Introducción al Álgebra Geométrica Aplicada

La física matemática opera con una combinación de las tres ramas principales de las matemáticas: geometría, álgebra y análisis infinitesimal. La interacción de estos elementos ha sufrido un cambio considerable desde el cambio de siglo.

En la física clásica, el análisis, en particular las ecuaciones diferenciales, juega un papel central. Este formalismo se complementa de manera más armoniosa con álgebra vectorial gibbsiana y cálculo para dar cuenta de las. propiedades espaciales, geométricas de partículas y campos.

Pocos teóricos han trabajado tan pacientemente como Gibbs para establecer el formalismo más simple posible para satisfacer una necesidad particular. Su éxito puede valorarse por el hecho de que —casi un siglo después— su cálculo, en la notación original, es de uso universal. Sin embargo, una vez aprovechadas todas las simplificaciones permitidas en la teoría clásica, no quedó la capacidad de reserva para hacer frente a la mecánica cuántica y la relatividad. La brecha en el marco algebraico clásico se complementó con tensores Minkowski y vectores Hilbert, álgebras matriciales, espinores, grupos Lie y una serie de otros constructos.

Desafortunadamente, las ventajas derivadas de la mayor potencia y sofisticación del nuevo equipo algebraico se ven empañadas por los efectos secundarios. Existe una proliferación de técnicas superpuestas con muy poca estandarización.

Además, mientras que los álgebras mantienen un carácter vagamente geométrico, los “espacios” a los que se hace referencia son abstracciones matemáticas con pero escaso atractivo a la intuición espacial ordinaria.

Estas características son consecuencias naturales del rápido crecimiento que pueden remediarse mediante la consolidación y la racionalización; el problema es adaptar el principio gibbsiano de la economía a condiciones más exigentes.

Este curso es un reporte de avance en dicho proyecto. Nuestro énfasis en el formalismo no significa descuidar los problemas conceptuales. De hecho, el aspecto más gratificante de nuestra consolidación es la claridad conceptual resultante.

La idea central del presente enfoque es que la teoría de grupos nos proporciona un marco flexible y económico para describir y clasificar los procesos físicos fundamentales. Apenas es necesario argumentar que este método es realmente importante en la física moderna, sin embargo, sus potencialidades aún están lejos de agotarse. Esto puede provenir de la tendencia a recurrir a la teoría de grupos solo para problemas difíciles cuando otros métodos fallan, o se vuelven demasiado engorrosos. En consecuencia, las discusiones tienden a ser complicadas y abstractas.

La característica distintiva del presente método es comenzar con problemas elementales, pero tratarlos desde un punto de vista avanzado, y conciliar la interpretación intuitiva con una transición suave a problemas más profundos. Al enfocarnos desde el principio en la teoría de grupos, podemos hacer pleno uso de su poder unificador.

Como se mencionó anteriormente, se trata de un informe sobre los trabajos en curso. Si bien nos limitaremos a problemas que caen dentro del alcance de la teoría “consolidada”, estaremos en condiciones de discutir algunos de los problemas conceptuales de la mecánica cuántica.