3.1: Funciones exponenciales
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El crecimiento exponencial es una de las fuerzas más poderosas de la naturaleza. Una famosa leyenda afirma que al inventor del ajedrez se le pidió que declarara su propia recompensa del rey. El hombre pidió un solo grano de arroz para el primer cuadrado del tablero de ajedrez, dos granos de arroz para el segundo cuadrado y cuatro granos de arroz para el tercero. Pidió que se llenaran de esta manera las 64 plazas enteras y esa sería su recompensa. ¿El hombre pidió muy poco, o demasiado?
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales toman la forma\(f(x)=a \cdot b^{x}\) donde\(a\) y\(b\) son constantes. \(a\)es la cantidad inicial cuando\(x=0 . b\) cuenta la historia sobre el crecimiento. Si el crecimiento se está duplicando entonces\(b\) es 2. Si el crecimiento se está reduciendo a la mitad (lo que sería decaimiento), entonces\(b\) lo es\(\frac{1}{2}\). Si el crecimiento está aumentando para\(6 \%\) entonces\(b\) es 1.06
El crecimiento exponencial está en todas partes. El dinero crece exponencialmente en los bancos. Las poblaciones de personas, bacterias y animales crecen exponencialmente cuando su comida y espacio no están limitados.
Los isótopos radiactivos como el carbono 14 tienen algo llamado vida media que indica cuánto tiempo tarda la mitad de las moléculas presentes en desintegrarse en otras moléculas más estables. Se necesitan alrededor de 5.730 años para que ocurra este proceso que es como los científicos pueden fechar artefactos de humanos antiguos.
Digamos que un animal momificado se encuentra conservado en las laderas de una montaña cubierta de hielo. Después de las pruebas, ves que exactamente una cuarta parte del carbono-14 aún no se ha descompuesto y quieres saber cuánto tiempo hace que estuvo vivo este animal. ¿Cómo harías eso?
Dado que este problema no da cantidades específicas de carbono, se puede inferir que el tiempo no dependerá de las cantidades específicas. Una técnica que facilita el trabajo con el problema podría ser crear un escenario de ejemplo que se ajuste a la proporción de un cuarto. Supongamos que 60 unidades estaban presentes cuando el animal estaba vivo en el tiempo cero. Esto quiere decir que hoy deben estar presentes 15 unidades.
\(15=a \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\)
\(60=a \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\)
La segunda ecuación rinde\(a=60\) y luego la primera ecuación se convierte en:
\(15=60 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\)
Aunque es posible que aún no tengas las herramientas algebraicas para resolver\(x\), aún deberías poder ver que\(x\) es\(2 .\) Esto no quiere decir que hace dos años el animal estuviera vivo, significa que hace dos ciclos de vida media el animal estaba vivo. El ciclo de vida media para el carbono 14 es de 5,730 años por lo que este animal estaba vivo hace más de 11 mil años.
Ahora, supongamos que invirtiste 100 dólares el día que naciste y crecía 6% cada año hasta los 100 años. ¿Cómo usarías una función exponencial para determinar cuánto valdría entonces esta inversión?
El monto inicial es de 100 y el crecimiento es de 1.06 porque crece\(6 \%\) cada año. Esta es información suficiente para escribir una función exponencial. Las\(x\) gradas por tiempo en años y las\(f(x)\) gradas por la cantidad de dinero en la cuenta. Conectando a la fórmula para una función exponencial, obtendrá la ecuación:
\(f(x)=100 \cdot 1.06^{x}\)
Entonces, hay que sustituir en 100 años por\(x\).
\(f(x)=100 \cdot 1.06^{x}\)
\(f(x)=100 \cdot 1.06^{100}\)
\(f(x) \approx 33,930.21\)
Después de un siglo, habrá casi 34 mil dólares en la cuenta. El interés ha incrementado en gran medida la inversión inicial de $100.
Ejemplos
Anteriormente se le preguntó si el hombre le pedía muy poco o demasiado arroz si obtiene un grano para el primer cuadrado, dos granos para el segundo, cuatro granos para el tercero y así sucesivamente. El número de granos de arroz en la última plaza, la plaza 64, sería de casi diez quintillones (millones de millones de millones). Eso es más arroz del que se produce en el mundo en todo un año.
\(2^{63}=9,223,372,036,854,775,808\)
Supongamos que cuarenta conejos son liberados en una isla. Los conejos se aparean una vez cada cuatro meses y producen hasta 4 crías que también producen más crías cuatro meses después. Estimar el número de conejos en la isla en 3 años si su población crece exponencialmente. Suponga que la mitad de la población es femenina.
A pesar de que partes de este problema no son realistas, sirve para ilustrar la rapidez con que funciona el crecimiento exponencial. Cuarenta es la cantidad inicial así\(a=40\). Al final del primer periodo de 4 meses, 20 conejos hembras podrían tener sus camadas y podrían nacer hasta 80 conejos recién nacidos. La población ha crecido de 40 a 120 lo que significa que se triplicó. Por lo tanto,\(b=3\). Lo último que hay que recordar es que el periodo de tiempo es en periodos de 4 meses. Tres años deben ser 9 periodos.
\(f(x)=40 \cdot 3^{9}=787,320\)
Entonces, después de tres años, ¡podría haber hasta 787.320 conejos!
Analizar completamente la siguiente función exponencial.
\(f(x)=e^{x}\)
Analizar en este contexto significa definir todas las características de una función.
Dominio:\(x \in(-\infty, \infty)\)
Rango:\(y \in(0, \infty)\)
Incrementando:\(x \in(-\infty, \infty)\)
Disminución: NA
Ceros: Ninguno
Intercepciones: (0,1)
Máximos: Ninguno
Mínimos: Ninguno
Asíntotas:\(y=0\) como\(x\) se vuelve infinitamente pequeña (asíntota horizontal)
Agujeros: Ninguno
Identificar cuáles de las siguientes funciones son funciones exponenciales y cuáles no.
1. \(y=x^{6}\)
2. \(y=5^{x}\)
3. \(y=1^{x}\)
4. \(y=x^{x}\)
5. \(y=x^{\frac{1}{2}}\)
Las funciones exponenciales son de la forma\(y=a \cdot b^{x}\)
a. no\(y=x^{6}\) es una función exponencial porque no\(x\) está en el exponente.
b. Función\(y=5^{x}\) exponencial.
c.\(y=1^{x}\) No es una verdadera función exponencial porque siempre\(y\) es 1 que es una función constante.
d.\(y=x^{x}\) No es una función exponencial porque\(x\) es tanto la base como la potencia del exponente.
e.\(y=x^{\frac{1}{2}}\) No es una función exponencial.
Escribe la función exponencial que pasa por los siguientes puntos:\((0,3),\left(1, \frac{3}{e}\right)\)
El número inicial es\(a=3\). Este número se cambia por un factor del\(\frac{1}{e}\) cual es\(b\).
\(f(x)=3\left(\frac{1}{e}\right)^{x}=3 e^{-x}\)
Revisar
1. Explicar qué hace de una función una función exponencial. ¿Qué aspecto tiene su ecuación?
2. ¿El dominio para todas las funciones exponenciales es todos números reales?
3. ¿Cómo se puede decir a partir de su ecuación si va a aumentar o no la gráfica de una función exponencial?
4. ¿Cómo se puede decir a partir de su ecuación si la gráfica de una función exponencial va a disminuir o no?
5. ¿Qué tipo de asíntotas tienen las funciones exponenciales? Explique.
6. Supongamos que invirtió $4,500 y creció 4% cada año durante 30 años. ¿Cuánto valdría esta inversión después de 30 años?
7. Supongamos que invirtió 10,000 dólares y creció 12% cada año durante 40 años. ¿Cuánto valdría esta inversión después de 40 años?
Escribe la función exponencial que pasa por los siguientes puntos.
8. (0, 5) y (1, 25)
9. (0, 2) y (1, 8)
10. (0, 16) y (2, 144)
11. (1, 4) y (3, 36)
12. (0, 16) y (3, 2)
13. (0, 81) y (2, 9)
14. (1, 144) y (3, 12)
15. Explique por qué para las funciones exponenciales de\(y=a \cdot b^{x}\) la forma la\(y\) -intercepción es siempre el valor de
\(a\)