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11.1: Espacios estatales

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    Estrechamente relacionados con los “espacios de fase” están los “espacios estatales”. Mientras que los espacios de fase se utilizan típicamente con sistemas continuos, descritos por ecuaciones diferenciales, los espacios de estado se utilizan con sistemas discretos de tiempo, descritos por ecuaciones de diferencia. Aquí el sistema natural se aproxima por saltos de un estado a otro, como se describe en el Capítulo 7, más que por transiciones suaves. Si bien los dos tipos de espacios son similares, difieren en formas importantes.

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    Figura\(\PageIndex{1}\). Un ecosistema de pradera que establece semillas en colores otoñales: Bluebird Prairie, Medio Oeste Superior de Estados Unidos. Si no se queman, pastan o se siegan, los pastizales pueden dejar una gruesa capa de hojarasca que inhibe el crecimiento del próximo año.

    Inspirado por las complejidades de la ecología, y desencadenado en parte por el bombardeo periódico de Robert May de 1976, un ejército de matemáticos trabajó durante el último cuarto del siglo XX para comprender estas complejidades, centrándose en los sistemas de tiempo discreto y los espacios estatales. Un espacio de estado infinitamente interesante es la ecuación logística retardada (Aronson et al. 1982), una consecuencia de la ecuación logística de tiempo discreto descrita en el Capítulo 7.

    Para una interpretación biológica de la ecuación logística retardada, examinemos el ejemplo de biomasa de pastizales vivos junto con la hojarasca del año pasado. La biomasa del próximo año (N t+1) está positivamente relacionada con la biomasa este año (N t), pero negativamente relacionada con la biomasa del año anterior (N t−1). Cuanta más biomasa haya en el año anterior, más camada este año y mayor será el sombreado inhibitorio del crecimiento del próximo año. La aproximación más simple aquí es que toda la biomasa se convierte en hojarasca, una porción fija de la hojarasca se descompone cada año y la inhibición de la hojarasca es lineal. Esto no es perfectamente realista, pero tiene las propiedades esenciales para un ejemplo. Los datos y modelos de campo han registrado este tipo de inhibición (Tilman y Wedin, Nature 1991).

    programa 11.3.JPG

    Programa\(\PageIndex{1}\). Un programa para calcular puntos sucesivos en el espacio de estados de la ecuación logística retardada.

    La ecuación básica tiene N 1 como biomasa viva y N 2 como hojarasca acumulada. N 1 y N 2 no son, por lo tanto, dos especies diferentes, sino dos clases de edad diferentes de una sola especie.

    \(N_1\,(t\,+\,1)\,=\,rN_1(t)\,(1\,-\,N_2(t))\)

    \(N_2\,(t\,+\,1)\,=\,N_1\,(t)\,+\,pN_2\,(t)\)

    Lo anterior es una forma común de escribir ecuaciones de diferencia, pero restando N i de cada lado, dividiendo por N i, y haciendo p = 0 por simplicidad da la forma estándar que hemos estado usando.

    \(\frac{1}{N_1}\frac{∆N_1}{∆t}\,=\,(r\,-\,1)\,-\,rN_2\,=\,r_1\,+\,s_{1,2}N_2\)

    \(\frac{1}{N_2}\frac{∆N_2}{∆t}\,=\,-1\,+\frac{1}{N_2}\,N_1\,=\,r_2\,+\,s_{2,1}N_1\)

    Observe algo nuevo. Uno de los coeficientes, s 2,1, no es una constante en absoluto, sino el recíproco de una variable dinámica. Verás de nuevo este tipo de cosas al final del capítulo depredador—presa, y de hecho es un resultado bastante normal al mezclar funciones (Capítulo 18) para lograr una forma general de Kolomogorov. Entonces la ecuación logística retardada es la siguiente:

    \(\frac{1}{N_1}\frac{∆N_1}{∆t}\,=\,r_1\,+\,s_{1,2}N_2\)

    \(\frac{1}{N_2}\frac{∆N_2}{∆t}\,=\,r_2\,+\,s_{2,1}N_1\)

    donde r 1 = r −1, r 2 = −1, s 1,2 = − r y s 2,1 = 1/ N 1. Observe también que r i con un subíndice es diferente de r sin subíndice.

    1.JPG logístico
    Figura\(\PageIndex{2}\). Espacio de fase logística retrasada con r =1.9, en espiral hacia adentro hacia un equilibrio.

    Para valores pequeños de r, biomasa y camada cabeza a un equilibrio, como en la trayectoria en espiral de la Figura\(\PageIndex{2}\). Aquí el sistema inicia en el signo más, en el tiempo t = 0, con biomasa viva N 1 =0.5 y biomasa de hojarasca N 2 =0.1. Al año siguiente, en el tiempo t =1, la biomasa viva aumenta a N 1 =0.85 y la camada a N 2 = 0.5. Al tercer año, t = 2, la biomasa viva se inhibe ligeramente a N 1 = 0.81 y la hojarasca se acumula hasta N 2 = 0.85. A continuación, bajo una capa de hojarasca pesada, la biomasa cae bruscamente a N 1 =0.22, y así sucesivamente sobre el ciclo. El equilibrio se llama “atractor” porque las poblaciones son atraídas hacia él.

    2.JPG logístico
    Figura\(\PageIndex{3}\). Espacio de fase logística retrasada con r=2.03, en espiral hacia un ciclo límite estable, con el punto de equilibrio para r=1.9 mostrado como punto.

    Para valores mayores de r, el equilibrio pierde su estabilidad y los dos valores de biomasa, nuevo crecimiento y hojarasca vieja, oscilan permanentemente alrededor del espacio estatal, como en la trayectoria en espiral de la Figura\(\PageIndex{3}\). El camino más interno es un atractor llamado “ciclo límite”. Las poblaciones que comienzan fuera de ella espiral hacia adentro, y las poblaciones que comienzan dentro de ella espiran hacia afuera, excepto las poblaciones equilibradas precariamente exactamente en el punto de equilibrio inestable mismo.

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    Figura\(\PageIndex{4}\). Espacio de fase logística retrasada con equilibrio estable y tres ciclos límite estables para r = 1.9 a r = 2.27, como marcado.

    Para valores aún mayores de r, el sistema entra y sale del caos de una manera que a su vez parece caótica. Por r = 2.15 en la Figura\(\PageIndex{4}\), el ciclo límite se está volviendo ligeramente deformado en su parte inferior izquierda. Por r = 2.27 se ha vuelto totalmente así, y ha ocurrido algo muy extraño. Un bulto ha aparecido entre 0 y aproximadamente 0.5 en el eje vertical, y ese bulto se ha enredado con todo el ciclo límite, doblado sobre sí mismo una y otra vez. Lo que sucede se muestra magnificando la Región 1, dentro del cuadrado rojo.

    La figura\(\PageIndex{5}\) muestra el cuadrado rojo de la figura\(\PageIndex{4}\) ampliada 50 diámetros. La curva inclinada en forma de U es el primer enredo de la protuberancia, y se revela que la parte principal del ciclo límite no es una curva, sino dos o quizás más curvas paralelas. Las imágenes sucesivas de esa protuberancia, progresivamente alargadas en una dirección y comprimidas en la otra, muestran que este ciclo límite es infinitamente complejo. Es, de hecho, ni siquiera una curva unidimensional, sino una “fractal”, ¡siendo ésta mayor que unidimensional pero menor que bidimensional!

    4.JPG logístico
    Figura\(\PageIndex{4}\) ampliada 50 diámetros.

    La Figura\(\PageIndex{6}\) magnifica el cuadrado rojo de la Figura\(\PageIndex{5}\), 40 diámetros adicionales, para un total de 2000 diámetros. La línea superior se ve sola, pero la línea más gorda inferior de Figura\(\PageIndex{5}\) se resuelve en dos líneas, o tal vez más. De hecho, cada una de estas líneas, magnificadas suficientemente, se convierte en múltiples líneas, ¡revelando detalles más finos hasta el infinito! De un lugar a otro, pares de líneas se pliegan juntas en forma de U, formando imágenes infinitamente más profundas del bulto original. En la literatura matemática, este extraño tipo de atractor es, de hecho, llamado un “atractor extraño”.

    5.JPG logístico
    La figura\(\PageIndex{5}\) amplió 40 diámetros adicionales.

    Esa extraña dinámica poblacional que se da en la naturaleza, con patrones infinitamente complejos, no puede surgir en espacios de fase de sistemas dinámicos para una o dos especies que fluyen en tiempo continuo, sino que pueden surgir para tres o más especies en tiempo continuo. Y como se contempla en el Capítulo 7, pueden surgir incluso para una sola especie aproximada en tiempo discreto.

    Lo que hemos ilustrado en este capítulo es quizás el sistema ecológico más simple con un extraño atractor que se puede visualizar en un espacio de estado bidimensional.

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    Figura\(\PageIndex{7}\). Paisaje del conjunto Mandelbrot, que ha sido llamado el objeto más complejo imaginado por la mente humana. Es la división entre dos comportamientos diferentes en un sistema dinámico bidimensional particular, un objeto infinitamente complejo que es menor que bidimensional pero mayor que 1.9-dimensional. Lo mostramos aquí para su disfrute, por maravilla y para arte.

    This page titled 11.1: Espacios estatales is shared under a CC BY-NC 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Clarence Lehman, Shelby Loberg, & Adam Clark (University of Minnesota Libraries Publishing) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.