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LibreTexts Español

3.3E: Ejercicios para Sección

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

En los ejercicios 1 - 12, encuentraf(x) para cada función.

1)f(x)=x7+10

2)f(x)=5x3x+1

Contestar
f(x)=15x21

3)f(x)=4x27x

4)f(x)=8x4+9x21

Contestar
f(x)=32x3+18x

5)f(x)=x4+2x

6)f(x)=3x(18x4+13x+1)

Contestar
f(x)=270x4+39(x+1)2

7)f(x)=(x+2)(2x23)

8)f(x)=x2(2x2+5x3)

Contestar
f(x)=5x2

9)f(x)=x3+2x243

10)f(x)=4x32x+1x2

Contestar
f(x)=4x4+2x22xx4

11)f(x)=x2+4x24

12)f(x)=x+9x27x+1

Contestar
f(x)=x218x+64(x27x+1)2

En los ejercicios 13 - 16, encuentra la ecuación de la línea tangenteT(x) a la gráfica de la función dada en el punto indicado. Utilice una calculadora gráfica para graficar la función y la línea tangente.

13) [T]y=3x2+4x+1 en(0,1)

14) [T]y=2x+1 en(4,5)

Contestar

T(x)=12x+3

Esta gráfica tiene una línea recta con intercepción y cerca de 0 y pendiente ligeramente inferior a 3.

15) [T]y=2xx1 a(1,1)

16) [T]y=2x3x2 en(1,1)

Contestar

T(x)=4x5

La gráfica y es una dos lunas con la media luna en el tercer cuadrante inclinada suavemente de (−3, −1) a (−1, −5) y la otra media luna inclinada más bruscamente de (0.8, −5) a (3, 0.2). La línea recta T (x) se dibuja a través de (0, −5) con pendiente 4.

En los ejercicios 17 - 20, asumir quef(x) yg(x) son ambas funciones diferenciables para todosx. Encuentra la derivada de cada una de las funcionesh(x).

17)h(x)=4f(x)+g(x)7

18)h(x)=x3f(x)

Contestar
h(x)=3x2f(x)+x3f(x)

19)h(x)=f(x)g(x)2

20)h(x)=3f(x)g(x)+2

Contestar
h(x)=3f(x)(g(x)+2)3f(x)g(x)(g(x)+2)2

Para los ejercicios 21 - 24, asumir quef(x) yg(x) son ambas funciones diferenciables con valores como se dan en la siguiente tabla. Utilice la siguiente tabla para calcular las siguientes derivadas.

x 1 2 3 4
f(x) 3 5 −2 0
g(x) 2 3 −4 6
f(x) −1 7 8 −3
g(x) 4 1 2 9

21) Encuentrah(1) sih(x)=xf(x)+4g(x).

22) Encuentrah(2) sih(x)=f(x)g(x).

Contestar
h(2)=169

23) Encuentrah(3) sih(x)=2x+f(x)g(x).

24) Encuentrah(4) sih(x)=1x+g(x)f(x).

Contestar
h(4)está indefinido.

En los ejercicios 25 - 27, utilice la siguiente figura para encontrar las derivadas indicadas, si existen.

Se grafican dos funciones: f (x) y g (x). La función f (x) comienza en (−1, 5) y disminuye linealmente a (3, 1) momento en el que aumenta linealmente a (5, 3). La función g (x) comienza en el origen, aumenta linealmente a (2.5, 2.5), y luego permanece constante en y = 2.5.

25) Vamosh(x)=f(x)+g(x). Encuentra

a)h(1),

b)h(3), y

c)h(4).

26) Leth(x)=f(x)g(x). Find

a)h(1),

b)h(3), y

c)h(4).

Contestar
a.h(1)=2,
b.h(3) no existe,
c.h(4)=2.5

27) Leth(x)=f(x)g(x). Find

a)h(1),

b)h(3), y

c)h(4).

En los ejercicios 28 a 31,

a) evaluarf(a), y

b) graficar la funciónf(x) y la línea tangente enx=a.

28) [T]f(x)=2x3+3xx2,a=2

Contestar

a. 23
b.y=23x28

La gráfica es una función cúbica ligeramente deformada que pasa por el origen. La línea tangente se dibuja a través de (0, −28) con pendiente 23.

29) [T]f(x)=1xx2,a=1

30) [T]f(x)=x2x12+3x+2,a=0

Contestar

a.3
b.y=3x+2

La gráfica comienza en el tercer cuadrante, aumenta rápidamente y pasa por el eje x cerca de −0.9, luego aumenta a menor velocidad, pasa a través de (0, 2), aumenta a (1, 5), y luego disminuye rápidamente y pasa por el eje x cerca de 1.2.

31) [T]f(x)=1xx2/3,a=1

32) Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica def(x)=2x3+4x25x3 atx=1.

Contestar
y=7x3

33) Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica def(x)=x2+4x10 atx=8.

34) Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica def(x)=(3xx2)(3xx2) atx=1.

Contestar
y=5x+7

35) Encuentra el punto en la gráfica def(x)=x3 tal manera que la línea tangente en ese punto tenga unax -intercepción de(6,0).

36) Encuentra la ecuación de la línea que pasa por el puntoP(3,3) y tangente a la gráfica def(x)=6x1.

Contestar
y=32x+152

37) Determinar todos los puntos de la gráficaf(x)=x3+x2x1 para los cuales se encuentra la pendiente de la línea tangente

a. horizontal

b. −1.

38) Encontrar un polinomio cuadrático tal quef(1)=5,f(1)=3 yf

Contestar
y=−3x^2+9x−1

39) Un automóvil que circula por una autopista con tráfico ha recorridos(t)=t^3−6t^2+9t metros ent segundos.

a. Determinar el tiempo en segundos cuando la velocidad del carro es 0.

b. Determinar la aceleración del carro cuando la velocidad es 0.

40) [T] Un arenque nadando a lo largo de una línea recta ha recorridos(t)=\dfrac{t^2}{t^2+2} pies ent

segundos. Determinar la velocidad del arenque cuando haya recorrido 3 segundos.

Contestar
\frac{12}{121}o 0.0992 pies/s

41) La población en millones de platija ártica en el Océano Atlántico está modelada por la funciónP(t)=\dfrac{8t+3}{0.2t^2+1}, dondet se mide en años.

a. Determinar la población inicial de lenguado.

b. DeterminarP′(10) e interpretar brevemente el resultado.

42) [T] La concentración de antibiótico en el torrente sanguíneot horas después de ser inyectado viene dada por la funciónC(t)=\dfrac{2t^2+t}{t^3+50}, dondeC se mide en miligramos por litro de sangre.

a. Encuentre la tasa de cambio deC(t).

b. Determinar la tasa de cambio parat=8,12,24, y36.

c. Describa brevemente lo que parece estar ocurriendo a medida que aumenta el número de horas.

Contestar
a.\dfrac{−2t^4−2t^3+200t+50}{(t^3+50)^2}
b.−0.02395 Mg/l-hr,−0.01344 mg/l-hr,−0.003566 mg/l-hr,−0.001579 mg/l-hr
c. La velocidad a la que disminuye la concentración de fármaco en el torrente sanguíneo se está desacelerando a 0 a medida que aumenta el tiempo.

43) Un editor de libros tiene una función de costo dada porC(x)=\dfrac{x^3+2x+3}{x^2}, dondex es el número de copias de un libro en miles yC es el costo, por libro, medido en dólares. EvaluarC′(2) y explicar su significado.

44) [T] Según la ley de Newton de gravitación universal, la fuerzaF entre dos cuerpos de masa constantem_1 ym_2 viene dada por la fórmulaF=\dfrac{Gm_1m_2}{d^2}, dondeG es la constante gravitacional yd es la distancia entre los cuerpos.

a. Supongamos queG,m_1, ym_2 son constantes. Encuentra la tasa de cambio de fuerzaF con respecto a la distanciad.

b. encontrar la tasa de cambio de fuerzaF con constante gravitacionalG=6.67×10^{−11} \text{Nm}^2/\text{kg}^2, en dos cuerpos separados a 10 metros, cada uno con una masa de 1000 kilogramos.

Contestar
a.F'(d)=\dfrac{−2Gm_1m_2}{d_3}
b.−1.33×10^{−7} N/m

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