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5.3: Solución Exponencial

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    Para pensar en esto matemáticamente, primero puso s a cero, lo que significa que no hay dependencia de densidad. La ecuación diferencial entonces se reduce a dN/ dt = r, y si reemplazas s en la ecuación anterior con 0 obtienes esto:

    \[N(t)\,=\frac{1}{(\frac{0}{r}\,+\frac{1}{N_0})\,e^{-rt}\,-\frac{0}{r}}\]

    \[\,=\frac{1}{\frac{1}{N_0}\,e^{-rt}\,}\]

    \[\,=\,N_0e^{rt}\]

    Una medida frecuentemente utilizada para el crecimiento exponencial, y que aplicaremos más adelante en este libro, es “duplicar el tiempo” —el tiempo que debe transcurrir para que la población se duplique. Para el crecimiento exponencial, esto siempre es lo mismo, no importa cuán grande o pequeña sea la población. Para el crecimiento exponencial, la ecuación anterior es

    \[N(t)\,=\,N_0\,e^{rt}\]

    N 0 es la población inicial en el tiempo 0, N (t) es la población en cualquier momento t, y r es la tasa de crecimiento constante, la “tasa intrínseca de aumento natural”. ¿Cuánto tiempo, τ, pasará antes de que la población se duplique? En algún momento t, la población será N (t), y en el momento posterior t + τ, la población será N (t + τ). La pregunta a responder es esta: ¿para qué τ será 2 la proporción de esas dos poblaciones?

    \[\frac{N(t\,+\,τ)}{N(t)}\,=\,2\]

    Sustituir el lado derecho de la ecuación de crecimiento exponencial da

    \[\frac{N_0\,e^{r\,(t\,+\,τ)}}{N_0\,e^{rt}}\,=\,2\]

    El factor N0 se cancela, y tomar logaritmos naturales de ambos lados da

    \[\ln \frac{e^{r(t\,+\,τ)}}{e^{rt}}\,=\,\ln \,2\]

    Dado que el log de una relación es la diferencia de los registros, esto rinde

    \[\\ln \,e^{r(t\,+\,τ)}\,-\,\ln \,e^{rt}\,=\,\ln \,2\]

    Dado que logaritmos y exponenciales son procesos inversos, cada uno deshace al otro, el logaritmo natural de e x es simplemente x. Eso da

    \[r(t\,+\,τ)\,-\,rt\,=\,\ln \,2\]

    \[r\,τ\,=\,\ln \,2\]

    y finalmente, el tiempo de duplicación τ es

    \[τ\,=\frac{\ln \,2}{r}\]

    Es decir, el tiempo de duplicación para el crecimiento exponencial, donde r es positivo y s es 0, es solo el logaritmo natural de 2 (0.69314718...) dividido por la tasa de crecimiento r.


    This page titled 5.3: Solución Exponencial is shared under a CC BY-NC 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Clarence Lehman, Shelby Loberg, & Adam Clark (University of Minnesota Libraries Publishing) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.