Entender cómo las gráficas muestran la relación entre dos o más variables y explicar cómo una gráfica dilucida la naturaleza de la relación.
Definir la pendiente de una curva.
Distinguir entre un movimiento a lo largo de una curva, un desplazamiento en una curva y una rotación en una curva.
Gran parte del análisis en economía se ocupa de las relaciones entre variables. Una variable es simplemente una cantidad cuyo valor puede cambiar. Una gráfica es una representación pictórica de la relación entre dos o más variables. La clave para entender las gráficas es conocer las reglas que se aplican a su construcción e interpretación. En esta sección se definen esas reglas y se explica cómo dibujar una gráfica.
Dibujando una Gráfica
Para ver cómo se construye una gráfica a partir de datos numéricos, consideraremos un ejemplo hipotético. Supongamos que un campus universitario tiene un club de esquí que organiza viajes en autobús de un día a una zona de esquí a unas 100 millas del campus. El club arrienda el autobús y cobra $10 por pasajero por un viaje de ida y vuelta a la zona de esquí. Además de los ingresos que el club recauda de los pasajeros, también recibe una subvención de $200 del gobierno estudiantil de la escuela por cada día que el viaje en autobús esté disponible. El club así recibiría 200 dólares aunque ningún pasajero quisiera viajar en un día en particular.
La tabla de la Figura 21.1 muestra la relación entre dos variables: el número de estudiantes que viajan en autobús en un día determinado y los ingresos que el club recibe de un viaje. En la tabla, a cada combinación se le asigna una letra (A, B, etc.); usaremos estas letras cuando transferimos la información de la tabla a una gráfica.
Figura 21.1 Ingresos del club de esquí El club de esquí recibe $10 de cada pasajero que viaja en su autobús para un viaje hacia y desde la zona de esquí más un pago de $200 del gobierno estudiantil por cada día que el autobús esté disponible para estos viajes. Los ingresos del club por cualquier día equivalen así a $200 más $10 veces el número de pasajeros. La tabla relaciona varias combinaciones del número de pasajeros y los ingresos del club.
Podemos ilustrar la relación que se muestra en la tabla con una gráfica. El procedimiento para mostrar la relación entre dos variables, como las de la Figura 21.1, en una gráfica se ilustra en la Figura 21.2. Veamos los pasos involucrados.
Figura 21.2 Trazando un Gráfico
Aquí vemos cómo mostrar la información dada en la Figura 21.1 en una gráfica.
Paso 1. Dibujar y etiquetar los ejes
Las dos variables que se muestran en la tabla son el número de pasajeros que toman el autobús en un día determinado y los ingresos del club por ese viaje. Comenzamos nuestra gráfica en el Panel (a) de la Figura 21.2 dibujando dos ejes para formar un ángulo recto. Cada eje representará una variable. Los ejes deben etiquetarse cuidadosamente para reflejar lo que se está midiendo en cada eje.
Se acostumbra colocar la variable independiente en el eje horizontal y la variable dependiente en el eje vertical. Recordemos que, cuando se relacionan dos variables, la variable dependiente es la que cambia en respuesta a los cambios en la variable independiente. Los pasajeros generan ingresos, por lo que podemos considerar el número de pasajeros como la variable independiente y los ingresos del club como la variable dependiente. El número de pasajeros va así en el eje horizontal; los ingresos del club por un viaje van en el eje vertical. En algunos casos, las variables de una gráfica no pueden considerarse independientes o dependientes. En esos casos, las variables pueden colocarse en cualquiera de los ejes; nos encontraremos con tal caso en el capítulo que introduce el modelo de posibilidades de producción. En otros casos, los economistas simplemente ignoran la regla; encontraremos ese caso en el capítulo que introduce el modelo de demanda y oferta. La regla de que la variable independiente va sobre el eje horizontal y la variable dependiente va sobre la vertical generalmente se mantiene, pero no siempre.
El punto en el que se cruzan los ejes se denomina origen de la gráfica. Observe que en la Figura 21.2 el origen tiene un valor de cero para cada variable.
Al dibujar una gráfica que muestre valores numéricos, también necesitamos poner números en los ejes. Para los ejes del Panel (a), hemos elegido números que corresponden a los valores de la tabla. El número de pasajeros oscila hasta 40 para un viaje; los ingresos del club por un viaje van desde $200 (el pago que recibe el club del gobierno estudiantil) hasta los 600 dólares. Hemos extendido el eje vertical a $800 para permitir algunos cambios que consideraremos a continuación. Hemos elegido intervalos de 10 pasajeros en el eje horizontal y $100 en el eje vertical. La elección de intervalos particulares es principalmente una cuestión de conveniencia para dibujar y leer la gráfica; nosotros hemos elegido los aquí porque corresponden a los intervalos dados en la tabla.
Hemos dibujado líneas verticales a partir de cada uno de los valores en el eje horizontal y líneas horizontales de cada uno de los valores en el eje vertical. Estas líneas, llamadas cuadrículas, nos ayudarán en el Paso 2.
Paso 2. Trazar los puntos
Cada una de las filas de la tabla de la Figura 21.1 da una combinación del número de pasajeros en el autobús y los ingresos del club de un viaje en particular. Podemos trazar estos valores en nuestra gráfica.
Comenzamos con la primera fila, A, correspondiente a cero pasajeros e ingresos del club de $200, el pago del gobierno estudiantil. Leemos desde cero pasajeros en el eje horizontal hasta $200 en el eje vertical y marcamos el punto A. Este punto muestra que cero pasajeros dan como resultado ingresos del club de $200.
La segunda combinación, B, nos dice que si 10 pasajeros viajan en autobús, el club recibe $300 en ingresos del viaje, $100 del cargo de $10 por pasajero más los $200 del gobierno estudiantil. Comenzamos a 10 pasajeros en el eje horizontal y seguimos la cuadrícula hacia arriba. Cuando viajamos hacia arriba en una gráfica, estamos viajando con respecto a valores en el eje vertical. Viajamos arriba en $300 y marcamos el punto B.
Los puntos en una gráfica tienen un significado especial. Relacionan los valores de las variables en los dos ejes entre sí. Leyendo a la izquierda desde el punto B, vemos que muestra $300 en ingresos del club. Leyendo hacia abajo desde el punto B, vemos que muestra a 10 pasajeros. Esos valores son, por supuesto, los valores dados para la combinación B en la tabla.
Repetimos este proceso para obtener los puntos C, D y E. Verifique para asegurarse de que ve que cada punto corresponde a los valores de las dos variables dadas en la fila correspondiente de la tabla.
El gráfico en el Panel (b) se llama diagrama de dispersión. Un diagrama de dispersión muestra puntos individuales que relacionan valores de la variable en un eje con valores de la variable en el otro.
Paso 3. Dibuja la Curva
El paso final es trazar la curva que muestre la relación entre el número de pasajeros que viajan en autobús y los ingresos del club por el viaje. El término “curva” se utiliza para cualquier línea en una gráfica que muestre una relación entre dos variables.
Dibujamos una línea que pasa por los puntos A a E. Nuestra curva muestra los ingresos del club; la llamaremos R1. Observe que R1 es una línea recta con pendiente ascendente. Observe también que R1 cruza el eje vertical a $200 (punto A). El punto en el que una curva cruza un eje se denomina intersección de la curva. A menudo nos referimos a la intercepción vertical u horizontal de una curva; tales intercepciones pueden desempeñar un papel especial en el análisis económico. El intercepto vertical en este caso muestra los ingresos que recibiría el club en un día en que ofreciera el viaje y nadie viajaba en el autobús.
Para verificar su comprensión de estos pasos, le recomendamos que intente trazar los puntos y dibujar R1 por usted mismo en el Panel (a). Mejor aún, dibuja los ejes por ti mismo en una hoja de papel cuadriculado y traza la curva.
La pendiente de una curva
En esta sección, veremos cómo calcular la pendiente de una curva. Las pendientes de las curvas cuentan una historia importante: muestran la velocidad a la que una variable cambia con respecto a otra.
La pendiente de una curva es igual a la relación del cambio en el valor de la variable en el eje vertical al cambio en el valor de la variable en el eje horizontal, medido entre dos puntos en la curva. Es posible que hayas escuchado esto llamado “el ascenso sobre la carrera”. En forma de ecuación, podemos escribir la definición de la pendiente como
Ecuación 21.1
La Figura 21.3 proporciona una breve revisión del trabajo con ecuaciones. El material de este texto se basa mucho más en las gráficas que en las ecuaciones, pero usaremos ecuaciones de vez en cuando. Es importante que entiendas cómo usarlos.
Figura 21.3 Lectura y Uso de Ecuaciones Muchas ecuaciones en economía comienzan en la forma de la Ecuación 21.1, con la afirmación de que una cosa (en este caso la pendiente) es igual a otra (el cambio vertical dividido por el cambio horizontal). En este ejemplo, la ecuación está escrita en palabras. A veces usamos símbolos en lugar de palabras. Sin embargo, la idea básica es siempre la misma: el término representado en el lado izquierdo del signo igual es igual al término del lado derecho. En la Ecuación 21.1 hay tres variables: la pendiente, el cambio vertical y el cambio horizontal. Si conocemos los valores de dos de los tres, podemos calcular el tercero. En el cálculo de pendientes que siguen, por ejemplo, usaremos valores para las dos variables del lado derecho de la ecuación para calcular la pendiente.
La figura 21.4 muestra R1 y el cálculo de su pendiente entre los puntos B y D. El punto B corresponde a 10 pasajeros en el autobús; el punto D corresponde a 30. El cambio en el eje horizontal cuando pasamos de B a D equivale así a 20 pasajeros. El punto B corresponde a ingresos del club de $300; el punto D corresponde a ingresos del club de $500. El cambio en el eje vertical equivale a $200. Por lo tanto, la pendiente equivale a $200/20 pasajeros, o $10/pasajero.
Figura 21.4 Cálculo de la pendiente de una curva
Selecciona dos puntos; hemos seleccionado los puntos B y D.
La pendiente es igual al cambio vertical dividido por el cambio horizontal entre los dos puntos.
Entre los puntos B y D, la pendiente equivale a $200/20 pasajeros = $10/pasajero.
La pendiente de esta curva es el precio por pasajero. El hecho de que sea positivo sugiere una relación positiva entre los ingresos por viaje y el número de pasajeros que viajan en autobús. Debido a que la pendiente de esta curva es de $10 por pasajero entre dos puntos cualesquiera de la curva, la relación entre los ingresos del club por viaje y el número de pasajeros es lineal.
Hemos aplicado la definición de la pendiente de una curva para calcular la pendiente de R1 entre los puntos B y D. Esa misma definición se da en la Ecuación 21.1. Aplicando la ecuación, tenemos:
La pendiente de esta curva nos indica la cantidad por la que suben los ingresos con un incremento en el número de pasajeros. No debería sorprendernos que esta cantidad sea igual al precio por pasajero. Agregar un pasajero agrega $10 a los ingresos del club.
Observe que podemos calcular la pendiente de R1 entre dos puntos cualesquiera de la curva y obtener el mismo valor; la pendiente es constante. Consideremos, por ejemplo, los puntos A y E. El cambio vertical entre estos puntos es de 400 dólares (pasamos de ingresos de $200 en A a ingresos de $600 en E). El cambio horizontal es de 40 pasajeros (de cero pasajeros en A a 40 en E). La pendiente entre A y E equivale así a $400/ (40 pasajeros) = $10/pasajero. Obtenemos la misma pendiente independientemente del par de puntos que escojamos en R1 para calcular la pendiente. La pendiente de R1 puede considerarse una constante, lo que sugiere que es una línea recta. Cuando la curva que muestra la relación entre dos variables tiene una pendiente constante, decimos que existe una relación lineal entre las variables. Una curva lineal es una curva con pendiente constante.
El hecho de que la pendiente de nuestra curva sea igual a 10 dólares por pasajero nos dice algo más sobre la curva: 10 dólares por pasajero es un valor positivo, no negativo. Una curva cuya pendiente es positiva es inclinada hacia arriba. A medida que viajamos hacia arriba y hacia la derecha a lo largo de R1, viajamos en la dirección de valores crecientes para ambas variables. Una relación positiva entre dos variables es aquella en la que ambas variables se mueven en la misma dirección. Las relaciones positivas a veces se llaman relaciones directas. Existe una relación positiva entre los ingresos del club y los pasajeros en el autobús. Veremos una gráfica que muestra una relación negativa entre dos variables en la siguiente sección.
Un gráfico que muestra una relación negativa
Una relación negativa es aquella en la que dos variables se mueven en direcciones opuestas. Una relación negativa a veces se llama relación inversa. La pendiente de una curva que describe una relación negativa es siempre negativa. Una curva con pendiente negativa es siempre inclinada hacia abajo.
Como ejemplo de una gráfica de una relación negativa, veamos el impacto de la cancelación de juegos por parte de la Asociación Nacional de Básquetbol durante la disputa laboral 1998—1999 sobre las ganancias de un jugador: Shaquille O'Neal. Durante la temporada 1998—1999, O'Neal fue el centro de los Lakers de Los Ángeles.
El salario de O'Neal con los Lakers en 1998—1999 habría sido de unos 17.220.000 dólares si se hubieran disputado los 82 juegos programados de la temporada regular. Pero una disputa contractual entre dueños y jugadores resultó en la cancelación de 32 juegos. El salario del señor O'Neal le costó aproximadamente 210.000 dólares por juego, por lo que la disputa laboral le costó más de 6 millones de dólares. Presumiblemente, pudo ganarse la vida con sus menores ingresos, pero la cancelación de juegos le costó mucho.
En la Figura 21.5 se muestra la relación entre el número de partidos cancelados y las ganancias de baloncesto de 1998 a 1999 de O'Neal. La cancelación de juegos redujo sus ganancias, por lo que el número de juegos cancelados es la variable independiente y va en el eje horizontal. Las ganancias de O'Neal son la variable dependiente y van en el eje vertical. El gráfico supone que sus ganancias habrían sido de 17.220.000 dólares de no haberse cancelado ningún juego (punto A, la intercepción vertical). Suponiendo que sus ganancias cayeron 210.000 dólares por juego cancelado, sus ganancias para la temporada se redujeron a 10,500,000 dólares por la cancelación de 32 juegos (punto B). Podemos trazar una línea entre estos dos puntos para mostrar la relación entre los juegos cancelados y las ganancias del baloncesto de 1998 a 1999 de O'Neal. En esta gráfica, hemos insertado una rotura en el eje vertical cerca del origen. Esto nos permite ampliar la escala del eje en el rango de $10,000,000 a $18,000,000. También evita un gran espacio en blanco entre el origen y un ingreso de $10,500,000—no hay valores por debajo de esta cantidad.
Figura 21.5 Cancelación de juegos y reducción de ganancias de Shaquille O'Neal
De no haberse cancelado ningún juego durante la temporada de basquetbol 1998—1999, Shaquille O'Neal habría ganado $17,220,000 (punto A). Asumiendo que su salario para la temporada cayó 210.000 dólares por cada juego cancelado, la cancelación de 32 juegos durante la disputa entre jugadores de la NBA y propietarios redujo las ganancias de O'Neal a 10 mil 500 mil dólares (punto B).
¿Cuál es la pendiente de la curva en la Figura 21.5? Tenemos datos para dos puntos, A y B. A A, el salario de básquetbol de O'Neal habría sido de $17,220,000. En B, es de 10,500,000 dólares. El cambio vertical entre los puntos A y B equivale a -$6,720,000. El cambio en el eje horizontal es de cero juegos cancelados en A a 32 juegos cancelados en B. La pendiente es así
Observe que esta vez la pendiente es negativa, de ahí la curva inclinada hacia abajo. A medida que viajamos hacia abajo y hacia la derecha por la curva, el número de juegos cancelados sube y el salario de O'Neal cae. En este caso, la pendiente nos indica la tasa a la que O'Neal perdió ingresos ya que se cancelaron los juegos.
La pendiente de la curva salarial de O'Neal también es constante. Eso significa que hubo una relación lineal entre los juegos cancelados y sus ganancias de baloncesto de 1998—1999.
Desplazamiento de una curva
Cuando dibujamos una gráfica que muestra la relación entre dos variables, hacemos una suposición importante. Suponemos que todas las demás variables que puedan afectar la relación entre las variables en nuestra gráfica no se modifican. Cuando una de esas otras variables cambia, la relación cambia y la curva que muestra esa relación cambia.
Considera, por ejemplo, el club de esquí que patrocina viajes en autobús a la zona de esquí. El gráfico que dibujamos en la Figura 21.2 muestra la relación entre los ingresos del club de un viaje en particular y el número de pasajeros en ese viaje, suponiendo que todas las demás variables que puedan afectar los ingresos del club no se modifican. Cambiemos uno. Supongamos que el gobierno estudiantil de la escuela aumenta el pago que hace al club a 400 dólares por cada día que el viaje esté disponible. El pago era de $200 cuando dibujamos la gráfica original. El panel (a) de la Figura 21.6 muestra cómo el incremento en el pago afecta la tabla que tuvimos en la Figura 21.1; el Panel (b) muestra cómo cambia la curva. Cada una de las nuevas observaciones en la tabla ha sido etiquetada con un primo: A′, B′, etc. La curva R1 se desplaza hacia arriba en $200 como consecuencia del incremento del pago. Un desplazamiento en una curva implica nuevos valores de una variable en cada valor de la otra variable. La nueva curva está etiquetada como R2. Con 10 pasajeros, por ejemplo, los ingresos del club fueron de 300 dólares en el punto B sobre la R1. Con el incremento del pago del gobierno estudiantil, sus ingresos con 10 pasajeros se elevan a $500 en el punto B′ sobre la R2. Tenemos un cambio en la curva.
Figura 21.6 Desplazando una curva: un incremento en los ingresos
El cuadro del Panel (a) muestra el nuevo nivel de ingresos que recibe el club de esquí con número variable de pasajeros como consecuencia del incremento en el pago del gobierno estudiantil. La nueva curva se muestra en púrpura oscuro en el Panel (b). La curva antigua se muestra en púrpura claro.
Es importante distinguir entre los cambios en las curvas y los movimientos a lo largo de las curvas. Un movimiento a lo largo de una curva es un cambio de un punto de la curva a otro que ocurre cuando la variable dependiente cambia en respuesta a un cambio en la variable independiente. Si, por ejemplo, el gobierno estudiantil está pagando al club 400 dólares cada día pone a disposición el autobús de esquí y 20 pasajeros viajan en el autobús, el club está operando en el punto C′ de la R2. Si el número de pasajeros aumenta a 30, el club estará en el punto D′ de la curva. Este es un movimiento a lo largo de una curva; la curva en sí no se desvía.
Ahora supongamos que, en lugar de aumentar su pago, el gobierno estudiantil elimina sus pagos al club de esquí por viajes en autobús. El único ingreso del club por un viaje ahora proviene de su cargo de $10 por pasajero. Hemos vuelto a cambiar una de las variables que manteníamos sin cambios, así que obtenemos otro cambio en nuestra curva de ingresos. El cuadro del Panel (a) de la Figura 21.7 muestra cómo la reducción en el pago del gobierno estudiantil afecta los ingresos del club. Los nuevos valores se muestran como combinaciones A″ a E″ en la nueva curva, R3, en el Panel (b). Una vez más tenemos un desplazamiento en una curva, esta vez de R1 a R3.
Figura 21.7 Desplazando una curva: una reducción en los ingresos
El cuadro del Panel (a) muestra el impacto en los ingresos de los clubes de esquí de una eliminación del apoyo del gobierno estudiantil para viajes en autobús de esquí. El único ingreso del club ahora proviene de los $10 que cobra a cada pasajero. Las nuevas combinaciones se muestran como A″ — E″. En el Panel (b) vemos que la curva original que relaciona los ingresos del club con el número de pasajeros ha bajado.
Los cambios en la Figura 21.6 y Figura 21.7 dejaron sin cambios las pendientes de las curvas de ingresos. Eso se debe a que la pendiente en todos estos casos es igual al precio por boleto, y el precio del boleto permanece sin cambios. A continuación, veremos cómo cambia la pendiente de una curva cuando la giramos alrededor de un solo punto.
Rotación de una curva
Una rotación de una curva ocurre cuando cambiamos su pendiente, con un punto en la curva fijo. Supongamos, por ejemplo, que el club de esquí cambia el precio de sus viajes en autobús a la zona de esquí a $30 por viaje, y el pago del gobierno estudiantil sigue siendo de $200 por cada día que el viaje esté disponible. Esto significa que los ingresos del club permanecerán $200 si no tiene pasajeros en un viaje en particular. Los ingresos, sin embargo, serán diferentes cuando el club tenga pasajeros. Debido a que la pendiente de nuestra curva de ingresos es igual al precio por boleto, la pendiente de la curva de ingresos cambia.
El panel (a) de la Figura 21.8 muestra lo que sucede con la curva de ingresos original, R1, cuando se eleva el precio por boleto. El punto A no cambia; los ingresos del club con cero pasajeros no cambian. Pero con 10 pasajeros, los ingresos del club subirían de $300 (punto B sobre R1) a $500 (punto B′ en R4). Con 20 pasajeros, los ingresos del club ahora equivaldrán a 800 dólares (punto C′ sobre R4).
Figura 21.8 Rotación de una curva
Se dice que una curva gira cuando un solo punto permanece fijo mientras que otros puntos de la curva se mueven; una rotación siempre cambia la pendiente de una curva. Aquí un incremento en el precio por pasajero a $30 rotaría la curva de ingresos de R1 a R4 en el Panel (a). La pendiente de R4 es de $30 por pasajero.
La nueva curva de ingresos R4 es más pronunciada que la curva original. El panel (b) muestra el cálculo de la pendiente de la nueva curva entre los puntos B′ y C′. La pendiente aumenta a $30 por pasajero, el nuevo precio de un boleto. Cuanto mayor sea la pendiente de una curva con pendiente positiva, más pronunciada será.
Ahora hemos visto cómo dibujar una gráfica de una curva, cómo calcular su pendiente, y cómo desplazar y rotar una curva. Hemos examinado tanto las relaciones positivas como las negativas. Nuestro trabajo hasta el momento ha sido con relaciones lineales. A continuación pasaremos a los no lineales.
Claves para llevar
Una gráfica muestra una relación entre dos o más variables.
Una curva ascendente sugiere una relación positiva entre dos variables. Una curva inclinada hacia abajo sugiere una relación negativa entre dos variables.
La pendiente de una curva es la relación entre el cambio vertical y el cambio horizontal entre dos puntos de la curva. Una curva cuya pendiente es constante sugiere una relación lineal entre dos variables.
Un cambio de un punto de la curva a otro produce un movimiento a lo largo de la curva en la gráfica. Un cambio en la curva implica nuevos valores de una variable en cada valor de la otra variable. Una rotación en la curva implica que un punto permanece fijo mientras cambia la pendiente de la curva.
¡Pruébalo!
En la siguiente tabla se muestra la relación entre el número de galones de gasolina que las personas en una comunidad están dispuestas y capaces de comprar por semana y el precio por galón. Trazar estos puntos en la cuadrícula proporcionada y etiquetar cada punto con la letra asociada a la combinación. Observe que hay roturas tanto en el eje vertical como en el horizontal de la rejilla. Dibuja una línea a través de los puntos que has trazado. ¿Tu gráfica sugiere una relación positiva o negativa? ¿Cuál es la pendiente entre A y B? ¿Entre B y C? ¿Entre A y C? ¿La relación es lineal?
Ahora suponga que se le da la siguiente información sobre la relación entre el precio por galón y el número de galones por semana que las gasolineras de la comunidad están dispuestas a vender.
Traza estos puntos en la cuadrícula proporcionada y dibuja una curva a través de los puntos que hayas dibujado. ¿Tu gráfica sugiere una relación positiva o negativa? ¿Cuál es la pendiente entre D y E? ¿Entre E y F? Entre D y F? ¿Esta relación es lineal?
¡Responde a Pruébalo!
Aquí está la primera gráfica. La pendiente descendente de la curva nos dice que existe una relación negativa entre el precio y la cantidad de gasolina que la gente está dispuesta y capaz de comprar. Esta curva, por cierto, es una curva de demanda (la siguiente es una curva de oferta). Pronto estudiaremos la demanda y la oferta; estarás usando mucho estas curvas. La pendiente entre A y B es −0.002 (pendiente = cambio vertical/cambio horizontal = −0.20/100). La pendiente entre B y C y entre A y C es la misma. Eso nos dice que la curva es lineal, que, por supuesto, podemos ver—es una línea recta.
Aquí está la curva de oferta. Su pendiente ascendente nos indica que existe una relación positiva entre el precio por galón y el número de galones por semana que las gasolineras están dispuestas a vender. La pendiente entre D y E es 0.002 (pendiente es igual al cambio vertical/cambio horizontal = 0.20/100). Debido a que la curva es lineal, la pendiente es la misma entre dos puntos cualesquiera, por ejemplo, entre E y F y entre D y F.
