3.2: Normalización de la Función Onda

Ahora, una probabilidad es un número real que se encuentra entre 0 y 1. Un resultado de una medición que tiene una probabilidad 0 es un resultado imposible, mientras que un resultado que tiene una probabilidad 1 es un resultado determinado. De acuerdo con la Ecuación ([e3.2]), la probabilidad de que una medida\(x\) produzca un resultado que se encuentre entre\(-\infty\) y\(+\infty\) es\[P_{x\,\in\, -\infty:\infty}(t) = \int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^{\,2}\,dx.\] Sin embargo, una medición de\(x\) debe producir un valor que se encuentra entre\(-\infty\) y\(+\infty\), porque la partícula tiene que ser localizada en alguna parte. De ello se deduce \[\label{e3.4} \int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^{\,2}\,dx = 1,\]que\(P_{x\,\in\, -\infty:\infty}=1\), o que generalmente se conoce como la condición de normalización para la función de onda.

Por ejemplo, supongamos que deseamos normalizar la función de onda de un paquete de onda gaussiano, centrado en\(x=x_0\), y de ancho característico\(\sigma\) (ver Sección [s2.9]): es decir, \[\label{e3.5} \psi(x) = \psi_0\,{\rm e}^{-(x-x_0)^{\,2}/(4\,\sigma^{\,2})}.\]Para determinar la constante de normalización\(\psi_0\), simplemente sustituimos Ecuación ([e3.5]) en Ecuación ([e3.4]) para obtener\[|\psi_0|^{\,2}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-(x-x_0)^{\,2}/(2\,\sigma^{\,2})}\,dx = 1.\] Cambiando la variable de integración a\(y=(x-x_0)/(\sqrt{2}\,\sigma)\), obtenemos\[|\psi_0|^{\,2}\sqrt{2}\,\sigma\,\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-y^{\,2}}\,dy=1.\] Sin embargo, \[\label{e3.8} \int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-y^{\,2}}\,dy = \sqrt{\pi},\]lo que implica que\[|\psi_0|^{\,2} = \frac{1}{(2\pi\,\sigma^{\,2})^{1/2}}.\]

Por lo tanto, una función de onda gaussiana normalizada general toma la forma

\[\label{eng} \psi(x) = \frac{e^{i \ \varphi}}{(2\pi \ \sigma^2)^{1/4} } {e}^{-(x-x_0)^2/(4\,\sigma^2)},\]donde\(\varphi\) es un ángulo de fase real arbitrario.

Es importante demostrar que si una función de onda se normaliza inicialmente, entonces se mantiene normalizada a medida que evoluciona en el tiempo según la ecuación de Schrödinger. Si este no es el caso entonces la interpretación probabilística de la función ondulada es insostenible, porque no tiene sentido que la probabilidad de que una medición de\(x\) arroje algún resultado posible (que es, manifiestamente, la unidad) para cambiar en el tiempo. Por lo tanto, lo requerimos\[\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^{\,2} \,dx = 0,\] para las funciones de onda que satisfacen la ecuación de Schrödinger. La ecuación anterior da

\[\label{e3.12} \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}\psi^{\ast}\,\psi\,dx= \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\partial\psi^{\ast}}{\partial t}\,\psi +\psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)\,dx=0.\]Ahora, multiplicando la ecuación de Schrödinger por\(\psi^{\ast}/({\rm i}\,\hbar)\), obtenemos

\[\psi^{\ast} \ \frac{\partial \psi}{\partial t}= \frac{\rm i \ \hbar}{2 \ m}\ \psi^\ast \ \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{\rm i}{\hbar}\,V\,|\psi|^2.\]

El complejo conjugado de esta expresión produce

\[\psi \ \frac{\partial\psi^\ast}{\partial t}= -\frac{ \rm i \ \hbar}{2 \ m}\,\psi \ \frac{\partial^2\psi^\ast}{\partial x^2} + \frac{i }{\hbar} \ V \ |\psi|^2\]

[porque\((A\,B)^\ast = A^\ast\,B^{\,\ast}\),\(A^{\ast\,\ast}=A\), y\({\rm i}^ {\,\ast}= -{\rm i}\)].

Sumando las dos ecuaciones anteriores, obtenemos

\[ \frac{\partial \psi^\ast}{\partial t} \psi + \psi^\ast \frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{\rm i \hbar}{2 \ m} \bigg( \psi^\ast \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \psi \frac{\partial^2 \psi^\ast}{\partial t^2} \bigg) = \frac{\rm i \hbar}{2 \ m} \frac{\partial}{\partial x}\bigg( \psi^\ast \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^\ast}{\partial x}\bigg).\]

Las ecuaciones ([e3.12]) y ([e3.15]) se pueden combinar para producir\[\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^{\,2}\,dx= \frac{{\rm i}\,\hbar}{2\,m}\left[\psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial x} - \psi\,\frac{\partial\psi^\ast}{\partial x}\right]_{-\infty}^{\infty} = 0.\] La ecuación anterior se satisface proporcionada\[|\psi| \rightarrow 0 \hspace{0.5cm} \mbox{as} \hspace{0.5cm} |x|\rightarrow \infty.\] Sin embargo, esta es una condición necesaria para que la integral en el lado izquierdo de la Ecuación ([e3.4]) converja. Por lo tanto, concluimos que todas las funciones de onda que son integrables al cuadrado [es decir, son tales que la integral en la ecuación ([e3.4]) converge] tienen la propiedad de que si la condición de normalización ([e3.4]) se satisface en un instante en el tiempo entonces se satisface en todos los momentos posteriores.

También es posible demostrar, a través de análisis muy similares al que se acaba de describir, que

\[\label{epc} \frac{d P_{x\,\in\,a:b}}{dt} + j(b,t) - j(a,t) = 0,\]donde\(P_{x\,\in\,a:b}\) se define en la Ecuación ([e3.2]), y

\[\label{eprobc} j(x,t) = \frac{{\rm i}\,\hbar}{2\,m}\left(\psi\,\frac{\partial\psi^\ast}{\partial x} - \psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)\]se conoce como la corriente de probabilidad. Tenga en cuenta que\(j\) es real. La ecuación ([epc]) es una ecuación de conservación de probabilidad. De acuerdo con esta ecuación, la probabilidad de una medición de\(x\) mentir en el intervalo\(a\) a\(b\) evoluciona en el tiempo debido a la diferencia entre el flujo de probabilidad en el intervalo [es decir,\(j(a,t)\)], y el fuera del intervalo [es decir, \(j(b,t)\)]. Aquí, estamos interpretando\(j(x,t)\) como el flujo de probabilidad en la\(+x\) dirección -dirección en la posición\(x\) y el tiempo\(t\).

Obsérvese, finalmente, que no todas las funciones de onda pueden normalizarse de acuerdo con el esquema establecido en la Ecuación ([e3.4]). Por ejemplo, una función de onda de onda plana no\[\psi(x,t) = \psi_0\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t)}\] es integrable al cuadrado y, por lo tanto, no puede normalizarse. Para tales funciones de onda, lo mejor que podemos decir es que\[P_{x\,\in\, a:b}(t) \propto \int_{a}^{b}|\psi(x,t)|^{\,2}\,dx.\] A continuación, se supone que todas las funciones de onda son integrables al cuadrado y normalizadas, a menos que se indique lo contrario.

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)