8.3: La Ley de Gas Ideal
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- Estado y explicar la ley de gas ideal utilizando la constante de Boltzmann
- Use la ley de gas ideal para calcular el cambio de presión, el cambio de temperatura, el cambio de volumen o el número de moléculas en un volumen dado.
En esta sección, continuamos explorando el comportamiento térmico de los gases. En particular, examinamos las características de los átomos y moléculas que componen los gases. (La mayoría de los gases, por ejemplo el nitrógeno\(\mathrm{N}_{2}\), y el oxígeno\(\mathrm{O}_{2}\), están compuestos por dos o más átomos. Utilizaremos principalmente el término “molécula” para discutir un gas porque el término también se puede aplicar a gases monoatómicos, como el helio).
Los gases se comprimen fácilmente. Los gases se expanden y contraen rápidamente con los cambios de temperatura. Además, observará que la mayoría de los gases se expanden al mismo ritmo, o tienen el mismo\(\beta\). Esto plantea la pregunta de por qué los gases deberían actuar casi de la misma manera, cuando los líquidos y los sólidos tienen tasas de expansión ampliamente variables.
La respuesta radica en la gran separación de átomos y moléculas en los gases, en comparación con sus tamaños, como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{2}\). Debido a que los átomos y las moléculas tienen grandes separaciones, las fuerzas entre ellos pueden ignorarse, excepto cuando chocan entre sí durante las colisiones. El movimiento de átomos y moléculas (a temperaturas muy superiores a la temperatura de ebullición) es rápido, de tal manera que el gas ocupa todo el volumen accesible y la expansión de los gases es rápida. En contraste, en líquidos y sólidos, los átomos y las moléculas están más cerca entre sí y son bastante sensibles a las fuerzas entre ellos.
Para tener una idea de cómo la presión, la temperatura y el volumen de un gas se relacionan entre sí, considere lo que sucede cuando bombea aire a una llanta inicialmente desinflada. El volumen de la llanta primero aumenta en proporción directa a la cantidad de aire inyectado, sin mucho aumento en la presión de la llanta. Una vez que la llanta se ha expandido casi a su tamaño completo, las paredes limitan la expansión del volumen. Si seguimos bombeando aire en él, la presión aumenta. La presión aumentará aún más cuando se conduzca el automóvil y se muevan las llantas. La mayoría de los fabricantes especifican una presión óptima para llantas frías. (Ver Figura\(\PageIndex{3}\).)
A temperatura ambiente, las colisiones entre átomos y moléculas pueden ser ignoradas. En este caso, el gas se denomina gas ideal, en cuyo caso la relación entre la presión, el volumen y la temperatura viene dada por la ecuación de estado llamada ley de gas ideal.
LEY DE GAS IDEAL
La ley de gas ideal establece que
\[P V=N k T, \nonumber\]
donde\(P\) está la presión absoluta de un gas,\(V\) es el volumen que ocupa,\(N\) es el número de átomos y moléculas en el gas, y\(T\) es su temperatura absoluta. La constante\(k\) se llama la constante de Boltzmann en honor del físico austriaco Ludwig Boltzmann (1844—1906) y tiene el valor
\[k=1.38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{K}. \nonumber \]
La ley de gas ideal puede derivarse de principios básicos, pero originalmente se dedujo de mediciones experimentales de la ley de Charles (ese volumen ocupado por un gas es proporcional a la temperatura a una presión fija) y de la ley de Boyle (que para una temperatura fija, el producto\(PV\) es una constante). En el modelo de gas ideal, el volumen ocupado por sus átomos y moléculas es una fracción insignificante de\(V\). La ley de gas ideal describe el comportamiento de los gases reales en la mayoría de las condiciones. (Obsérvese, por ejemplo, que\(N\) es el número total de átomos y moléculas, independientemente del tipo de gas.)
Veamos cómo la ley de gas ideal es consistente con el comportamiento de llenar el neumático cuando se bombea lentamente y la temperatura es constante. Al principio, la presión\(P\) es esencialmente igual a la presión atmosférica, y el volumen\(V\) aumenta en proporción directa al número de átomos y moléculas\(N\) puestas en el neumático. Una vez que el volumen del neumático es constante, la ecuación\(P V=N k T\) predice que la presión debe aumentar en proporción al número N de átomos y moléculas.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Calculating Pressure Changes Due to Temperature Changes: Tire Pressure
Supongamos que la llanta de tu bicicleta está completamente inflada, con una presión absoluta de\(7.00 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}\) (una presión manométrica de poco menos\(90.0 \ \mathrm{lb} / \mathrm{in}^{2}\)) a una temperatura de\(18.0^{\circ} \mathrm{C}\). ¿Cuál es la presión después de que su temperatura haya subido a 35.0ºC? Supongamos que no hay fugas apreciables ni cambios de volumen.
Estrategia
La presión en el neumático está cambiando solo por los cambios de temperatura. Primero necesitamos identificar lo que sabemos y lo que queremos saber, y luego identificar una ecuación para resolver por lo desconocido.
Conocemos la presión inicial\(P_{0}=7.00 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}\), la temperatura\(T_{0}=18.0^{\circ} \mathrm{C}\) inicial y la temperatura final\(T_{\mathrm{f}}=35.0^{\circ} \mathrm{C}\). Debemos encontrar la presión final\(P_{\mathrm{f}} \). ¿Cómo podemos usar la ecuación\(P V=N k T\)? Al principio, puede parecer que no se da suficiente información, debido a que no se especifican el volumen V y el número de átomos N. Lo que podemos hacer es usar la ecuación dos veces:\(P_{0} V_{0}=N k T_{0}\) y\(P_{\mathrm{f}} V_{\mathrm{f}}=N k T_{\mathrm{f}}\). Si dividimos\(P_{\mathrm{f}} V_{\mathrm{f}}\) por\(P_{0} V_{0}\) podemos llegar a una ecuación que nos permita resolver para Pf.
\[\frac{P_{\mathrm{f}} V_{\mathrm{f}}}{P_{0} V_{0}}=\frac{N_{\mathrm{f}} k T_{\mathrm{f}}}{N_{0} k T_{0}} \nonumber\]
Ya que el volumen es constante,\(V_{f}\) y\(V_{0}\) son los mismos y cancelan. Lo mismo es cierto para\(N_{\mathrm{f}}\) y\(N_{\mathrm{0}}\), y\(k\), que es una constante. Por lo tanto,
\[\frac{P_{\mathrm{f}}}{P_{0}}=\frac{T_{\mathrm{f}}}{T_{0}}. \nonumber\]
Luego podemos reorganizar esto para resolverlo para\(P_{f}\):
\[P_{\mathrm{f}}=P_{0} \frac{T_{\mathrm{f}}}{T_{0}}, \nonumber\]
donde la temperatura debe estar en unidades de kelvin, porque\(T_{0}\) y\(T_{f}\) son temperaturas absolutas.
Solución
1. Convierte temperaturas de Celsius a Kelvin.
\ [\ begin {alineado}
&T_ {0} =( 18.0+273)\ mathrm {K} =291\ mathrm {~K}\\
&T_ {\ mathrm {f}} =( 35.0+273)\ mathrm {K} =308\ mathrm {~K}
\ end {alineado}\ nonumber\]
2. Sustituir los valores conocidos en la ecuación.
\[P_{\mathrm{f}}=P_{0} \frac{T_{\mathrm{f}}}{T_{0}}=7.00 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}\left(\frac{308 \mathrm{~K}}{291 \mathrm{~K}}\right)=7.41 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} \nonumber\]
Discusión
La temperatura final es aproximadamente 6% mayor que la temperatura original, por lo que la presión final es aproximadamente 6% mayor también. Tenga en cuenta que la presión absoluta y la temperatura absoluta deben ser utilizadas en la ley de gas ideal.
CONEXIONES: Experimento para llevar a casa—REFRIGERAR UN
Inflar un globo a temperatura ambiente. Deja el globo inflado en el refrigerador durante la noche. ¿Qué pasa con el globo y por qué?
Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Calculating the Number of Molecules in a Cubic Meter of Gas
¿Cuántas moléculas hay en un objeto típico, como gas en una llanta o agua en una bebida? Podemos usar la ley de gas ideal para darnos una idea de cuán grande es\(N\) típicamente.
Calcular el número de moléculas en un metro cúbico de gas a temperatura y presión estándar (STP), que se define como 0ºC y presión atmosférica.
Estrategia
Debido a que la presión, el volumen y la temperatura están todos especificados, podemos usar la ley de gas ideal\(P V=N k T\), para encontrar\(N\).
Solución
1. Identificar los conocimientos.
\ [\ begin {alineado}
T &=0^ {\ circ}\ mathrm {C} =273\ mathrm {~K}\\
P &=1.01\ veces 10^ {5}\ mathrm {~Pa}\\
V &=1.00\ mathrm {~m} ^ {3}\
k &=1.38\ veces 10^ {-23}\ mathrm {~J}/mathrm {K}
\ final {alineado}\ nonumber\]
2. Identificar lo desconocido: número de moléculas,\(N\).
3. Reorganizar la ley de gas ideal para resolver\(N\).
\ [\ comenzar {reunido}
P V=N k T\\
N=\ frac {P V} {k T}
\ final {reunido}\ nonumber\]
4. Sustituir los valores conocidos en la ecuación y resolver para\(N\).
\[N=\frac{P V}{k T}=\frac{\left(1.01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}\right)\left(1.00 \mathrm{~m}^{3}\right)}{\left(1.38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{K}\right)(273 \mathrm{~K})}=2.68 \times 10^{25} \text { molecules } \nonumber\]
Discusión
El número calculado,\(2.68 \times 10^{25}\), es ciertamente muy grande. Se podría decir que el volumen de un metro cúbico también es grande (\(1 \mathrm{~m}^{3}=1000\)), pero incluso en un pequeño volumen de\(1 \mathrm{~cm}^{3}\), que es aproximadamente el tamaño de un dedal (\(1 \mathrm{~cm}^{3}=10^{-6} \mathrm{~m}^{3}\)), un gas en STP tiene\(2.68 \times 10^{19}\) moléculas en él (todavía un número muy grande). Una vez más, señalar que\(N\) es lo mismo para todos los tipos o mezclas de gases.
Resumen de la Sección
- La ley de gas ideal relaciona la presión y el volumen de un gas con el número de moléculas de gas y la temperatura del gas.
- La ley de gas ideal se puede escribir en términos del número de moléculas de gas:
\[P V=N k T, \nonumber\]
donde\(P\) es la presión,\(V\) es el volumen,\(T\) es la temperatura,\(N\) es el número de moléculas, y\(k\) es la constante de Boltzmann\[k=1.38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{K}. \nonumber\]
- La ley de gas ideal es generalmente válida a temperaturas muy por encima de la temperatura de ebullición.
Glosario
- ley de gas ideal
- la ley física que relaciona la presión y el volumen de un gas con el número de moléculas de gas o número de moles de gas y la temperatura del gas
- Constante de Boltzmann
- k, una constante física que relaciona la energía con la temperatura; k=1.38×10 —23 J/K