en el punto $$P$$, es unitario y apunta en el sentido de subida de $$C$$ en dicho punto.
3. Dado el campo escalar $$f(x,y,z)=-xy-y^2+xyz+z^2+2y-2$$, halla la derivada direccional de $$f$$ en $$P$$ en la dirección de $$\vecs{u}$$.