Esta sección deriva la curva de demanda a partir de dos funciones de utilidad diferentes, preferencias cuasilineales y complementos perfectos, para proporcionar práctica derivando curvas de demanda. Nada nuevo aquí, solo practica aplicando las herramientas, técnicas y conceptos de la forma económica de pensar.
Preferencias cuasilineales
Comenzamos con el enfoque analítico. Reescribe la restricción y forma el Lagrangean, dejando\(p_1\) como letra para que podamos derivar una curva de demanda.
\[\max _{x_{1}, x_{2}, \lambda} L=x_{1}^{1 / 2}+x_{2}+\lambda\left(140-p_{1} x_{1}-10 x_{2}\right)\]
PASO Sigue el procedimiento lagrangeo habitual para resolver este problema. Para obtener ayuda, refiérase a la sección 4.2 donde resolvimos este mismo problema excepto con\(m\) en lugar de\(p_1\).
Deberías encontrar expresiones de forma reducidas como esta:
\ [\ begin {alineado}
x_ {1} ^ {*} &=\ frac {25} {p_ {1} ^ {2}}\\
x_ {2} ^ {*} &=14-\ frac {2.5} {p_ {1}}
\ end {alineado}\]
La primera expresión,\(x_1 \mbox{*} = \frac{25}{p_1^2}\), es una curva de demanda para\(x_1 \mbox{*}\) porque da la cantidad\(x_1\) demandada de en función de\(p_1\). Si reescribimos la ecuación en términos de\(p_1\) así,\(p_1^2 = \frac{25}{x_1 \mbox{*}} \rightarrow p_1 = \frac{5}{\sqrt{x_1 \mbox{*}}}\) entonces tenemos una curva de demanda inversa, con precio en el eje y en función de la cantidad en el eje x.
La derivada de\(x_1 \mbox{*}\) con respecto a nos\(p_1\) dice la pendiente de la curva de demanda a cualquier precio dado.
\ [\ begin {alineado}
x_ {1} ^ {*} &=25 p_ {1} ^ {-2}\
\ frac {d x_ {1} ^ {*}} {d p_ {1}} &=-2\ cdot 25 p_ {1} ^ {-3} =-\ frac {50} {p_ {1} ^ {3}}
\ end {alineado}\]
La elasticidad de precio propia de la demanda es:
\[\frac{d x_{1}^{*}}{d p_{1}} \cdot \frac{p_{1}}{x_{1}^{*}}=-\frac{50}{p_{1}^{3}} \frac{p_{1}}{\frac{25}{p_{1}^{2}}}=-2\]
La elasticidad constante de la demanda del bien 1 es una propiedad de la función de utilidad cuasilineal. Observe que 2 es el recíproco del exponente encendido\(x_1\) en la función de utilidad. De hecho, con\(U = x_1^c + x_2\), la elasticidad de precio de la demanda\(x_1\) es\(-\frac{1}{1-c}\) para los valores de\(c\) ese rendimiento soluciones interiores.
La expresión de óptimo\(x_2\) es una relación cruzada de precios. Nos dice cómo varía la cantidad demandada para el bien 2 a medida que cambia el precio del bien 1. La ecuación se puede utilizar para calcular una elasticidad cruzada de precios, así:
\ [
\ frac {d x_ {2} ^ {*}} {d p_ {1}}\ cdot\ frac {p_ {1}} {x_ {2} ^ {*}} =\ frac {2.5} {p_ {1} ^ {2}}\ frac {p_ {1}} {14-\ frac {2.5} {p_ {1}} =\ frac {2.5} {p_ {1}\ izquierda (14-\ frac {2.5} {p_ {1}}\ derecha)} =\ frac {2.5} {p_ {1}\ izquierda (\ frac {14 p_ {1} -2.5} {p_ {1}}\ derecha)} =\ frac {2.5} {14 p_ {1} -2.5}\]
A diferencia de la elasticidad del precio propio, la elasticidad cruzada del precio no es constante. Depende del valor de\(p_1\). También es positiva (mientras que la elasticidad del precio propio fue negativa). Cuando\(p_1\) se eleva, óptimo\(x_2\) también se eleva. Esto significa que los bienes 1 y 2 son sustitutos.
Los complementos, por otro lado, son bienes cuya elasticidad cruzada de precios es negativa. Esto quiere decir que un incremento en el precio del bien 1 lleva a una disminución en el consumo del bien 2.
La demanda también se puede derivar a través de métodos numéricos.
PASO Abra el libro de Excel DemandCurvesPractice.xls, lea la hoja de introducción, luego vaya a la hoja QuasiLineArchiice.
El consumidor está maximizando la satisfacción con los valores iniciales de los parámetros debido a que la condición marginal, MRS =\(\frac{p_1}{p_2}\), se cumple en el punto 6.25,12.75 (ignorando la falsa precisión de Solver) y se agotan los ingresos.
Podemos explorar cómo varía esta solución óptima inicial a medida que el precio del bien 1 cambia a través de métodos numéricos. Simplemente cambiamos\(p_1\) repetidamente, ejecutando Solver a cada precio, mientras hacemos un seguimiento de la solución óptima a cada precio. El complemento Comparative Statics Wizard maneja los cálculos tediosos y engorrosos y genera los resultados en una nueva hoja para nosotros.
PASO Ejecute el Asistente de Estática Comparativa en la hoja de QuasiLinearchoice. Incrementar el precio del bien 1 en incrementos de 0.1 (10 centavos).
Puedes consultar tu análisis estadístico comparativo comparando tus resultados con la hoja CS1, que se basa en 1 (en lugar de 0.1) choques de tamaño dólar. Por supuesto, los números no serán exactamente los mismos ya que el tamaño del\(\Delta p_1\) choque es diferente.
Las columnas de precio y óptimo\(x_1\) son puntos en el horario de demanda. El enfoque numérico a través del CSWiz esencialmente selecciona puntos individuales en la curva de demanda para los precios dados. Si traza estos puntos, tiene una gráfica de la curva de demanda.
El enfoque analítico, por otro lado, da a la función de demanda como una ecuación. Se puede evaluar la expresión a precios particulares y generar una gráfica de la curva de demanda.
Los dos enfoques, si se hacen correctamente, siempre producirán la misma representación gráfica de la curva de demanda. Sin embargo, no pueden producir las mismas pendientes o elasticidades.
PASO Usando sus resultados, cree curvas de demanda y consumo de precios. Calcular los cambios de unidad propia y elasticidades para\(x_1 \mbox{*}\) y\(x_2 \mbox{*}\).
La hoja CS1 muestra cómo hacer esto si te quedas atascado. Puede hacer clic en las celdas para ver sus fórmulas. Piensa en cómo funcionan las fórmulas y cómo computan la respuesta.
Es fundamental que note que sus propios cambios de unidad y elasticidades están más cerca de las tasas instantáneas de cambio en las columnas I y J de la hoja CS1 porque tiene cambios más pequeños en\(p_1\) y, para esta función de utilidad,\(x_1 \mbox{*}\) es no lineal en \(p_1\).
Tómese un momento para reflexionar sobre lo que está pasando en los cálculos presentados en la hoja CS1. Las celdas sombreadas de color invitan a comparar esas celdas.
Ahora, pasemos por esto lentamente.
PASO Haga clic en la celda F13 para ver su fórmula.
Se calcula como el cambio en óptimo\(x_1\) para un incremento de $1 en\(p_1\). Hay una disminución de alrededor de 3.47 unidades cuando el precio aumenta en 1 unidad.
PASO Haga clic en la celda I12 para ver su fórmula.
Se calcula sustituyendo el precio inicial, $2/unidad, en la expresión para la derivada (mostrada como una ecuación encima de la celda). El resultado de la fórmula,\(-6.25\), es la tasa instantánea de cambio. En otras palabras, habrá una disminución de 6.25 veces en óptimo\(x_1\) dado un aumento infinitesimalmente pequeño en\(p_1\).
PASO Ve a tus resultados de CSWiz y, si aún no lo has hecho, calcula el cambio en óptimo\(x_1\) para un incremento de $0.1 en\(p_1\).
Deberías encontrar que tu pendiente está a punto\(-5.8\). El cambio en óptimo\(x_1\) es de aproximadamente 0.58, pero hay que dividir por el cambio de precio, 0.1, para obtener la pendiente. Observe que su respuesta está mucho más cerca de la tasa de cambio basada en derivados (\(-6.25\)). Esto se debe a que tomaste un cambio de precio mucho menor, 0.1, que el cambio de un dólar en el precio en la hoja CS1 y estás trabajando con una curva.
PASO Regresar a la hoja CS1 y comparar las celdas G13 y J12.
Aquí está funcionando el mismo principio. Debido a que la curva de demanda es no lineal, las dos celdas no coinciden. La celda G13 está calculando la elasticidad de un punto a otro, mientras que la celda J12 está usando la tasa instantánea de cambio (pendiente de la línea tangente) en un punto.
Si calculas la elasticidad del precio de 2 a 2.1 (usando tus resultados de CS), encontrarás que está mucho más cerca de\(-2\).
Finalmente, podría notar que a diferencia de la función de utilidad Cobb-Douglas, que produjo una curva horizontal de consumo de precios (PCC), la función de utilidad cuasilineal en este caso está generando una curva de consumo de precios en pendiente descendente. De hecho, la pendiente de la curva de consumo de precios te indica la elasticidad de precio de la demanda: PCC con pendiente ascendente significa que la demanda es inelástica, PCC horizontal produce una demanda elástica unitaria (como en el caso Cobb-Douglas), y PCC con pendiente descendente da demanda elástica (como en este caso).
Complementos Perfectos
Comenzamos con el enfoque analítico. \[U(x_1, x_2)=min\{ax_1,bx_2\}\]Porque\(a = b = 1\), sabemos que podemos encontrar la intersección de las líneas óptimas de elección y presupuesto para obtener las expresiones de forma reducidas para las variables endógenas,\(x_1 \mbox{*} = \frac{m}{p_1 + p_2}\) (que es lo mismo para\(x_2 \mbox{*}\) since\(x_1 \mbox{*} = x_2 \mbox{*}\)).
Esta solución dice que cuando a y b son iguales en una función de utilidad de complementos perfectos, las cantidades óptimas de cada bien son iguales y se encuentran simplemente dividiendo los ingresos por la suma de los precios.
La expresión de forma reducida contiene curvas de Engel y demanda. Al mantener los precios constantes, podemos ver cómo m afecta el consumo. Así mismo, manteniendo m y\(p_2\) constante, podemos explorar qué tan óptimo\(x_1\) varía a medida que\(p_1\) cambia. Esto, por supuesto, es una curva de demanda para\(x_1\).
Como es habitual, encontramos la tasa instantánea de cambio tomando la derivada con respecto a\(p_1\). La\(p_1\) elasticidad de\(x_1\) es la derivada multiplicada por\(\frac{p_1}{x_1 \mbox{*}}\).
\ [
\ begin {alineado}
\ frac {d x_ {1} ^ {x^ {*}}} {d p_ {1}} &=-\ frac {m} {\ izquierda (p_ {1} +p_ {2}\ derecha) ^ {2}}\
\ frac {d x_ {1} ^ {x^ {+}} {d p_ {1}}\ cdot\ frac {p_ {1}} {x_ {1} ^ {x^ {*}}} &=-\ frac {m} {\ left (p_ {1} +p_ {2}\ derecha) ^ {2}}\ frac {p_ {1}} {p_ {1} +p_ {2}} =-\ frac {p_ {1}}} {p_ {1} +p_ {2}}
\ end {alineado}\]
También podemos derivar la demanda de una función de utilidad de complementos perfectos a través de métodos numéricos.
PASO Proceder a la hoja PerfCompChoice y ejecute el Asistente de Estática Comparativa con un incremento en el precio del bien 1 de 0.1 (10 centavos).
¿Puedes adivinar qué haremos a continuación? El procedimiento es el mismo cada vez: resolvemos el modelo y luego exploramos cómo responde la solución óptima a los choques.
PASO Cree curvas de demanda y consumo de precios en función de sus resultados estadísticos comparativos. Calcular los cambios de unidades propias y elasticidades para\(x_1 \mbox{*}\) y\(x_2 \mbox{*}\). La hoja CS2 muestra cómo hacer esto si te quedas atascado.
Como antes, querrás concentrarte en cómo tus propias unidades cambian y las elasticidades están más cerca de las tasas de cambio instantáneas que las\(\Delta p_1\) en las columnas F y G de la hoja CS2 porque tienes cambios más pequeños en\(p_1\) y estamos tratando con una no lineal relación.
La lección es clara: siempre que la curva de demanda no sea una línea, es decir, no\(x_1 \mbox{*}\) es lineal en\(p_1\), entonces no\(\Delta p_1\) será exactamente igual\(dp_1\). A medida que el tamaño del cambio discreto en el precio se hace más pequeño, el resultado del método numérico se acercará al resultado basado en la derivada.
Aunque es posible que los dos métodos no coincidan exactamente, suelen ser bastante cercanos. Qué tan cerca depende de la curvatura de la relación y del tamaño del choque discreto. Esto significa que siempre puede verificar su trabajo analítico haciendo un\(\Delta\) choque manual y calculando el cambio de un punto a otro.
Observe también que la curva de consumo de precios es ascendente y la elasticidad del precio es menor a uno (en valor absoluto).
botón. Ahora cambia el exponente en el buen 1 de 0.5 a 0.75. Utilice el Asistente de Estadística Comparativa para derivar una curva de demanda para esta función de utilidad.