4.18: Perceptrones y progresiones de jazz

Hemos visto que un tipo particular de red del Viejo Conexionismo, el perceptrón, se puede aplicar de manera útil en los estudios del condicionamiento y reorientación clásicos. En la sección actual vemos que también se puede utilizar para explorar regularidades musicales. También se ilustra la interpretación de la estructura interna de dicha red, lo que demuestra que incluso las redes simples pueden revelar algunas propiedades algorítmicas interesantes.

Las progresiones de jazz son secuencias de acordes. Consideremos la escala C mayor presentada anteriormente, en la Figura 4-8. Si uno toma la primera nota de la escala, C, como raíz y agrega cada segunda nota en la escala —E, G y B) —el resultado es un acorde de cuatro notas —un tetrachordo—llamado el acorde de C mayor ^7º (Cmaj7). Debido a que la raíz de este acorde es la primera nota de la escala, ésta se identifica como el acorde I para Do mayor. También se pueden construir otros tetrachordos para esta clave. Comenzando con la segunda nota en la escala, D, y agregando las notas F, A y C produce D menor 7 ^th (Dm7). Debido a que su raíz es la segunda nota de la escala, ésta se identifica como el acorde II para la clave de Do mayor. Usando G como raíz y agregando las notas B, D y F crea el acorde 7 ^th dominante G (G7). Es el acorde V de la clave de Do mayor porque su raíz es la quinta nota de la escala de Do mayor.

Los acordes I, II y V son los tres acordes de jazz más comúnmente tocados, y en el jazz suelen aparecer en el contexto de la progresión II-V-I (Levine, 1989). Esta progresión de acordes implica tocar estos acordes en una secuencia que comienza con el acorde II, se mueve al acorde V y termina en el acorde I. La progresión II-V-I es importante por varias razones.

En primer lugar, las progresiones de acordes se utilizan para establecer la tonalidad, es decir, para especificar al oyente la clave musical en la que se está tocando una pieza. Lo hacen estableciendo expectativas sobre lo que se va a jugar a continuación. Para cualquier clave mayor, los tonos más estables son las notas I, IV y V (Krumhansl, 1990), y los acordes más estables son los que se construyen sobre esas tres notas.

Segundo, en la percepción de las secuencias de acordes hay preferencias definidas para que el acorde IV se resuelva en el acorde V y para que el acorde V se resuelva en el acorde I, produciendo la progresión IV-V-I que es común en las cadencias en la música clásica (Bharucha, 1984; Jarvinen, 1995; Katz, 1995; Krumhansl, Bharucha, & Kessler, 1982; Rosner y Narmour, 1992). Existe una relación similar entre el acorde IV y el acorde II si este último es menor (Steedman, 1984). Así, la progresión II-V-I es una poderosa herramienta para establecer la tonalidad de una pieza musical.

Tercero, la progresión II-V-I se presta a un conjunto adicional de progresiones de acordes que pasan de clave en clave, aportando variedad pero también estableciendo tonalidad. Después de tocar el acorde Cmaj7 para terminar la progresión II-V-I para Do mayor, se pueden cambiar dos notas para transformar Cmaj7 en Cm7, que es el acorde II de una clave musical diferente, A# major. Como resultado, se puede pasar de realizar la progresión II-V-I en Do mayor a realizar la misma progresión en una clave mayor un tono más bajo. Este proceso puede repetirse; el conjunto completo de cambios de cuerda se proporciona en la Tabla 4-6. Tenga en cuenta que esta progresión finalmente regresa a la clave inicial de Do mayor, proporcionando otra poderosa señal de tonalidad.

	Progresión de acordes para clave
Clave	II	V	I
C	Dm 7	G 7	Cmaj 7
A#	Cm 7	F 7	A #maj 7
G#	A #m 7	D# 7	G #maj 7
F#	G #m 7	C# 7	F #maj 7
E	F #m 7	B 7	Emaj 7
D	Em 7	A 7	Dmaj 7
C	Dm 7	G 7	Cmaj 7

Mesa\(\PageIndex{1}\). Una progresión de progresiones II-V-I, descendiendo de la clave de Do mayor. Los acordes de cada fila se tocan en secuencia, y después de tocar una fila, se toca la siguiente fila.

A una red coneccionista se le puede enseñar la progresión de acordes II-V-I. Durante el entrenamiento, se presenta, en formato de clase de tono, un acorde perteneciente a la progresión. La red aprende a emitir el siguiente acorde que se tocará en la progresión, nuevamente usando el formato de clase de tono. Sorprendentemente, este problema es muy sencillo: ¡es linealmente separable y puede resolverse con un perceptrón!

¿Cómo representa un perceptrón esta progresión del jazz? Debido a que un perceptrón no tiene unidades ocultas, su representación debe almacenarse en el conjunto de pesos de conexión entre las unidades de entrada y salida. Sin embargo, esta matriz de pesos de conexión es demasiado compleja para revelar sus representaciones musicales simplemente inspeccionándola. En cambio, se deben utilizar estadísticas multivariadas.

Primero, se pueden convertir los pesos de conexión brutos en una matriz de correlación. Es decir, se puede calcular la similitud de cada par de unidades de salida calculando la correlación entre los pesos de conexión que alimentan a ellas. Una vez que los pesos se han convertido en correlaciones, se dispone de más análisis para interpretar representaciones en red. El escalado multidimensional (MDS) puede resumir las relaciones dentro de una matriz de correlación que se hace visible mediante la creación de un mapa (Kruskal & Wish, 1978; Romney, Shepard, & Nerlove, 1972; Shepard, Romney, & Nerlove, 1972). Los elementos se posicionan en el mapa de tal manera que mientras más elementos similares estén, más cerca están en el mapa.

El MDS de las correlaciones de la cadena de progresión de jazz produjo un mapa unidimensional que proporcionó una representación llamativa de las relaciones musicales entre las notas. En una solución MDS unidimensional, a cada punto de datos se le asigna un solo número, que es su coordenada en el eje único que es el mapa. La coordenada para cada nota se presenta en un gráfico de barras en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\). Coordenadas asociadas a cada nota de salida, tomadas de un MDS de las correlaciones del Cuadro 4-8. El sombreado refleja agrupaciones de notas como círculos de tercios mayores.

La primera regularidad evidente de la Figura\(\PageIndex{1}\) es que la mitad de las notas tienen coordenadas negativas, mientras que la otra mitad tiene coordenadas positivas. Es decir, los pesos de conexión del perceptrón separan las notas musicales en dos clases de igual tamaño. Estas clases reflejan una propiedad básica de las progresiones de acordes aprendidas por la red: todas las notas que tienen coordenadas positivas también se utilizaron como claves principales en las que se definió la progresión II-V-I, mientras que ninguna de las notas con coordenadas negativas se utilizó de esta manera.

Otra forma de ver las dos clases de notas reveladas por este análisis es en términos de los dos círculos de segundos mayores que se presentaron en la Figura 4.10.4. El primer círculo de segundos mayores contiene únicamente aquellas notas que tienen coordenadas positivas en la Figura\(\PageIndex{1}\). El otro círculo de segundos mayores captura el conjunto de notas que tienen coordenadas negativas en la Figura\(\PageIndex{2}\). En otras palabras, ¡la red de progresión del jazz actúa como si hubiera clasificado notas en cuanto a los círculos de los segundos mayores!

El orden en que se disponen las notas en el mapa unidimensional también se relaciona con los cuatro círculos de tercios mayores que se presentaron en la Figura 4.10.5. Las barras de la Figura\(\PageIndex{1}\) han sido coloreadas para revelar cuatro conjuntos de tres notas cada una. Cada uno de estos conjuntos de notas define un círculo de tercios mayores. El mapa MDS coloca las notas de tal manera que las notas de uno de esos círculos se enumeran en orden, seguidas de las notas de otro círculo de tercios mayores.

Para resumir, un formalismo musical es la progresión del jazz II-V-I. Curiosamente, este formalismo puede ser aprendido por una red a partir del Viejo Conexionismo, el perceptrón. A pesar de que esta red es simple, interpretar sus representaciones no es sencillo y requiere el uso de estadísticas multivariadas. Sin embargo, cuando se realiza dicho análisis, parece que la red captura las regularidades de esta progresión del jazz utilizando los extraños círculos que se encontraron en la sección anterior sobre clasificación de acordes. Es decir, los pesos de conexión del perceptrón revelan círculos de segundos mayores y círculos de tercios mayores.