3.7: Introducción a las funciones

Objetivos de aprendizaje

• Identificar una función.
• Declarar el dominio y el rango de una función.
• Utilice la notación de funciones.

Relaciones, funciones, dominio y rango

Las relaciones entre conjuntos ocurren a menudo en la vida cotidiana. Por ejemplo, por cada mes en Cabo Cañaveral, podemos asociar una cantidad promedio de precipitaciones. En este caso, la cantidad de precipitación depende del mes del año, y los datos pueden escribirse en forma tabular o como un conjunto de pares ordenados.

Mesa$\PageIndex{1}$

Mes	Precipitaciones	Pares ordenados
enero	2.4 pulg	(Enero, 2.4)
febrero	3.3 pulg	(Febrero, 3.3)
marzo	3.1 pulg	(Marzo, 3.1)
abril	2.0 pulg	(Abril, 2.0)
Mayo	3.8 pulg	(Mayo, 3.8)
junio	6.8 pulg	(Junio, 6.8)
julio	8.1 pulg	(Julio, 8.1)
agosto	7.6 pulg	(Agosto, 7.6)
septiembre	7.3 en	(Septiembre, 7.3)
Octubre	4,1 pulg	(Octubre, 4.1)
noviembre	3.3 pulg	(noviembre, 3.3)
diciembre	2.4 pulg	(Diciembre, 2.4)

Definimos una relación como cualquier conjunto de pares ordenados. Normalmente escribimos el componente independiente de la relación en la primera columna y el componente dependiente en la segunda columna. En el ejemplo de apertura, observe que tiene sentido relacionar la cantidad promedio de precipitación como dependiente del mes del año. El conjunto de todos los elementos en la primera columna de una relación se llama el dominio. El conjunto de todos los elementos que componen la segunda columna se llama rango. En este ejemplo, el dominio consiste en el conjunto de todos los meses del año, y el rango consiste en los valores que representan la precipitación promedio para cada mes.

En el contexto del álgebra, las relaciones de interés son conjuntos de pares ordenados$(x, y)$ en el plano de coordenadas rectangulares. En este caso, los$x$ -valores definen el dominio y los$y$ -valores definen el rango. De especial interés son las relaciones donde cada$x$ valor corresponde exactamente a un$y$ valor; estas relaciones se llaman funciones.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Determine el dominio y rango de la siguiente relación y establezca si es o no una función:

$\{(−1, 4), (0, 7), (2, 3), (3, 3), (4, −2)\}$

Solución:

Aquí separamos el dominio y el rango y representamos la correspondencia entre los valores con flechas.

Figura$\PageIndex{1}$

Respuesta:

El dominio es$\{−1, 0, 2, 3, 4\}$, y el rango es$\{−2, 3, 4, 7\}$. La relación es una función porque cada$x$ -valor corresponde exactamente a un$y$ -valor.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Determine el dominio y rango de la siguiente relación y establezca si es o no una función:

$\{(−4, −3), (−2, 6), (0, 3), (3, 5), (3, 7)\}$.

Solución:

Figura$\PageIndex{2}$

Respuesta:

El dominio es$\{−4, −2, 0, 3\}$, y el rango es$\{−3, 3, 5, 6, 7\}$. Esta relación no es una función porque el$x$ -value$3$ tiene dos$y$ valores -correspondientes.

En el ejemplo anterior, la relación no es una función porque contiene pares ordenados con el mismo$x$ -valor,$(3, 5)$ y$(3, 7)$. Podemos reconocer funciones como relaciones donde no se repiten$x$ valores.

En álgebra, ecuaciones como$y=\frac{3}{4}x−2$ definen relaciones. Esta ecuación lineal se puede graficar de la siguiente manera:

Figura$\PageIndex{3}$

La gráfica es una relación ya que representa el conjunto infinito de soluciones de pares ordenados a$y=\frac{3}{4}x−2$. El dominio es el conjunto de todos los$x$ -valores, y en este caso consiste en todos los números reales. El rango es el conjunto de todos los posibles$y$ -valores, y en este caso también consta de todos los números reales. Además, la gráfica es una función porque para cada$x$ -valor solo hay un$y$ valor -correspondiente. De hecho, cualquier línea no vertical o no horizontal es una función con dominio y rango que consiste en todos los números reales.

Cualquier gráfica es un conjunto de pares ordenados y así define una relación. Considera la siguiente gráfica de un círculo:

Figura$\PageIndex{4}$

Aquí la gráfica representa una relación donde muchos$x$ -valores en el dominio corresponden a dos valores y. Si dibujamos una línea vertical, como se ilustra, podemos ver que$(3, 2)$ y$(3, −2)$ son dos pares ordenados con el mismo$x$ -valor. Por lo tanto, el$x$ -valor$3$ corresponde a dos$y$ -valores; de ahí que la gráfica no representa una función. La ilustración sugiere que si alguna línea vertical cruza una gráfica más de una vez, entonces la gráfica no representa una función. A esto se le llama prueba de línea vertical.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Dada la siguiente gráfica, determinar el dominio y el rango e indicar si se trata o no de una función.

Figura$\PageIndex{5}$

Solución:

La forma dada se llama parábola y se extiende indefinidamente hacia la izquierda y hacia la derecha como lo indican las flechas. Esto sugiere que si elegimos algún$x$ -valor, entonces podremos encontrar un punto correspondiente en la gráfica; por lo tanto, el dominio consiste en todos los números reales. Además, la gráfica muestra que$−1$ es el$y$ valor mínimo, y cualquier$y$ -valor mayor que el que se representa en la relación. De ahí que el rango consiste en todos$y$ los valores -mayores o iguales a$−1$, o en notación de intervalo,$[−1, ∞)$.

Figura$\PageIndex{6}$

Por último, cualquier línea vertical cruzará la gráfica sólo una vez; por lo tanto, es una función.

Respuesta:

El dominio es todo números reales$R = (−∞, ∞)$, y el rango es$[−1, ∞)$. El gráfico representa una función porque pasa la prueba de línea vertical.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Dada la gráfica, determinar el dominio y el rango y declarar si es o no una función:

Figura$\PageIndex{7}$

Contestar

Dominio:$[−4, ∞)$; rango:$(−∞, ∞)$; función: no

Notación de funciones y funciones lineales

Con la definición de una función viene notación especial. Si consideramos que cada$x$ -value es la entrada que produce exactamente una salida, entonces podemos usar la notación

$$f(x)=y$$

La notación$f(x)$ dice “$f$de$x$” y no debe confundirse con la multiplicación. La mayor parte de nuestro estudio del álgebra involucra funciones, por lo que la notación se vuelve muy útil a la hora de realizar tareas comunes. Las funciones se pueden nombrar con diferentes letras; algunos nombres comunes para las funciones son$g(x), h(x), C(x)$, y$R(x)$. Primero, consideremos líneas no verticales que sabemos que se pueden expresar usando la forma pendiente-intercepción,$y=mx+b$. Para cualquier número real$m$ y$b$, la ecuación define una función, y podemos reemplazarla$y$ con la nueva notación de la$f(x)$ siguiente manera:

$$y=mx+b$$

$$f(x)=mx+b$$

Por lo tanto, una función lineal es cualquier función que se pueda escribir en la forma$f(x)=mx+b$. En particular, podemos escribir lo siguiente:

La notación también muestra valores a evaluar en la ecuación. Si el valor para$x$ se da como$8$, entonces sabemos que podemos encontrar el$y$ -valor correspondiente$8$ sustituyéndolo$x$ y simplificando. Usando la notación de funciones, esto se denota$f(8)$ y se puede interpretar de la siguiente manera:

Por último, simplifique:

Nosotros tenemos$f(8)=4$. Esta notación nos dice que cuando$x = 8$ (la entrada), la función resulta en$4$ (la salida).

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Dada la función lineal$f(x)=−5x+7$, find$f(−2)$.

Solución:

En este caso,$f(−2)$ indica que debemos evaluar cuándo$x=−2$.

$\begin{aligned} f(x)&=-5x+7 \\ f(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}&=-5(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)+7} &\color{Cerulean}{Replace\:x\:with\:-2.} \\ &=10+7 \\ &=17 \end{aligned}$

Respuesta:

$f(-2)=17$

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Dada la función lineal$f(x)=−5x+7$, buscar$x$ cuándo$f(x)=10$.

Solución:

En este caso,$f(x)=10$ indica que la función se debe establecer igual a$10$.

$\begin{aligned} f(x)&=-5x+7 \\ \color{OliveGreen}{10}&=-5x+7 &\color{Cerulean}{Replace\:f(x)\:with\:10.} \\ 10\color{Cerulean}{-7}&=-5x+7\color{Cerulean}{-7}&\color{Cerulean}{Solve\:for\:x.} \\ 3&=-5x\\ \frac{3}{\color{Cerulean}{-5}}&=\frac{-5x}{\color{Cerulean}{-5}} -\frac{3}{5}&=x \end{aligned}$

Respuesta:

Aquí$x=−\frac{3}{5}$, y podemos escribir$f(−\frac{3}{5})=10$.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Dada la gráfica de una función lineal$g(x)$,

1. Encuentra$g(2)$.
2. Encuentra$x$ cuándo$g(x)=3$.

Figura$\PageIndex{8}$

Solución:

a. Eso$g(2)$ implica la notación$x = 2$. Utilice la gráfica para determinar el$y$ valor -correspondiente.

Figura$\PageIndex{9}$

b. La notación$g(x)=3$ implica que el$y$ -valor se da como$3$. Utilice la gráfica para determinar el$x$ valor -correspondiente.

Figura$\PageIndex{10}$

Respuesta:

1. $g(2)=1$
2. $x=4$

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Grafique la función lineal$f(x)=−\frac{5}{3}x+6$ y establezca el dominio y el rango.

Solución:

A partir de la función, vemos eso$b = 6$ y así la$y$ -intercepción es$(0, 6)$. También, podemos ver que la pendiente es$m=\frac{−5}{3}=−\frac{5}{3}=\frac{rise}{run}$. A partir de la$y$ -intercepción, marcar un segundo punto abajo$5$ unidades y unidades$3$ derechas.

Figura$\PageIndex{11}$

Dada cualquier coordenada en el$x$ eje -podemos encontrar un punto correspondiente en la gráfica; el dominio consiste en todos los números reales. Además, para cualquier coordenada en el$y$ eje -podemos encontrar un punto en la gráfica; el rango consiste en todos los números reales.

Respuesta:

Tanto el dominio como el rango constan de todos los números reales$R$.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Dada la función lineal$g(x)=−x+5$,

1. Encuentra$g(-\frac{1}{2})$.
2. Encuentra$x$ cuándo$g(x)=18$.

Contestar

a.$g(-\frac{1}{2})=\frac{1}{12}$

b.$x=-13$

Claves para llevar

• Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados. No obstante, en el contexto de este curso, estaremos trabajando con conjuntos de pares ordenados$(x, y)$ en el sistema de coordenadas rectangulares. El conjunto de$x$ valores define el dominio y el conjunto de$y$ -valores define el rango.
• Las relaciones especiales donde cada$x$ -valor (entrada) corresponde exactamente a un$y$ -valor (salida) se llaman funciones.
• Podemos determinar fácilmente si una ecuación representa una función realizando la prueba de línea vertical en su gráfica. Si alguna línea vertical cruza la gráfica más de una vez, entonces la gráfica no representa una función. En este caso, habrá más de un punto con el mismo$x$ -valor.
• Cualquier línea no vertical o no horizontal es una función y se puede escribir usando notación de función$f(x)=mx+b$. Tanto el dominio como el rango constan de todos los números reales.
  • Si se le pide encontrar$f(a)$, sustituimos por$a$ la variable y luego simplificamos.
  • Si se le pide encontrar$x$ cuándo$f(x)=a$, establecemos la función igual a$a$ y luego resolvemos para$x$.

Ejercicio$\PageIndex{3}$ Functions

Para cada problema a continuación, ¿la correspondencia representa una función?

1. Alumnos de álgebra a sus puntuaciones en el primer examen.
2. Miembros de la familia a sus edades.
3. Computadoras de laboratorio a sus usuarios.
4. Alumnos a las escuelas a las que han asistido.
5. Personas a sus ciudadanías.
6. Negocios locales a su número de empleados.

Contestar

1. Sí

3. No

5. No

Ejercicio$\PageIndex{4}$ Functions

Determinar el dominio y el rango y establecer si la relación es una función o no.

1. $\{(3, 2), (5, 3), (7, 4)\}$
2. $\{(−5, −3), (0, 0), (5, 0)\}$
3. $\{(−10, 2), (−8, 1), (−8, 0)\}$
4. $\{(9, 12), (6, 6), (6, 3)\}$

5.

Figura$\PageIndex{12}$

6.

Figura$\PageIndex{13}$

7.

Figura$\PageIndex{1}$ 4

8.

Figura$\PageIndex{15}$

9.

Figura$\PageIndex{16}$

10.

Figura$\PageIndex{17}$

11.

Figura$\PageIndex{18}$

12.

Figura$\PageIndex{19}$

13.

Figura$\PageIndex{20}$

14.

Figura$\PageIndex{21}$

15.

Figura$\PageIndex{22}$

16.

Figura$\PageIndex{23}$

17.

Figura$\PageIndex{24}$

18.

Figura$\PageIndex{25}$

19.

Figura$\PageIndex{26}$

20.

Figura$\PageIndex{27}$

Responder

1. Dominio:$\{3, 5, 7\}$; rango:$\{2, 3, 4\}$; función: sí

3. Dominio:$\{−10,−8\}$; rango:$\{0, 1, 2\}$; función: no

5. Dominio:$\{−4, −1, 2\}$; rango:$\{1, 2, 3\}$; función: sí

7. Dominio:$\{−2, 2\}$; rango:$\{2, 3, 5\}$; función: no

9. Dominio:$(−∞, ∞)$; rango:$\{2\}$; función: sí

11. Dominio:$(−∞, ∞)$; rango:$(−∞, ∞)$; función: sí

13. Dominio:$[−2, ∞)$; rango:$(−∞, ∞)$; función: no

15. Dominio:$[−4, ∞)$; rango:$[0, ∞)$; función: sí

17. Dominio:$(−∞, ∞)$; rango:$[0, ∞)$; función: sí

19. Dominio:$(−∞, ∞)$; rango:$[2, ∞)$; función: sí

Ejercicio$\PageIndex{5}$ Function Notation

Dadas las siguientes funciones, encuentre los valores de las funciones.

1. $f(x)=3x$, encuentra$f(−2)$.
2. $f(x)=−5x+1$, encuentra$f(−1)$.
3. $f(x)=\frac{3}{5}x−4$, encuentra$f(15)$.
4. $f(x)=\frac{2}{5}x−\frac{1}{5}$, encuentra$f(3)$.
5. $f(x)=\frac{5}{2}x−\frac{1}{3}$, encuentra$f(−\frac{1}{3})$.
6. $f(x)=−6$, encuentra$f(7)$.
7. $g(x)=5$, encuentra$g(−4)$.
8. $g(x)=−5x$, encuentra$g(−3)$.
9. $g(x)=−\frac{1}{8}x+\frac{5}{8}$, encuentra$g(\frac{5}{8})$.
10. $g(x)=\frac{5}{3}x−5$, encuentra$g(3)$.
11. $f(x)=5x−9$, encuentra$x$ cuándo$f(x)=1$.
12. $f(x)=−7x+2$, encuentra$x$ cuándo$f(x)=0$.
13. $f(x)=−\frac{7}{5}x−2$, encuentra$x$ cuándo$f(x)=−9$.
14. $f(x)=−x−4$, encuentra$x$ cuándo$f(x)=12$.
15. $g(x)=x$, encuentra$x$ cuándo$g(x)=12$.
16. $g(x)=−x+1$, encuentra$x$ cuándo$g(x)=\frac{2}{3}$.
17. $g(x)=−5x+\frac{1}{3}$, encuentra$x$ cuándo$g(x)=−\frac{1}{2}$.
18. $g(x)=−\frac{5}{8}x+3$, encuentra$x$ cuándo$g(x)=3$.

Responder

1. $f(−2)=−6$

3. $f(15)=5$

5. $f(−\frac{1}{3})=−\frac{7}{6}$

7. $g(−4)=5$

9. $g(\frac{5}{8})=\frac{35}{64}$

11. $x=2$

13. $x=5$

15. $x=12$

17. $x=\frac{1}{6}$

Ejercicio$\PageIndex{6}$ Function Notation

Dado$f(x)=\frac{2}{3}x−1$ y$g(x)=−3x+2$ calcular lo siguiente.

1. $f(6)$
2. $f(−\frac{1}{2})$
3. $f(0)$
4. $f(1)$
5. $g(\frac{2}{3})$
6. $g(0)$
7. $g(−1)$
8. $g(−\frac{1}{2})$
9. Encuentra$x$ cuándo$f(x)=0$.
10. Encuentra$x$ cuándo$f(x)=−3$.
11. Encuentra$x$ cuándo$g(x)=−1$.
12. Encuentra$x$ cuándo$g(x)=0$.

Responder

1. $f(6)=3$

3. $f(0)=−1$

5. $g(\frac{2}{3})=0$

7. $g(−1)=5$

9. $x=\frac{3}{2}$

11. $x=1$

Ejercicio$\PageIndex{7}$ Function Notation

Dada la gráfica, encuentra los valores de las funciones.

1. Dada la gráfica de$f(x)$, encontrar$f(−4), f(−1), f(0),$ y$f(2)$.

Figura$\PageIndex{28}$

2. Dada la gráfica de$g(x)$, encontrar$g(−3), g(−1), g(0),$ y$g(1)$.

Figura$\PageIndex{29}$

3. Dada la gráfica de$f(x)$, encontrar$f(−4), f(−1), f(0),$ y$f(2)$.

Figura$\PageIndex{30}$

4. Dada la gráfica de$g(x)$, encontrar$g(−4), g(−1), g(0)$, y$g(2)$.

Figura$\PageIndex{31}$

5. Dada la gráfica de$f(x)$, encontrar$f(−1), f(0), f(1)$, y$f(3)$.

Figura$\PageIndex{32}$

6. Dada la gráfica de$g(x)$, encontrar$g(−2), g(0), g(2)$, y$g(6)$.

Figura$\PageIndex{33}$

7. Dada la gráfica de$g(x)$, encontrar$g(−4), g(−3), g(0)$, y$g(4)$.

Figura$\PageIndex{34}$

8. Dada la gráfica de$f(x)$, encontrar$f(−4), f(0), f(1),$ y$f(3)$.

Figura$\PageIndex{35}$

Responder

1. $f(−4)=−3, f(−1)=0, f(0)=1,$y$f(2)=3$

3. $f(−4)=−4, f(−1)=−4, f(0)=−4,$y$f(2)=−4$

5. $f(−1)=1, f(0)=−2, f(1)=−3,$y$f(3)=1$

7. $g(−4)=0, g(−3)=1, g(0)=2,$y$g(4)=3$

Ejercicio$\PageIndex{8}$ Function Notation

Dada la gráfica, encuentra los$x$ -valores.

1. Dada la gráfica de$f(x)$, encontrar$x$ cuándo$f(x)=3, f(x)=1,$ y$f(x)=−3$.

Figura$\PageIndex{36}$

2. Dada la gráfica de$g(x)$, encontrar$x$ cuándo$g(x)=−1, g(x)=0,$ y$g(x)=1$.

Figura$\PageIndex{37}$

3. Dada la gráfica de$f(x)$, encontrar$x$ cuándo$f(x)=3$.

Figura$\PageIndex{38}$

4. Dada la gráfica de$g(x)$, encontrar$x$ cuándo$g(x)=−2, g(x)=0$, y$g(x)=4$.

Figura$\PageIndex{39}$

5. Dada la gráfica de$f(x)$, encontrar$x$ cuándo$f(x)=−16, f(x)=−12$, y$f(x)=0$.

Figura$\PageIndex{40}$

6. Dada la gráfica de$g(x)$, encontrar$x$ cuándo$g(x)=−3, g(x)=0$, y$g(x)=1$.

Figura$\PageIndex{41}$

7. Dada la gráfica de$f(x)$, encontrar$x$ cuándo$f(x)=−4, f(x)=0$, y$f(x)=−2$.

Figura$\PageIndex{42}$

8. Dada la gráfica de$g(x)$, encontrar$x$ cuándo$g(x)=5, g(x)=3$, y$g(x)=2$.

Figura$\PageIndex{43}$

9. El costo en dólares de producir bolígrafos con el logotipo de una empresa viene dado por la función$C(x)=1.65x+120$, donde$x$ está el número de bolígrafos producidos. Utilice la función para calcular el costo de producción de$200$ bolígrafos.

10. El ingreso en dólares por la venta de sudaderas viene dado por la función$R(x)=29.95x$, donde$x$ está el número de sudaderas vendidas. Utilice la función para determinar los ingresos si se venden$20$ sudaderas.

11. El valor de un auto nuevo en dólares viene dado por la función$V(t)=−2,500t+18,000$, donde$t$ representa la antigüedad del automóvil en años. Utilice la función para determinar el valor del automóvil cuando tenga 5 años de antigüedad. ¿Cuál era el valor del auto cuando era nuevo?

12. El ingreso mensual en dólares de un vendedor de autos comisionado viene dado por la función$I(n)=550n+1,250$, donde$n$ representa el número de autos vendidos en el mes. Utilice la función para determinar los ingresos mensuales del vendedor si vende$3$ autos este mes. ¿Cuáles son sus ingresos si no vende ningún auto en un mes?

13. El perímetro de un triángulo isósceles con una base que mide$10$ centímetros viene dado por la función$P(x)=2x+10$, donde$x$ representa la longitud de cada uno de los lados iguales. Encuentra la longitud de cada lado si el perímetro es de$40$ centímetros.

14. El perímetro de un cuadrado depende de la longitud de cada lado$s$ y es modelado por la función$P(s)=4s$. Si el perímetro de un cuadrado mide$140$ metros, entonces usa la función para calcular la longitud de cada lado.

15. Un determinado plan de telefonía celular cobra $$18$ por mes y $$0.10$ por minuto de uso. El costo del plan es modelado por la función$C(x)=0.10x+18$, donde$x$ representa el número de minutos de uso por mes. Determinar los minutos de uso si el costo del mes fue de $$36$.

16. El ingreso mensual generado por la venta de suscripciones a un sitio web de tutoría viene dado por la función$R(x)=29x$, donde$x$ representa el número de ventas de suscripción por mes. ¿Cuántas suscripciones se vendieron si los ingresos del mes sumaron $$1,508$?

Responder

1. $f(−1)=3, f(0)=1,$y$f(2)=−3$

3. $f(1)=3$(las respuestas pueden variar)

5. $f(−4)=−16$;$f(−6)=−12$ y$f(−2)=−12$;$f(−8)=0$ y$f(0)=0$

7. $f(−4)=−4$y$f(4)=−4$$f(0)=0$;$f(−2)=−2$ y$f(2)=−2$

9. $$450$

11. Nuevo: $$18,000$; 5 años: $$5,500$

13. $15$centímetros

15. $180$minutos

Ejercicio$\PageIndex{9}$ Function Notation

Grafique la función lineal y establezca el dominio y el rango.

1. $f(x)=−\frac{5}{2}x+10$
2. $f(x)=\frac{3}{5}x−10$
3. $g(x)=6x+2$
4. $g(x)=−4x+6$
5. $h(t)=\frac{1}{2}t−3$
6. $h(t)=−\frac{3}{4}t+3$
7. $C(x)=100+50x$
8. $C(x)=50+100x$

Responder

1. Dominio y rango:$R$

Figura$\PageIndex{44}$

3. Dominio y rango:$R$

Figura$\PageIndex{45}$

5. Dominio y rango:$R$

Figura$\PageIndex{46}$

7. Dominio y rango:$R$

Figura$\PageIndex{47}$

Ejercicio$\PageIndex{10}$ Discussion Board Topics

1. ¿Una línea vertical es una función? ¿Cuáles son el dominio y el rango de una línea vertical?
2. ¿Una línea horizontal es una función? ¿Cuál es el dominio y el rango de una línea horizontal?
3. Haz tu propia correspondencia entre conjuntos del mundo real. Explique por qué representa o no una función.
4. ¿Puede una función tener más$y$ de una intercepción? Explique.

Responder

1. Las respuestas pueden variar

3. Las respuestas pueden variar