3.5: Cambio de Base
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Si bien es posible cambiar bases volviendo siempre a la forma exponencial, es más eficiente averiguar cómo cambiar la base de logaritmos en general. ya que solo hay logaritmos base\(e\) y base 10 en la mayoría de las calculadoras, ¿cómo evaluarías una expresión como\(\log _{3} 12\)?
Cambio de la base de logaritmos
El cambio de propiedad base establece:
\(\log _{b} x=\frac{\log _{a} x}{\log _{a} b}\)
Puede derivar esta fórmula convirtiendo\(\log _{b} x\) a forma exponencial y luego tomando la base logarítmica\(x\) de ambos lados. Esto se muestra a continuación.
\(\begin{aligned} \log _{b} x &=y \\ b^{y} &=x \\ \log _{a} b^{y} &=\log _{a} x \\ y \log _{a} b &=\log _{a} x \\ y &=\frac{\log _{a} x}{\log _{a} b} \end{aligned}\)
Por lo tanto,\(\log _{b} x=\frac{\log _{a} x}{\log _{a} b}\)
Si tuvieras que evaluar\(\log _{3} 4\) usando tu calculadora, es posible que necesites usar el cambio de fórmula base ya que algunas calculadoras solo tienen base 10 o base\(e\). El resultado sería:
\(\log _{3} 4=\frac{\log _{10} 4}{\log _{10} 3}=\frac{\ln 4}{\ln 3} \approx 1.262\)
Ejemplos
Anteriormente, se le preguntó cómo usar una calculadora para evaluar una expresión como\(\log _{3} 12\). Para evaluar una expresión como\(\log _{3} 12\) tienes algunas opciones en tu calculadora:
\(\frac{\ln 12}{\ln 3}=\frac{\log 12}{\log 3} \approx 2.26\)
Algunas calculadoras gráficas también tienen otra opción. Presiona el MATH seguido de los botones A e ingresa\(\log _{3} 12\)
Demostrar la siguiente identidad de registro.
\(\log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a}\)
\(\log _{a} b=\frac{\log _{x} b}{\log _{x} a}=\frac{1}{\frac{\log _{x} a}{\log _{x} b}}=\frac{1}{\log _{b} a}\)
Simplifique a un resultado exacto:\(\left(\log _{4} 5\right) \cdot\left(\log _{3} 4\right) \cdot\left(\log _{5} 81\right) \cdot\left(\log _{5} 25\right)\)
\(\frac{\log 5}{\log 4} \cdot \frac{\log 4}{\log 3} \cdot \frac{\log 3^{4}}{\log 5} \cdot \frac{\log 5^{2}}{\log 5}=\frac{\log 5}{\log 4} \cdot \frac{\log 4}{\log 3} \cdot \frac{4 \cdot \log 3}{\log 5} \cdot \frac{2 \cdot \log 5}{\log 5}=4 \cdot 2=8\)
Evaluar:\(\log _{2} 48-\log _{4} 36\)
\(\begin{aligned} \log _{2} 48-\log _{4} 36 &=\frac{\log 48}{\log 2}-\frac{\log 36}{\log 4} \\ &=\frac{\log 48}{\log 2}-\frac{\log 6^{2}}{\log 2^{2}} \\ &=\frac{\log 48}{\log 2}-\frac{2 \cdot \log 6}{2 \cdot \log 2} \\ &=\frac{\log 48-\log 6}{\log 2} \\ &=\frac{\log \left(\frac{48}{6}\right)}{\log 2} \\ &=\frac{\log 8}{\log 2} \\ &=\frac{\log 2^{3}}{\log 2} \\ &=\frac{3 \cdot \log 2}{\log 2} \\ &=3 \end{aligned}\)
Dado\(\log _{3} 5 \approx 1.465\) hallazgo\(\log _{25} 27\) sin usar un botón de registro en la calculadora.
\(\log _{25} 27=\frac{\log 3^{3}}{\log 5^{2}}=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\left(\frac{\log 5}{\log 3}\right)}=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\log _{3} 5} \approx \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1.465}=1.0239\)
Revisar
Evalúa cada expresión cambiando la base y usando tu calculadora.
1. \(\log _{6} 15\)
2. \(\log _{9} 12\)
3. \(\log _{5} 25\)
Evaluar cada expresión.
4. \(\log _{8}\left(\log _{4}\left(\log _{3} 81\right)\right)\)
5. \(\log _{2} 3 \cdot \log _{3} 4 \cdot \log _{6} 16 \cdot \log _{4} 6\)
6. \(\log 125 \cdot \log _{9} 4 \cdot \log _{4} 81 \cdot \log _{5} 10\)
7. \(\log _{5}\left(5^{\log _{5} 125}\right)\)
8. \(\log \left(\log _{6}\left(\log _{2} 64\right)\right)\)
9. \(10^{\log _{100} 9}\)
10. \(\left(\log _{4} x\right)\left(\log _{x} 16\right)\)
11. \(\log _{49} 49^{5}\)
12. \(3 \log _{24} 24^{8}\)
13. \(4^{\log _{2} 3}\)
Demostrar las siguientes propiedades de logaritmos.
14. \(\left(\log _{a} b\right)\left(\log _{b} c\right)=\log _{a} c\)
15. \(\left(\log _{a} b\right)\left(\log _{b} c\right)\left(\log _{c} d\right)=\log _{a} d\)