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# 3.3E: Ejercicios para Sección

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En los ejercicios 1 - 12, encuentra$$f'(x)$$ para cada función.

1)$$f(x)=x^7+10$$

2)$$f(x)=5x^3−x+1$$

Contestar
$$f'(x)=15x^2−1$$

3)$$f(x)=4x^2−7x$$

4)$$f(x)=8x^4+9x^2−1$$

Contestar
$$f'(x) = 32x^3+18x$$

5)$$f(x)=x^4+2x$$

6)$$f(x)=3x\left(18x^4+\dfrac{13}{x+1}\right)$$

Contestar
$$f'(x) = 270x^4+\dfrac{39}{(x+1)^2}$$

7)$$f(x)=(x+2)(2x^2−3)$$

8)$$f(x)=x^2\left(\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{5}{x^3}\right)$$

Contestar
$$f'(x) = \dfrac{−5}{x^2}$$

9)$$f(x)=\dfrac{x^3+2x^2−4}{3}$$

10)$$f(x)=\dfrac{4x^3−2x+1}{x^2}$$

Contestar
$$f'(x) = \dfrac{4x^4+2x^2−2x}{x^4}$$

11)$$f(x)=\dfrac{x^2+4}{x^2−4}$$

12)$$f(x)=\dfrac{x+9}{x^2−7x+1}$$

Contestar
$$f'(x) = \dfrac{−x^2−18x+64}{(x^2−7x+1)^2}$$

En los ejercicios 13 - 16, encuentra la ecuación de la línea tangente$$T(x)$$ a la gráfica de la función dada en el punto indicado. Utilice una calculadora gráfica para graficar la función y la línea tangente.

13) [T]$$y=3x^2+4x+1$$ en$$(0,1)$$

14) [T]$$y=2\sqrt{x}+1$$ en$$(4,5)$$

Contestar

$$T(x)=\frac{1}{2}x+3$$

15) [T]$$y=\dfrac{2x}{x−1}$$ a$$(−1,1)$$

16) [T]$$y=\dfrac{2}{x}−\dfrac{3}{x^2}$$ en$$(1,−1)$$

Contestar

$$T(x)=4x−5$$

En los ejercicios 17 - 20, asumir que$$f(x)$$ y$$g(x)$$ son ambas funciones diferenciables para todos$$x$$. Encuentra la derivada de cada una de las funciones$$h(x)$$.

17)$$h(x)=4f(x)+\dfrac{g(x)}{7}$$

18)$$h(x)=x^3f(x)$$

Contestar
$$h'(x)=3x^2f(x)+x^3f′(x)$$

19)$$h(x)=\dfrac{f(x)g(x)}{2}$$

20)$$h(x)=\dfrac{3f(x)}{g(x)+2}$$

Contestar
$$h'(x)=\dfrac{3f′(x)(g(x)+2)−3f(x)g′(x)}{(g(x)+2)^2}$$

Para los ejercicios 21 - 24, asumir que$$f(x)$$ y$$g(x)$$ son ambas funciones diferenciables con valores como se dan en la siguiente tabla. Utilice la siguiente tabla para calcular las siguientes derivadas.

 $$x$$ 1 2 3 4 $$f(x)$$ 3 5 −2 0 $$g(x)$$ 2 3 −4 6 $$f′(x)$$ −1 7 8 −3 $$g′(x)$$ 4 1 2 9

21) Encuentra$$h′(1)$$ si$$h(x)=x f(x)+4g(x)$$.

22) Encuentra$$h′(2)$$ si$$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$$.

Contestar
$$h'(2) =\frac{16}{9}$$

23) Encuentra$$h′(3)$$ si$$h(x)=2x+f(x)g(x)$$.

24) Encuentra$$h′(4)$$ si$$h(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{g(x)}{f(x)}$$.

Contestar
$$h'(4)$$está indefinido.

En los ejercicios 25 - 27, utilice la siguiente figura para encontrar las derivadas indicadas, si existen.

25) Vamos$$h(x)=f(x)+g(x)$$. Encuentra

a)$$h′(1)$$,

b)$$h′(3)$$, y

c)$$h′(4)$$.

26) Let$$h(x)=f(x)g(x).$$ Find

a)$$h′(1),$$

b)$$h′(3)$$, y

c)$$h′(4).$$

Contestar
a.$$h'(1) = 2$$,
b.$$h'(3)$$ no existe,
c.$$h'(4) = 2.5$$

27) Let$$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}.$$ Find

a)$$h′(1),$$

b)$$h′(3)$$, y

c)$$h′(4).$$

En los ejercicios 28 a 31,

a) evaluar$$f′(a)$$, y

b) graficar la función$$f(x)$$ y la línea tangente en$$x=a$$.

28) [T]$$f(x)=2x^3+3x−x^2, \quad a=2$$

Contestar

a. 23
b.$$y=23x−28$$

29) [T]$$f(x)=\dfrac{1}{x}−x^2, \quad a=1$$

30) [T]$$f(x)=x^2−x^{12}+3x+2, \quad a=0$$

Contestar

a.$$3$$
b.$$y=3x+2$$

31) [T]$$f(x)=\dfrac{1}{x}−x^{2/3}, \quad a=−1$$

32) Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de$$f(x)=2x^3+4x^2−5x−3$$ at$$x=−1.$$

Contestar
$$y=−7x−3$$

33) Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de$$f(x)=x^2+\dfrac{4}{x}−10$$ at$$x=8$$.

34) Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de$$f(x)=(3x−x^2)(3−x−x^2)$$ at$$x=1$$.

Contestar
$$y=−5x+7$$

35) Encuentra el punto en la gráfica de$$f(x)=x^3$$ tal manera que la línea tangente en ese punto tenga una$$x$$ -intercepción de$$(6,0)$$.

36) Encuentra la ecuación de la línea que pasa por el punto$$P(3,3)$$ y tangente a la gráfica de$$f(x)=\dfrac{6}{x−1}$$.

Contestar
$$y=−\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}$$

37) Determinar todos los puntos de la gráfica$$f(x)=x^3+x^2−x−1$$ para los cuales se encuentra la pendiente de la línea tangente

a. horizontal

b. −1.

38) Encontrar un polinomio cuadrático tal que$$f(1)=5,\; f′(1)=3$$ y$$f''(1)=−6.$$

Contestar
$$y=−3x^2+9x−1$$

39) Un automóvil que circula por una autopista con tráfico ha recorrido$$s(t)=t^3−6t^2+9t$$ metros en$$t$$ segundos.

a. Determinar el tiempo en segundos cuando la velocidad del carro es 0.

b. Determinar la aceleración del carro cuando la velocidad es 0.

40) [T] Un arenque nadando a lo largo de una línea recta ha recorrido$$s(t)=\dfrac{t^2}{t^2+2}$$ pies en$$t$$

segundos. Determinar la velocidad del arenque cuando haya recorrido 3 segundos.

Contestar
$$\frac{12}{121}$$o 0.0992 pies/s

41) La población en millones de platija ártica en el Océano Atlántico está modelada por la función$$P(t)=\dfrac{8t+3}{0.2t^2+1}$$, donde$$t$$ se mide en años.

a. Determinar la población inicial de lenguado.

b. Determinar$$P′(10)$$ e interpretar brevemente el resultado.

42) [T] La concentración de antibiótico en el torrente sanguíneo$$t$$ horas después de ser inyectado viene dada por la función$$C(t)=\dfrac{2t^2+t}{t^3+50}$$, donde$$C$$ se mide en miligramos por litro de sangre.

a. Encuentre la tasa de cambio de$$C(t).$$

b. Determinar la tasa de cambio para$$t=8,12,24$$, y$$36$$.

c. Describa brevemente lo que parece estar ocurriendo a medida que aumenta el número de horas.

Contestar
a.$$\dfrac{−2t^4−2t^3+200t+50}{(t^3+50)^2}$$
b.$$−0.02395$$ Mg/l-hr,$$−0.01344$$ mg/l-hr,$$−0.003566$$ mg/l-hr,$$−0.001579$$ mg/l-hr
c. La velocidad a la que disminuye la concentración de fármaco en el torrente sanguíneo se está desacelerando a 0 a medida que aumenta el tiempo.

43) Un editor de libros tiene una función de costo dada por$$C(x)=\dfrac{x^3+2x+3}{x^2}$$, donde$$x$$ es el número de copias de un libro en miles y$$C$$ es el costo, por libro, medido en dólares. Evaluar$$C′(2)$$ y explicar su significado.

44) [T] Según la ley de Newton de gravitación universal, la fuerza$$F$$ entre dos cuerpos de masa constante$$m_1$$ y$$m_2$$ viene dada por la fórmula$$F=\dfrac{Gm_1m_2}{d^2}$$, donde$$G$$ es la constante gravitacional y$$d$$ es la distancia entre los cuerpos.

a. Supongamos que$$G,m_1,$$ y$$m_2$$ son constantes. Encuentra la tasa de cambio de fuerza$$F$$ con respecto a la distancia$$d$$.

b. encontrar la tasa de cambio de fuerza$$F$$ con constante gravitacional$$G=6.67×10^{−11} \text{Nm}^2/\text{kg}^2$$, en dos cuerpos separados a 10 metros, cada uno con una masa de 1000 kilogramos.

Contestar
a.$$F'(d)=\dfrac{−2Gm_1m_2}{d_3}$$
b.$$−1.33×10^{−7}$$ N/m

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