3.3E: Ejercicios para Sección

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

En los ejercicios 1 - 12, encuentra$f'(x)$ para cada función.

1)$f(x)=x^7+10$

2)$f(x)=5x^3−x+1$

Contestar: $f'(x)=15x^2−1$

3)$f(x)=4x^2−7x$

4)$f(x)=8x^4+9x^2−1$

Contestar: $f'(x) = 32x^3+18x$

5)$f(x)=x^4+2x$

6)$f(x)=3x\left(18x^4+\dfrac{13}{x+1}\right)$

Contestar: $f'(x) = 270x^4+\dfrac{39}{(x+1)^2}$

7)$f(x)=(x+2)(2x^2−3)$

8)$f(x)=x^2\left(\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{5}{x^3}\right)$

Contestar: $f'(x) = \dfrac{−5}{x^2}$

9)$f(x)=\dfrac{x^3+2x^2−4}{3}$

10)$f(x)=\dfrac{4x^3−2x+1}{x^2}$

Contestar: $f'(x) = \dfrac{4x^4+2x^2−2x}{x^4}$

11)$f(x)=\dfrac{x^2+4}{x^2−4}$

12)$f(x)=\dfrac{x+9}{x^2−7x+1}$

Contestar: $f'(x) = \dfrac{−x^2−18x+64}{(x^2−7x+1)^2}$

En los ejercicios 13 - 16, encuentra la ecuación de la línea tangente$T(x)$ a la gráfica de la función dada en el punto indicado. Utilice una calculadora gráfica para graficar la función y la línea tangente.

13) [T]$y=3x^2+4x+1$ en$(0,1)$

14) [T]$y=2\sqrt{x}+1$ en$(4,5)$

Contestar

$T(x)=\frac{1}{2}x+3$

$Esta gráfica tiene una línea recta con intercepción y cerca de 0 y pendiente ligeramente inferior a 3.$

15) [T]$y=\dfrac{2x}{x−1}$ a$(−1,1)$

16) [T]$y=\dfrac{2}{x}−\dfrac{3}{x^2}$ en$(1,−1)$

Contestar

$T(x)=4x−5$

$La gráfica y es una dos lunas con la media luna en el tercer cuadrante inclinada suavemente de (−3, −1) a (−1, −5) y la otra media luna inclinada más bruscamente de (0.8, −5) a (3, 0.2). La línea recta T (x) se dibuja a través de (0, −5) con pendiente 4.$

En los ejercicios 17 - 20, asumir que$f(x)$ y$g(x)$ son ambas funciones diferenciables para todos$x$. Encuentra la derivada de cada una de las funciones$h(x)$.

17)$h(x)=4f(x)+\dfrac{g(x)}{7}$

18)$h(x)=x^3f(x)$

Contestar: $h'(x)=3x^2f(x)+x^3f′(x)$

19)$h(x)=\dfrac{f(x)g(x)}{2}$

20)$h(x)=\dfrac{3f(x)}{g(x)+2}$

Contestar: $h'(x)=\dfrac{3f′(x)(g(x)+2)−3f(x)g′(x)}{(g(x)+2)^2}$

Para los ejercicios 21 - 24, asumir que$f(x)$ y$g(x)$ son ambas funciones diferenciables con valores como se dan en la siguiente tabla. Utilice la siguiente tabla para calcular las siguientes derivadas.

$x$	1	2	3	4
$f(x)$	3	5	−2	0
$g(x)$	2	3	−4	6
$f′(x)$	−1	7	8	−3
$g′(x)$	4	1	2	9

21) Encuentra$h′(1)$ si$h(x)=x f(x)+4g(x)$.

22) Encuentra$h′(2)$ si$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$.

Contestar: $h'(2) =\frac{16}{9}$

23) Encuentra$h′(3)$ si$h(x)=2x+f(x)g(x)$.

24) Encuentra$h′(4)$ si$h(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{g(x)}{f(x)}$.

Contestar: $h'(4)$está indefinido.

En los ejercicios 25 - 27, utilice la siguiente figura para encontrar las derivadas indicadas, si existen.

$Se grafican dos funciones: f (x) y g (x). La función f (x) comienza en (−1, 5) y disminuye linealmente a (3, 1) momento en el que aumenta linealmente a (5, 3). La función g (x) comienza en el origen, aumenta linealmente a (2.5, 2.5), y luego permanece constante en y = 2.5.$

25) Vamos$h(x)=f(x)+g(x)$. Encuentra

a)$h′(1)$,

b)$h′(3)$, y

c)$h′(4)$.

26) Let$h(x)=f(x)g(x).$ Find

a)$h′(1),$

b)$h′(3)$, y

c)$h′(4).$

Contestar: a.$h'(1) = 2$,
b.$h'(3)$ no existe,
c.$h'(4) = 2.5$

27) Let$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}.$ Find

a)$h′(1),$

b)$h′(3)$, y

c)$h′(4).$

En los ejercicios 28 a 31,

a) evaluar$f′(a)$, y

b) graficar la función$f(x)$ y la línea tangente en$x=a$.

28) [T]$f(x)=2x^3+3x−x^2, \quad a=2$

Contestar

a. 23
b.$y=23x−28$

$La gráfica es una función cúbica ligeramente deformada que pasa por el origen. La línea tangente se dibuja a través de (0, −28) con pendiente 23.$

29) [T]$f(x)=\dfrac{1}{x}−x^2, \quad a=1$

30) [T]$f(x)=x^2−x^{12}+3x+2, \quad a=0$

Contestar

a.$3$
b.$y=3x+2$

$La gráfica comienza en el tercer cuadrante, aumenta rápidamente y pasa por el eje x cerca de −0.9, luego aumenta a menor velocidad, pasa a través de (0, 2), aumenta a (1, 5), y luego disminuye rápidamente y pasa por el eje x cerca de 1.2.$

31) [T]$f(x)=\dfrac{1}{x}−x^{2/3}, \quad a=−1$

32) Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de$f(x)=2x^3+4x^2−5x−3$ at$x=−1.$

Contestar: $y=−7x−3$

33) Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de$f(x)=x^2+\dfrac{4}{x}−10$ at$x=8$.

34) Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de$f(x)=(3x−x^2)(3−x−x^2)$ at$x=1$.

Contestar: $y=−5x+7$

35) Encuentra el punto en la gráfica de$f(x)=x^3$ tal manera que la línea tangente en ese punto tenga una$x$ -intercepción de$(6,0)$.

36) Encuentra la ecuación de la línea que pasa por el punto$P(3,3)$ y tangente a la gráfica de$f(x)=\dfrac{6}{x−1}$.

Contestar: $y=−\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}$

37) Determinar todos los puntos de la gráfica$f(x)=x^3+x^2−x−1$ para los cuales se encuentra la pendiente de la línea tangente

a. horizontal

b. −1.

38) Encontrar un polinomio cuadrático tal que$f(1)=5,\; f′(1)=3$ y$f''(1)=−6.$

Contestar: $y=−3x^2+9x−1$

39) Un automóvil que circula por una autopista con tráfico ha recorrido$s(t)=t^3−6t^2+9t$ metros en$t$ segundos.

a. Determinar el tiempo en segundos cuando la velocidad del carro es 0.

b. Determinar la aceleración del carro cuando la velocidad es 0.

40) [T] Un arenque nadando a lo largo de una línea recta ha recorrido$s(t)=\dfrac{t^2}{t^2+2}$ pies en$t$

segundos. Determinar la velocidad del arenque cuando haya recorrido 3 segundos.

Contestar: $\frac{12}{121}$o 0.0992 pies/s

41) La población en millones de platija ártica en el Océano Atlántico está modelada por la función$P(t)=\dfrac{8t+3}{0.2t^2+1}$, donde$t$ se mide en años.

a. Determinar la población inicial de lenguado.

b. Determinar$P′(10)$ e interpretar brevemente el resultado.

42) [T] La concentración de antibiótico en el torrente sanguíneo$t$ horas después de ser inyectado viene dada por la función$C(t)=\dfrac{2t^2+t}{t^3+50}$, donde$C$ se mide en miligramos por litro de sangre.

a. Encuentre la tasa de cambio de$C(t).$

b. Determinar la tasa de cambio para$t=8,12,24$, y$36$.

c. Describa brevemente lo que parece estar ocurriendo a medida que aumenta el número de horas.

Contestar: a.$\dfrac{−2t^4−2t^3+200t+50}{(t^3+50)^2}$
b.$−0.02395$ Mg/l-hr,$−0.01344$ mg/l-hr,$−0.003566$ mg/l-hr,$−0.001579$ mg/l-hr
c. La velocidad a la que disminuye la concentración de fármaco en el torrente sanguíneo se está desacelerando a 0 a medida que aumenta el tiempo.

43) Un editor de libros tiene una función de costo dada por$C(x)=\dfrac{x^3+2x+3}{x^2}$, donde$x$ es el número de copias de un libro en miles y$C$ es el costo, por libro, medido en dólares. Evaluar$C′(2)$ y explicar su significado.

44) [T] Según la ley de Newton de gravitación universal, la fuerza$F$ entre dos cuerpos de masa constante$m_1$ y$m_2$ viene dada por la fórmula$F=\dfrac{Gm_1m_2}{d^2}$, donde$G$ es la constante gravitacional y$d$ es la distancia entre los cuerpos.

a. Supongamos que$G,m_1,$ y$m_2$ son constantes. Encuentra la tasa de cambio de fuerza$F$ con respecto a la distancia$d$.

b. encontrar la tasa de cambio de fuerza$F$ con constante gravitacional$G=6.67×10^{−11} \text{Nm}^2/\text{kg}^2$, en dos cuerpos separados a 10 metros, cada uno con una masa de 1000 kilogramos.

Contestar: a.$F'(d)=\dfrac{−2Gm_1m_2}{d_3}$
b.$−1.33×10^{−7}$ N/m

\(x\)	1	2	3	4
\(f(x)\)	3	5	−2	0
\(g(x)\)	2	3	−4	6
\(f′(x)\)	−1	7	8	−3
\(g′(x)\)	4	1	2	9