4.1: Curvas de Engel

La Teoría del Comportamiento del Consumidor se basa en un problema de optimización: maximizar la utilidad sujeta a una restricción presupuestaria. Está escrito en forma de ecuación así:\[\max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) \\ \textrm{s.t. } p_1x_1 + p_2x_2 = m\]

Este problema se puede resolver analíticamente o con métodos numéricos y la solución puede mostrarse mediante una gráfica canónica, como en la Figura 4.1. Pero resulta que esto es solo un primer paso en cómo piensan los economistas.

Figura 4.1: Visualización de la solución óptima.

El material de este capítulo llega al corazón del enfoque económico: exploramos cómo la solución óptima responde a un shock, un cambio en una variable exógena, manteniendo todo lo demás constante. A esto se le llama estática comparativa.

El ejercicio estadístico comparativo más importante se basa en cambiar un precio, lo que nos permite derivar una curva de demanda. Empezamos, sin embargo, por impactar ingresos y dar seguimiento a la respuesta. Esto produce una curva de Engel. Empezar aquí te da la oportunidad de absorber y dominar la lógica de la estática comparativa antes de sumergirte en la curva de demanda.

Inicial, Shock, Nuevo, Compare

Para realizar un análisis estadístico comparativo, seguimos un procedimiento de cuatro pasos.

1. Encontramos la solución inicial.

2. Cambiamos una sola variable exógena, llamada shock, manteniendo constantes todas las demás variables exógenas. Los economistas utilizan una frase latina, ceteris paribus, como taquigrafía. Esto significa literalmente con otras cosas mantenidas iguales y los economistas usan la frase para significar todo lo demás mantenido constante.

3. Encontramos la nueva solución óptima.

4. Finalmente, comparamos lo nuevo con la solución inicial para ver cómo la solución óptima respondió al choque.

La estadística comparada es la metodología fundamental de la economía. Da un marco para interpretar el comportamiento observado. A este marco se le han dado muchos nombres, entre ellos: el método de la economía, el enfoque económico, la forma económica de pensar y el razonamiento económico.

Si bien comparativo apunta claramente a la comparación entre la solución nueva e inicial, el significado de la estática (que no debe confundirse con la estadística) es menos obvio. Significa que nos vamos a centrar en las posiciones de descanso y no preocuparnos por el camino de la solución a medida que se mueve desde el punto inicial hasta el nuevo punto.

Hay algunas complicaciones y problemas adicionales a tener en cuenta al hacer análisis estadísticos comparativos. Se pueden utilizar métodos analíticos y numéricos, pero no siempre coinciden exactamente. Además, tenemos varias formas de comparar las soluciones nuevas e iniciales. Una comparación cualitativa se centra únicamente en la dirección (arriba o abajo), mientras que las comparaciones cuantitativas calculan magnitudes del cambio en la respuesta (ya sea como diferencia o cambio porcentual). Finalmente, podemos mostrar el análisis estadístico comparativo en la propia gráfica canónica o en una gráfica separada. Estos tres temas se demostrarán a través del ejemplo.

Fundamentos de elasticidad

La elasticidad es un número puro (no tiene unidades) que mide la sensibilidad o capacidad de respuesta de una variable cuando otra cambia. Elasticidad, capacidad de respuesta y sensibilidad son sinónimos. Un número de elasticidad expresa el impacto que una variable tiene sobre otra. Cuanto más cerca esté la elasticidad a cero, más insensible o inelástica será la relación.

La elasticidad a menudo se expresa como “la elasticidad algo de algo”, como la elasticidad de precio de la demanda. El primero algo, el precio, es siempre la variable exógena; el segundo algo, en este caso demanda (la cantidad comprada), es la respuesta o valor óptimo que se está rastreando.

Una forma menos común, pero quizás más fácil, es decir, “la elasticidad de algo con respecto a algo”. La elasticidad de la demanda con respecto al precio muestra claramente que la demanda depende del precio y responde al mismo.

A diferencia de la diferencia entre los valores nuevos e iniciales, la elasticidad se calcula como la relación de cambios porcentuales en los valores. La variable endógena o de respuesta siempre va en el numerador y la variable exógena o shock siempre está en el denominador.

El cambio porcentual\(\frac{new - initial}{initial}\),, es el cambio (o diferencia),\(new - initial\), dividido por el valor inicial. Esto afecta a las unidades en el cómputo. Las unidades en el numerador y denominador del cambio porcentual cancelan y nos quedamos con un porcentaje como las unidades. Si calculamos el cambio porcentual en manzanas de 2 a 3 manzanas, obtenemos 50%. El cambio, sin embargo, es la\(+1\) manzana.

Si dividimos un cambio porcentual entre otro, los porcentajes se cancelan y obtenemos un número sin unidad. Así, la elasticidad es un número puro sin unidades. Entonces, si la elasticidad de precio de la demanda de manzanas es\(-1.2\), no hay manzanas, dólares, porcentajes, ni ninguna otra unidad. Es solo\(-1.2\).

La falta de unidades en una medida de elasticidad significa que podemos comparar cosas tremendamente diferentes. No importa las unidades subyacentes de las variables, podemos poner el número de elasticidad adimensional en un criterio común e interpretarlo.

La Figura 4.2 muestra los posibles valores que puede tomar una elasticidad, junto con los nombres que damos valores particulares.

Figura 4.2: Elasticidad en la recta numérica.

Empíricamente, las elasticidades suelen ser números bajos alrededor de uno (en valor absoluto). Una elasticidad de\(+2\) es extremadamente sensible o elástica. Significa que un incremento de 1% en la variable exógena genera un incremento de 2% en la variable endógena.

El signo de la elasticidad indica dirección (una afirmación cualitativa sobre la relación entre las dos variables). Cero significa que no hay relaciónpi.e., que la variable exógena no influye en absoluto en la variable de respuesta. Así,\(-2\) es extremadamente sensible como\(+2\), pero las variables están inversamente relacionadas por lo que un aumento de 1% en la variable exógena conduce a una disminución de 2% en la variable endógena.

Uno (tanto positivo como negativo) es un marcador importante en la línea numérica de elasticidad porque te indica si el cambio porcentual dado en una variable exógena da como resultado un cambio porcentual menor (cuando la elasticidad es menor que uno), un cambio porcentual igual (elasticidad igual a uno), o mayor cambio porcentual (elasticidad mayor a uno) en la variable endógena.

Las elasticidades son una parte confusa de la economía. A continuación se presentan seis conceptos erróneos comunes y problemas relacionados con la elasticidad. Leer estos errores típicos te ayudará a entender mejor este concepto fundamental, pero fácilmente malinterpretado.

1. La elasticidad se trata de la relación entre dos variables, no solo del cambio en una variable. Así, no confundir una elasticidad negativa en el sentido de que la variable de respuesta debe disminuir. Lo negativo significa que las dos variables se mueven en direcciones opuestas. Entonces, si la elasticidad por edad del tiempo practicando deportes es negativa, eso significa tanto que el tiempo practicando deportes cae a medida que aumenta la edad como el tiempo que practica deportes aumenta a medida que disminuye la edad.

2. La elasticidad es un fenómeno local. La elasticidad generalmente cambiará si analizamos un valor inicial diferente de la variable exógena. Así, cualquier medida de elasticidad es un valor local o puntual que se aplica únicamente al cambio en la variable exógena bajo consideración desde ese punto de partida. No se debe pensar en una elasticidad de precio de demanda de\(-0.6\) como aplicada a toda una curva de demanda. En cambio, es una declaración sobre el movimiento en el precio de un valor a otro valor cercano, digamos $3.00/unidad a $3.01/unidad. La elasticidad de precio de la demanda de $4.00/unidad a $4.01/unidad puede ser diferente. Hay funciones de elasticidad constante, donde la elasticidad es la misma a lo largo de la función, pero son un caso especial.

3. La elasticidad se puede calcular para diferentes cambios de tamaño. Para calcular la\(x\) elasticidad de\(y\), podemos ir de un punto a otro,\(\frac{\%\Delta y}{\%\Delta x}\), o usar el cambio infinitesimalmente pequeño de la derivada en un punto,\(\frac{dy}{dx}\frac{y}{x}\). Estas fórmulas se explicarán a continuación, pero el punto ahora es que los economistas son descuidados en su lenguaje y no se molestan en distinguir la elasticidad calculada en un punto vía cálculo (para un cambio infinitesimal) y la elasticidad calculada para una distancia finita de un punto a otro. Si la función es no lineal, estos dos métodos dan resultados diferentes. Si un economista menciona una elasticidad puntual, probablemente se calcula a través del cálculo como un cambio infinitesimalmente pequeño.

4. La elasticidad siempre pone la variable de respuesta en el numerador. No confundir el numerador y el denominador en el cómputo. En la elasticidad x de y, x es la variable exógena o de choque e y es la variable endógena o de respuesta. Los estudiantes suelen computar el recíproco de la elasticidad correcta. Evite este error común comprobando siempre para asegurarse de que la variable en el numerador responde o es impulsada por la variable en el denominador.

5. Ya lo sabes, pero recuerda que la elasticidad no tiene unidades. La elasticidad x de y de 0.2 no es 20%. Es 0.2. Significa que un incremento de 1% en x conduce a un incremento de 0.2% en y.

6. Quizás lo más importante que hay que recordar sobre la elasticidad es: No confundir elasticidad con pendiente. Esta puede ser la confusión más común de todas y merece una cuidadosa consideración.

Los economistas, a diferencia de los químicos o físicos, suelen pasar por alto las unidades de variables y resultados. Si consideramos cuidadosamente las unidades involucradas, podemos asegurar que la diferencia entre la pendiente y la elasticidad sea cristalina.

La pendiente es una medida cuantitativa en las unidades de las dos variables que se comparan. Si\(Q\mbox{*} = \frac{P}{2}\), entonces la pendiente,\(\frac{dQ\mbox{*}}{dP} = \frac{1}{2}\). Esto dice que un incremento en P de $1/unidad conducirá a un incremento en\(Q\mbox{*}\) de\(\frac{1}{2}\) una unidad. Así, la pendiente se mediría en unidades al cuadrado por dólar (para que al multiplicarse por el precio, terminemos con solo unidades de Q).

La elasticidad, por otro lado, es una medida cuantitativa basada en cambios porcentuales y, por lo tanto, no tiene unidades. La elasticidad P de\(Q\mbox{*}\) = 1 dice que un incremento de 1% en P conduce a un incremento de 1% en\(Q\mbox{*}\). No dice nada sobre el incremento real, numérico de $/unidad en P, sino que habla del incremento porcentual en P. De igual manera, la elasticidad se centra en el cambio porcentual en\(Q\mbox{*}\), no en el cambio en términos de número de unidades.

Así, la elasticidad y la pendiente son dos formas diferentes de medir la capacidad de respuesta de una variable a medida que cambia otra variable. Elasticidad utiliza cambios porcentuales\(\frac{\%\Delta y}{\%\Delta x}\), mientras que la pendiente no,\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\). Son dos formas distintas de medir el efecto de un choque y mezclarlas es un error común.

Análisis Estadístico Comparado de Ingresos Cambiantes

PASO Abra el libro de Excel EngelCurves.xls, lea la hoja de introducción y continúe con la hoja OptimalChoice.

Hemos corrido Solver y se muestra la solución inicial\(x_2\mbox{*} \approx 16 \frac{2}{3}\),\(x_1\mbox{*} \approx 25\) y,.

Nuestro primer intento de análisis estadístico comparativo es sencillo: cambiar ingresos, ceteris paribus, y calcular la respuesta en\(x_1\mbox{*}\) y\(x_2\mbox{*}\).

PASO Cambie la celda B18 a 150 (este es el choque) y luego ejecute Solver para encontrar la nueva solución óptima.

La línea presupuestaria se desplaza y el consumidor aprovecha al reoptimizar y pasar a una nueva curva de indiferencia más alta alcanzable.

PASO Comparar los valores iniciales y nuevos de\(x_1 \mbox{*}\) y\(x_2 \mbox{*}\) dado el incremento de $50 en los ingresos.

En términos cualitativos, diríamos que el incremento en los ingresos ha propiciado un incremento en el consumo óptimo de los dos bienes.

En términos cuantitativos, podemos calcular la respuesta como el cambio en las unidades propias de las dos variables.

El estado de unidades propias de la estadística comparativa para\(x_1 \mbox{*}\) es\(\frac{\Delta x_1 \mbox{*}}{\Delta m}\).

Los ingresos subieron 50 dólares y el consumo óptimo de cada bien subió 12.5 unidades. Calculamos\(\frac{37.5 - 25}{150 - 100}\) así decimos que obtenemos un incremento de\(\frac{1}{4}\) unidad por cada incremento de $1 en los ingresos.

La elasticidad es otra forma de presentar un resultado estadístico comparativo cuantitativo. Utilizamos una fórmula que multiplica la pendiente por los valores iniciales.

Elasticidad de ingresos de\(x_1 \mbox{*} = \frac{\Delta x_1 \mbox{*}}{\Delta m}\frac{m}{x_1 \mbox{*}} = [\frac{37.5 - 25}{150 -100}][\frac{100}{25}] = 1\). Esta elasticidad es unidad elástica. Esto significa que un cambio de 1% en los ingresos lleva a un cambio de 1% en la compra óptima del bien 1. Tuvimos un incremento del 50% a los ingresos y eso produjo un incremento del 50% en\(x_1 \mbox{*}\).

La fórmula de elasticidad parece misteriosa, pero se deriva fácilmente de la definición de la relación de cambios porcentuales. \[\frac{\% \Delta x_1 \mbox{*}}{\% \Delta m} = \frac{\frac{\Delta x_1 \mbox{*}}{x_1 \mbox{*}}}{\frac{\Delta m}{m}} = \frac{\Delta x_1 \mbox{*}}{x_1 \mbox{*}}\frac{m}{\Delta m} = \frac{\Delta x_1 \mbox{*}}{\Delta m}\frac{m}{x_1 \mbox{*}}\]El álgebra anterior muestra cómo se conectan la pendiente y la elasticidad. Multiplicar la pendiente por una posición inicial es lo mismo que calcular un cambio porcentual.

Si bien ciertamente es posible hacer análisis estadísticos comparativos ejecutando Solver para encontrar la solución inicial, cambiando un parámetro en la hoja, ejecutando Solver nuevamente para encontrar la nueva solución, y luego comparar las soluciones iniciales y nuevas, lo tedioso de este enfoque manual es obvio.

Afortunadamente, hay una mejor manera. Implica el uso del complemento Excel del Asistente de Estadística Comparativa.

PASO Haga clic en el botón para asegurarse de comenzar desde los valores iniciales de los parámetros.

PASO Instale el complemento Asistente para estadísticas comparativas, CSwiz.xla, del archivo MicroExcel.

Las instrucciones y documentación están disponibles en el archivo CompStatics.doc en la carpeta SolverCompStaticSwizard. Puede ver qué complementos están instalados accediendo al cuadro de diálogo Administrador de complementos (En Excel 2019, Archivo: Excel Opciones: Complementos: Ir).

PASO Una vez instalado el complemento Asistente para estadísticas comparativas, desde la hoja OptimalChoice, haga clic en la pestaña Complementos en la cinta de opciones, luego haga clic en Wizard y Comp Statics (en versiones anteriores, ejecute Tools: Wizard: Comp Statics) para abrir el cuadro de diálogo principal del complemento CSwiz. en, se muestra en la Figura 4.3.

Figura 4.3: Primer paso en el Asistente de Estática Comparativa.

PASO Haga clic en el botón y responda las tres preguntas planteadas.

Usted está proporcionando a Excel la información que necesita para organizar los resultados. Claramente, el objetivo es la celda B7 por lo que dará clic en la celda B7 cuando se lo solicite la primera pregunta. Excel ingresa la referencia absoluta a esa celda ($B $7) en el cuadro de diálogo y hace clic en Aceptar. Siga el mismo procedimiento para las siguientes dos preguntas. Las variables endógenas están en las celdas B11:B12 y las variables exógenas están en las celdas B16:B20 por lo que puede hacer clic y arrastrar para seleccionar esas celdas.

Observe cómo el complemento Asistente de estadística comparativa presume que usted ha organizado y configurado correctamente el problema en la hoja de cálculo.

PASO Una vez que haya proporcionado las celdas variables meta, endógenas y exógenas, haga clic en el botón.

El paso 2 usa el Solver de Excel para encontrar la solución inicial. Oculta temporalmente el Asistente de Estadística Comparativa y abre Solver para que pueda usarlo para encontrar la solución óptima.

PASO En la pantalla Paso 2, haga clic en el botón para abrir el cuadro de diálogo Solver. Haga clic en Resolver para que Solver encuentre la solución inicial.

Lee el mensaje en el cuadro después de haber corrido Solver. Explica lo que has hecho hasta ahora.

Habiendo encontrado la solución inicial, estamos listos para ingresar el choque.

PASO En la pantalla del Paso 3, haga clic en el botón.

Al igual que en la primera pantalla, se le hacen tres preguntas. La primera pregunta plantea la propia variable de choque. En este caso, haga clic en la celda B18 (el valor de la variable de ingresos, no la etiqueta). La segunda pregunta es la cantidad de cambio. Ingresa 50. La tercera pregunta es el número de choques. El valor predeterminado es 5. Acepte este valor haciendo clic en el botón Aceptar.

Usted ha pedido a Excel que cambie los ingresos, manteniendo constantes las demás variables, de 100 a 150 a 200 a 250 a 300 a 350, cinco saltos de 50 cada una desde el valor inicial 100.

PASO Después de verificar que has ingresado la información de choque correctamente, haz clic en el botón para continuar.

La pantalla Paso 4 es el corazón del complemento. Has proporcionado la meta, información de variables endógenas y exógenas, Solver encontró la solución inicial, y le has dicho a Excel qué variable impactar y cómo. Excel está listo para ejecutar el problema una y otra vez para cada uno de los valores de la variable de choque que proporcionó. Es esencialmente el enfoque manual, pero Excel hace todo el tedioso trabajo.

PASO Haga clic en el botón. La barra muestra el progreso de Excel a través de los repetidos problemas de optimización. Ejecuta Solver a cada valor de ingreso, pero es muy rápido.

PASO Haga clic en el botón, lea la información en el cuadro y haga clic en el botón.

Excel te lleva a una hoja que ha insertado en el libro de trabajo con todos los resultados de la estadística comparativa. Esta hoja es similar a la hoja CS1. Observe cómo se organizan los resultados. Comienza con los valores iniciales de los parámetros (ensanchar la columna A si es necesario), luego muestra una tabla con ingresos en la columna A, seguida de utilidad máxima y los valores óptimos de los dos bienes.

Los resultados producidos por el Asistente de Estática Comparativa se pueden procesar posteriormente como se muestra en la hoja CS1.

PASO Proceder a la hoja CS1. Las columnas F y G contienen cálculos de pendiente y elasticidad. Haga clic en las celdas para ver las fórmulas.

Observe que hay que tener cuidado con los paréntesis al hacer cálculos de cambio porcentual en Excel. Simplemente ingresar “= C14 — C13/C13” no hará lo que quieras porque la regla de orden de operaciones de Excel dividirá C13 por C13 (que es 1) y restará eso de C14.

Consumo de Ingresos y Curvas Engel

Hay dos gráficas en la hoja CS1. Parecen ser lo mismo, pero no lo son. Una gráfica es una curva de consumo de ingresos y la otra es una curva de Engel. Están relacionados y entender su conexión es importante.

Ernst Engel (que no debe confundirse con el benefactor y amigo de Karl Marx, Friedrich Engels) fue un estadístico alemán del ^siglo XIX que analizó los datos del gasto del consumidor. Encontró que las compras de alimentos aumentaron a medida que subieron los ingresos, pero a un ritmo decreciente Esto se conoció como Ley de Engel. Una gráfica de la cantidad demandada para un bien en función del ingreso, ceteris paribus, se llama curva de Engel.

La curva de consumo de ingresos (ICC) muestra el efecto del incremento del ingreso en la gráfica canónica de indiferencia, curvas-y-restricción presupuestal. Es decir, el ICC muestra el análisis estadístico comparativo sobre la gráfica canónica subyacente. El Panel A de la Figura 4.4 muestra la curva de consumo de ingresos.

Figura 4.4: Mostrar los resultados de un choque en los ingresos.

El Panel B muestra que la curva de Engel para\(x_1\) parcelas la relación entre ingreso y óptimo\(x_1\). Esta gráfica de presentación muestra solo el valor óptimo de la variable endógena (\(x_1\)) en función de la variable de choque (m) y oculta todo lo demás. Hay una gráfica de curva Engel para\(x_2\), pero no se muestra.

PASO Usa tus resultados estadísticos comparativos para realizar curvas de consumo de Engel e ingresos. Esto te ayudará a entender la relación entre las dos curvas.

Para la curva de Engel, seleccione los datos en m (en la columna A) y\(x_1\) (en la columna C). Para el ICC, es necesario seleccionar\(x_1\) y\(x_2\) (en las columnas C y D). Después de seleccionar los datos, haga clic en la pestaña Insertar en la Cinta de opciones y elija el tipo de gráfico de dispersión en el grupo Gráficos.

La pendiente de la curva de Engel revela si el bien es normal o inferior. Un bien normal, como en la Figura 4.4, tiene una curva de Engel positivamente inclinada: cuando el ingreso sube, también lo hace el consumo óptimo. Un bien inferior tiene una curva de Engel con pendiente negativa, los aumentos en el ingreso conducen a disminuciones en el consumo óptimo del bien. La Figura 4.5 muestra este caso.

Figura 4.5:\(x_1\) como bien inferior.

Hamburguesa es el clásico buen ejemplo inferior. A medida que aumentan los ingresos, la idea es que comas menos carne de hamburguesa y más de mejores cortes de carne de res. El ejemplo también sirve para señalar que los bienes no son normales ni inferiores por alguna característica innata, sino que la relación es un fenómeno local. La Figura 4.6 muestra cómo podría reaccionar un consumidor en todo el rango de ingresos. ¿Entiendes la historia que esta gráfica está contando?

Figura 4.6: Una hipotética curva de Engel para hamburguesa.

La figura 4.6 muestra que la hamburguesa es normal en niveles bajos de ingresos (con el aumento del consumo a medida que aumenta el ingreso), pero inferior en niveles más altos de ingreso. Nuestra función de utilidad Cobb-Douglas no puede generar esta complicada curva de Engel.

Análisis Estadístico Comparativo Analítico de Ingresos Cambiantes

Podemos derivar la curva de Engel para el problema en el libro EngelCurves.xls a través de métodos analíticos.

Como de costumbre, reescribimos la restricción y formamos el Lagrangean, luego tomamos derivadas y resolvemos el sistema de ecuaciones. La novedad esta vez es que dejamos m como letra para que nuestra respuesta final sea una función de ingresos. Esto nos permite derivar una curva de Engel.

1. Reescribe la restricción para que sea igual a cero.

\(0 = m - 2x_1 - 3x_2\)

2. Formar la función lagrangea.

Tomamos derivados y los ponemos iguales a cero.

Para resolver los valores óptimos de\(x_1\) y\(x_2\), mover los términos lambda en las dos ecuaciones superiores hacia el lado derecho y dividir la primera ecuación por la segunda para eliminar lambda (y dar la\(\frac{p_1}{p_2}\) condición familiar MRS =. Entonces resuelve para óptimo\(x_2\) en términos de\(x_1\).

Sustituir esta expresión por\(x_2\) en la tercera condición de primer orden y resolver para óptima\(x_1\).

Podemos evaluar esta expresión en cualquier valor para m. Si sustituimos en\(m = 100\), obtenemos\(x_1 \mbox{*} = 25\) que es lo que obtuvimos cuando resolvimos este problema con un ingreso de $100.

Nuestra expresión de forma reducida para\(x_1 \mbox{*}\) concuerda con los valores en las columnas A y C de la hoja CS1 que producimos mediante el enfoque numérico usando el Asistente de Estadística Comparativa. El método numérico selecciona puntos individuales de la función de curva de Engel que derivamos aquí.

También hay una curva de Engel para\(x_2 \mbox{*}\). Lo es\(x_2 \mbox{*} = \frac{1}{6}m\).

Por supuesto, estas curvas de Engel son para este consumidor en particular, con esta función de utilidad particular y conjunto de variables exógenas. Diferentes preferencias darán distintas curvas de Engel.

Si hacemos el problema más general, en el sentido de sustituir letras por números en el lagrangeo, entonces estas variables exógenas aparecerán en la expresión de forma reducida. En otras palabras, las constantes de un cuarto y un sexto en las curvas de Engel se cambiarán en una expresión con las variables exógenas. Evaluar esa expresión a los valores actuales de las variables exógenas dará un cuarto y un sexto.

Si cambias una variable exógena distinta a los ingresos, ya no te moverás a lo largo de la curva de Engel. En cambio, desplazarás toda la curva de Engel.

Para calcular una respuesta de unidades propias en\(x_1 \mbox{*}\) dado un cambio en los ingresos, simplemente podemos tomar la derivada con respecto a m, que es simplemente\(\frac{1}{4}\). Esto significa que la pendiente de la forma reducida es constante a cualquier valor de m.

La elasticidad a un valor dado de m se puede calcular a través de la siguiente fórmula:\[\frac{dx_1 \mbox{*}}{dm}\frac{m}{x_1 \mbox{*}}\] Debido a que se calcula en un punto determinado, esto se denomina elasticidad puntual, a diferencia de una elasticidad medida de un punto a otro. Los economistas suelen computar y reportar elasticidades puntuales, pero a menudo omiten el adjetivo y simplemente llaman al resultado elasticidad.

Observe cómo la fórmula de elasticidad puntual es similar a la fórmula de elasticidad de un punto a otro,\(\frac{\Delta x_1 \mbox{*}}{\Delta m}\frac{m}{x_1 \mbox{*}}\). Simplemente hemos reemplazado el delta con un d esto demuestra que las dos fórmulas son iguales excepto por el tamaño del cambio en m. En lugar de un cambio de tamaño discreto, la fórmula de elasticidad puntual se basa en un cambio infinitesimalmente pequeño en m.

A m = 100, la elasticidad de ingreso puntual de\(x_1 \mbox{*} = (\frac{1}{4})(\frac{100}{25}) = 1.\) Bueno\(x_2\) también tiene una elasticidad de ingreso unitario constante. Los rayos del origen siempre tienen elasticidades unitarias constantes.

La función de utilidad juega un papel crucial en los resultados estadísticos comparativos. Las funciones de utilidad Cobb-Douglas siempre producen curvas lineales de Engel con elasticidades constantes de ingresos unitarios. No creemos que, en el mundo real, las curvas de Engel sean siempre lineales y elásticas de ingresos unitarios. Si bien hay otras funciones de utilidad con resultados menos restrictivos, son más difíciles de trabajar matemáticamente. La facilidad de manipulación algebraica ayuda a explicar la popularidad de la forma funcional Cobb-Douglas.

Una curva de Engel es un análisis estadístico comparativo

Este capítulo introdujo el análisis estadístico comparativo. Se centró en el seguimiento de la solución óptima a medida que cambian los ingresos. A esto se le llama curva de Engel.

El análisis estadístico comparativo, incluyendo elasticidades, se puede realizar a través de métodos numéricos y analíticos. El Asistente de Estadística Comparada maneja gran parte del tedioso trabajo en el enfoque numérico.

Podemos calcular una elasticidad de dos maneras: en un punto y de un punto a otro. El primero utiliza la derivada y el segundo se basa en un cambio de tamaño discreto en la variable exógena. Una elasticidad puntual es aquella basada en la derivada. Ambas elasticidades se basan en cambios porcentuales, pero la derivada utiliza cambios infinitesimalmente pequeños en la variable exógena.

A menudo compararemos los dos métodos. En este caso, los dos métodos coincidieron perfectamente. Esto no siempre será cierto.

Ejercicios

1. Cambia el precio del buen 1 de 2 a 3 en la hoja OptimalChoice del libro EngelCurves.xls. Desde\(m = 100\), utilice el Asistente de Estática Comparativa para crear una gráfica de la curva de Engel para el bien 1. Titular la gráfica y etiquetar los ejes. Toma una foto de tu gráfica y pégala en tu documento de Word.

2. ¿Por qué la pendiente de tu gráfica es diferente a la de la hoja CS1?

3. Calcular la elasticidad de ingresos de la demanda para el bien 1 de\(m = 100\) a 200. Muestre su trabajo.

4. Calcular la elasticidad de ingresos de la demanda para el bien 1 at\(m = 100\). Muestre su trabajo.

5. ¿Por qué tus respuestas en la pregunta 3 y 4 son iguales?

Referencias

El epígrafe es de H. S. Houthakker, “Engel's Law”, en J.Eatwell, M.Milgate y P.Newman (eds.) The New Palgrave Dictionary of Economics, (Londres: McMillan, 1987), pp. 143-144.

El Palgrave es mucho más que un simple diccionario. Es un recurso de referencia con artículos sobre términos o frases específicas. La versión 2008 del Diccionario Palgrave es editada por Stephen N. Durlauf y Lawrence E. Blume. Está disponible en línea en www.dictionaryofeconomics.com.