3.3E: Ejercicios para Sección
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
En los ejercicios 1 - 12, encuentraf′(x) para cada función.
1)f(x)=x7+10
2)f(x)=5x3−x+1
- Contestar
- f′(x)=15x2−1
3)f(x)=4x2−7x
4)f(x)=8x4+9x2−1
- Contestar
- f′(x)=32x3+18x
5)f(x)=x4+2x
6)f(x)=3x(18x4+13x+1)
- Contestar
- f′(x)=270x4+39(x+1)2
7)f(x)=(x+2)(2x2−3)
8)f(x)=x2(2x2+5x3)
- Contestar
- f′(x)=−5x2
9)f(x)=x3+2x2−43
10)f(x)=4x3−2x+1x2
- Contestar
- f′(x)=4x4+2x2−2xx4
11)f(x)=x2+4x2−4
12)f(x)=x+9x2−7x+1
- Contestar
- f′(x)=−x2−18x+64(x2−7x+1)2
En los ejercicios 13 - 16, encuentra la ecuación de la línea tangenteT(x) a la gráfica de la función dada en el punto indicado. Utilice una calculadora gráfica para graficar la función y la línea tangente.
13) [T]y=3x2+4x+1 en(0,1)
14) [T]y=2√x+1 en(4,5)
- Contestar
-
T(x)=12x+3
15) [T]y=2xx−1 a(−1,1)
16) [T]y=2x−3x2 en(1,−1)
- Contestar
-
T(x)=4x−5
En los ejercicios 17 - 20, asumir quef(x) yg(x) son ambas funciones diferenciables para todosx. Encuentra la derivada de cada una de las funcionesh(x).
17)h(x)=4f(x)+g(x)7
18)h(x)=x3f(x)
- Contestar
- h′(x)=3x2f(x)+x3f′(x)
19)h(x)=f(x)g(x)2
20)h(x)=3f(x)g(x)+2
- Contestar
- h′(x)=3f′(x)(g(x)+2)−3f(x)g′(x)(g(x)+2)2
Para los ejercicios 21 - 24, asumir quef(x) yg(x) son ambas funciones diferenciables con valores como se dan en la siguiente tabla. Utilice la siguiente tabla para calcular las siguientes derivadas.
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 3 | 5 | −2 | 0 |
g(x) | 2 | 3 | −4 | 6 |
f′(x) | −1 | 7 | 8 | −3 |
g′(x) | 4 | 1 | 2 | 9 |
21) Encuentrah′(1) sih(x)=xf(x)+4g(x).
22) Encuentrah′(2) sih(x)=f(x)g(x).
- Contestar
- h′(2)=169
23) Encuentrah′(3) sih(x)=2x+f(x)g(x).
24) Encuentrah′(4) sih(x)=1x+g(x)f(x).
- Contestar
- h′(4)está indefinido.
En los ejercicios 25 - 27, utilice la siguiente figura para encontrar las derivadas indicadas, si existen.
25) Vamosh(x)=f(x)+g(x). Encuentra
a)h′(1),
b)h′(3), y
c)h′(4).
26) Leth(x)=f(x)g(x). Find
a)h′(1),
b)h′(3), y
c)h′(4).
- Contestar
- a.h′(1)=2,
b.h′(3) no existe,
c.h′(4)=2.5
27) Leth(x)=f(x)g(x). Find
a)h′(1),
b)h′(3), y
c)h′(4).
En los ejercicios 28 a 31,
a) evaluarf′(a), y
b) graficar la funciónf(x) y la línea tangente enx=a.
28) [T]f(x)=2x3+3x−x2,a=2
- Contestar
-
a. 23
b.y=23x−28
29) [T]f(x)=1x−x2,a=1
30) [T]f(x)=x2−x12+3x+2,a=0
- Contestar
-
a.3
b.y=3x+2
31) [T]f(x)=1x−x2/3,a=−1
32) Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica def(x)=2x3+4x2−5x−3 atx=−1.
- Contestar
- y=−7x−3
33) Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica def(x)=x2+4x−10 atx=8.
34) Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica def(x)=(3x−x2)(3−x−x2) atx=1.
- Contestar
- y=−5x+7
35) Encuentra el punto en la gráfica def(x)=x3 tal manera que la línea tangente en ese punto tenga unax -intercepción de(6,0).
36) Encuentra la ecuación de la línea que pasa por el puntoP(3,3) y tangente a la gráfica def(x)=6x−1.
- Contestar
- y=−32x+152
37) Determinar todos los puntos de la gráficaf(x)=x3+x2−x−1 para los cuales se encuentra la pendiente de la línea tangente
a. horizontal
b. −1.
38) Encontrar un polinomio cuadrático tal quef(1)=5,f′(1)=3 yf″
- Contestar
- y=−3x^2+9x−1
39) Un automóvil que circula por una autopista con tráfico ha recorridos(t)=t^3−6t^2+9t metros ent segundos.
a. Determinar el tiempo en segundos cuando la velocidad del carro es 0.
b. Determinar la aceleración del carro cuando la velocidad es 0.
40) [T] Un arenque nadando a lo largo de una línea recta ha recorridos(t)=\dfrac{t^2}{t^2+2} pies ent
segundos. Determinar la velocidad del arenque cuando haya recorrido 3 segundos.
- Contestar
- \frac{12}{121}o 0.0992 pies/s
41) La población en millones de platija ártica en el Océano Atlántico está modelada por la funciónP(t)=\dfrac{8t+3}{0.2t^2+1}, dondet se mide en años.
a. Determinar la población inicial de lenguado.
b. DeterminarP′(10) e interpretar brevemente el resultado.
42) [T] La concentración de antibiótico en el torrente sanguíneot horas después de ser inyectado viene dada por la funciónC(t)=\dfrac{2t^2+t}{t^3+50}, dondeC se mide en miligramos por litro de sangre.
a. Encuentre la tasa de cambio deC(t).
b. Determinar la tasa de cambio parat=8,12,24, y36.
c. Describa brevemente lo que parece estar ocurriendo a medida que aumenta el número de horas.
- Contestar
- a.\dfrac{−2t^4−2t^3+200t+50}{(t^3+50)^2}
b.−0.02395 Mg/l-hr,−0.01344 mg/l-hr,−0.003566 mg/l-hr,−0.001579 mg/l-hr
c. La velocidad a la que disminuye la concentración de fármaco en el torrente sanguíneo se está desacelerando a 0 a medida que aumenta el tiempo.
43) Un editor de libros tiene una función de costo dada porC(x)=\dfrac{x^3+2x+3}{x^2}, dondex es el número de copias de un libro en miles yC es el costo, por libro, medido en dólares. EvaluarC′(2) y explicar su significado.
44) [T] Según la ley de Newton de gravitación universal, la fuerzaF entre dos cuerpos de masa constantem_1 ym_2 viene dada por la fórmulaF=\dfrac{Gm_1m_2}{d^2}, dondeG es la constante gravitacional yd es la distancia entre los cuerpos.
a. Supongamos queG,m_1, ym_2 son constantes. Encuentra la tasa de cambio de fuerzaF con respecto a la distanciad.
b. encontrar la tasa de cambio de fuerzaF con constante gravitacionalG=6.67×10^{−11} \text{Nm}^2/\text{kg}^2, en dos cuerpos separados a 10 metros, cada uno con una masa de 1000 kilogramos.
- Contestar
- a.F'(d)=\dfrac{−2Gm_1m_2}{d_3}
b.−1.33×10^{−7} N/m