6.3.1: Fuerzas sobre un solo grano
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Para evaluar la condición crítica de inicio del movimiento, se deben tomar en cuenta las diversas fuerzas que actúan sobre un grano individual (ver Fig. 6.4). Estas fuerzas pueden dividirse en fuerzas que tienden a mover el grano —la fuerza de arrastre\(F_D\) (Fig. 6.4a) y la fuerza de elevación\(F_L\) (Fig. 6.4b) — y una fuerza que intenta mantener el grano en su lugar; la fuerza de gravedad\(F_G\) (Fig. 6.4c).
La fuerza de arrastre es una combinación de fricción de la piel que actúa sobre la superficie del grano y una diferencia de presión en los lados arriba y aguas abajo del grano debido a la separación del flujo en el extremo aguas abajo de la partícula. Análogo a la Ec. 6.2.3.2, la fuerza de arrastre es proporcional a:
- el cuadrado\(u^2\) de una velocidad de flujo horizontal aguas arriba característica;
- el área de superficie de la partícula y por lo tanto para que las esferas\(D^2\)
- la densidad del agua\(\rho\)
La fuerza de elevación es el resultado de la separación del flujo así como de la contracción del flujo por encima del grano. Una mayor velocidad de flujo local resulta en una menor presión local (ley Bernoulli). La diferencia en la presión vertical provoca una fuerza de elevación dirigida hacia arriba. De manera similar a la fuerza de arrastre, la fuerza de elevación es proporcional al área superficial de la partícula (y por lo tanto a\(D^2\) en el caso de una esfera) y a\(u^2\).
Por lo tanto, la fuerza motriz total (arrastre y levantamiento combinados) es proporcional a\(\rho u^2 D^2\). La fuerza de gravedad de resistencia es proporcional a\((\rho_s - \rho)g D^3\) (ver Ec. 6.2.3.1). Equilibrio de fuerzas, ya sean horizontales, verticales o rotacionales, da por lo tanto una expresión de la forma:
\[(\rho_s - \rho) g D^3 \propto \rho u_{cr}^2 D^2\]
en la que\(u_{cr}\) se encuentra la velocidad crítica del agua a la que los granos comienzan a moverse. Dado que el esfuerzo cortante del lecho es proporcional a la velocidad al cuadrado multiplicada por la densidad del agua, también podríamos escribir:
\[(\rho_s - \rho) g D^3 \propto \rho \tau_{b, cr} D^2\label{eq6.3.1.2}\]
Aquí,\(\tau_{b, cr} = \rho u_{*, cr}^2\) es el esfuerzo crítico de cizallamiento del fondo (crítico en el sentido de que mayores esfuerzos de cizallamiento del fondo conducen a la iniciación del movimiento).
A partir de la proporcionalidad Ec. \(\ref{eq6.3.1.2}\), se\(\theta_{cr}\) puede deducir el denominado parámetro Escudos críticos:
\[\theta_{cr} = \dfrac{\tau_{b, cr}}{(\rho_s - \rho) g D} = C\label{eq6.3.1.3}\]
La constante\(C\) tiene que ser determinada experimentalmente. Los experimentos de Shields, realizados en una cama plana, son los más utilizados. Él definió el esfuerzo de cizallamiento crítico del lecho como el esfuerzo cortante del lecho en el que las tasas de transporte medidas (extrapoladas) fueron apenas cero. Para la arena colocada suavemente sobre este lecho plano,\(C\) se encontró que rondaba 0.05. El Apéndice D señala las similitudes entre la Ec. \(\ref{eq6.3.1.3}\)y enfoques de estabilidad de piedra y daños estructurales para pendientes de roca suelta y de elementos rompeolas.