2.1.1: Métodos para resolver funciones cuadráticas

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Factorización de polinomios en forma cuadrática

El volumen de un prisma rectangular es 10x ³ −25x ² −15x. ¿Cuáles son las longitudes de los lados del prisma?

Factorización de polinomios en forma cuadrática

El último tipo de polinomio factorizable son los que están en forma cuadrática. La forma cuadrática es cuando un polinomio se parece a un trinomio o binomio y se puede factorizar como un cuadrático. Un ejemplo es cuando un polinomio está en la forma ax ⁴ +bx ² +c. Otra posibilidad es algo similar a la diferencia de cuadrados, a ⁴ −b ⁴. Esto se puede factorizar a (a ² −b ²) (a ² +b ²) o (a−b) (a+b) (a ² +b ²). Siempre tenga en cuenta que los mayores factores comunes deben ser factorizados primero.

Vamos a factorizar los siguientes polinomios.

2x ⁴ −x ² −15
Este polinomio en particular es factorizable. Primero, ac=−30. Los factores de -30 que suman -1 son -6 y 5. Expandir el término medio y luego usar factorización por agrupación.

2x ⁴ −x ² −15

2x ⁴ −6x ² +5x ² −15

2x ² (x ² −3) +5 (x ² −3)

(x ² −3) (2x ² +5)

Ambos factores no son factorizables, así que ya terminamos.
81x ⁴ −16
Trata esta ecuación polinómica como una diferencia de cuadrados.

81x ⁴ −16

(9x ² −4) (9x ² +4)

Ahora, podemos factorizar 9x ² −4 usando la diferencia de cuadrados por segunda vez.

(3x−2) (3x+2) (9x ² +4)

9x ² +4 no se puede factorizar porque es una suma de cuadrados. Esto tendrá soluciones imaginarias.

Ahora, vamos a encontrar todas las soluciones de número real de 6x ⁵ −51x ³ −27x=0.

Primero, sacar el GCF entre los tres términos.

6x ⁵ −51x ³ −27x=0

3x (2x ⁴ −17x ² −9) =0

Factorizar lo que está dentro del paréntesis como una ecuación cuadrática. ac=−18 y los factores de -18 que suman -17 son -18 y 1. Expandir el término medio y luego usar factorización por agrupación.

6x ⁵ −51x ³ −27x=0

3x (2x ⁴ −17x ² −9) =0

3x (2x ⁴ −18x ² +x ² −9) =0

3x [2x ² (x ² −9) +1 (x ² −9)] =0

3x (x ² −9) (2x ² +1) =0

Factorizar x ² −9 más y resolver para x donde sea posible. 2x ² +1 no es factorizable.

3x (x ² −9) (2x ² +1) =0

3x (x−3) (x+3) (2x ² +1) =0

x=−3,0,3

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que encontrara las longitudes de los lados del prisma.

Solución

Para encontrar las longitudes de los lados del prisma, necesitamos factorizar 10x ³ −25x ² −15x.

Primero, sacar el GCF entre los tres términos.

10x ³ −25x ² −15x

5x (2x ² −5x−3)

Factorizar lo que está dentro del paréntesis como una ecuación cuadrática. ac=−6 y los factores de -6 que suman -5 son -6 y 1.

5x (2x ² −5x−3) =5x (2x+1) (x−3)

Por lo tanto, las longitudes de los lados del prisma rectangular son 5x, 2x+1 y x−3.

Ejemplo 2

Factor: 3x ⁴ +14x ² +8.

Solución

ac=24 y los factores de 24 que suman 14 son 12 y 2.

3x ⁴ +14x ² +8

3x ⁴ +12x ² +2x ² +8

3x ² (x ² +4) +2 (x ⁴ +4)

(x ² +4) (3x ² +2)

Ejemplo 3

Factor: 36x ⁴ −25.

Solución

Factorizar este polinomio como una diferencia de cuadrados.

36x ⁴ −25

(6x ² −5) (6x ² +5)

6 y 5 no son números cuadrados, por lo que esto no se puede factorizar más.

Ejemplo 4

Encuentra todas las soluciones de número real de 8x ⁵ +26x ³ −24x=0.

Solución

Saca un 2x de cada término.

8x ⁵ +26x ³ −24x=0

2x (4x ⁴ +13x−12) =0

2x (4x ⁴ +16x ² −3x ² −12) =0

2x [4x ² (x ² +4) −3 (x ² +4)] =0

2x (x ² +4) (4x ² −3) =0

Establezca cada factor igual a cero.

4x ² −3=0

2x=0

x ² +4=0

y x ² =\(\ 3 \over 4\)

x=0

x ² =−4

x=±\(\ \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Observe que el segundo factor dará soluciones imaginarias.

Revisar

Factorizar completamente las siguientes cuadráticas.

x ⁴ −6x ² +8
x ⁴ −4x ² −45
x ⁴ −18x ² +45
4x ⁴ −11x ² −3
6x ⁴ +19x ² +8
x ⁴ −81
16x ⁴ −1
6x ⁵ +26x ³ −20x
4x ⁶ −36x ²
625−81x ⁴

Encuentre todas las soluciones de números reales para los polinomios a continuación.

2x ⁴ −5x ² −12=0
x ⁴ −16=0
16x ⁴ −49=0
12x ⁶ +69x ⁴ +45x ² =0
3x ⁴ +17x ² −6=0

Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 6.8.

vocabulario

Término	Definición
Factor a resolver	“Factor a Resolver” es un método común para resolver ecuaciones cuadráticas que se logra factorizando un trinomio en dos binomios e identificando los valores de x que hacen que cada binomio sea igual a cero.
forma factorizada	La forma factorizada de una función cuadrática f (x) es f (x) =a (x−r ₁) (x−r ₂), donde r ₁ y r ₂ son las raíces de la función.
Factoring	Factorización es el proceso de dividir un número o expresión en un producto de números o expresiones más pequeños.
Forma cuadrática	Un polinomio en forma cuadrática parece trinomio o binomio y puede factorizarse como una expresión cuadrática.
función cuadrática	Una función cuadrática es una función que se puede escribir en la forma f (x) =ax ² +bx+c, donde a, b y c son constantes reales y a≠ 0.
Raíces	Las raíces de una función son los valores de x que hacen y igual a cero.
forma estándar	La forma estándar de una función cuadrática es f (x) =ax ² +bx+c.
Forma de vértice	La forma de vértice de una función cuadrática es y=a (x−h) ² +k, donde (h, k) es el vértice de la parábola.
Ceros de un polinomio	Los ceros de un polinomio f (x) son los valores de x que hacen que f (x) sea igual a cero.