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LibreTexts Español

4.5.4: Productos y cocientes de números complejos

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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Multiplicar y dividir números complejos

    El señor Marchz dibuja un triángulo en la pizarra. Él etiqueta la altura\(\ (2+3 i)\) y la base\(\ (2-4 i)\). “Encuentra el área del triángulo”, dice. (Recordemos que el área de un triángulo es\(\ A=\frac{1}{2} b h\),\(\ b\) es la longitud de la base y h es la longitud de la altura.)


    Multiplicar y dividir números complejos

    Al multiplicar números complejos, ALIMINAR los dos números juntos y luego combinar términos similares. Al final, habrá un\(\ i^{2}\) término. Recordemos eso\(\ i^{2}=-1\) y seguir simplificando.

    Simplifiquemos las siguientes expresiones.

    1. Simplificar\(\ 6 i(1-4 i)\).

      Distribuir el\(\ 6i\) a ambas partes dentro del paréntesis.

      Sustituir\(\ i^{2}=-1\) y simplificar aún más.

      \ (\\ begin {array} {l}
      =6 i-24 (-1)\\
      =24+6 i
      \ end {array}\)

      Recuerda poner siempre la parte real primero.

      \(\ (5-2 i)(3+8 i)\)

      FOIL los dos términos juntos.

      \ (\\ comenzar {alineado}
      (5-2 i) (3+8 i) &=15+40 i-6 i-16 i^ {2}\\
      &=15+34 i-16 i^ {2}
      \ end {alineado}\)

      Sustituir\(\ i^{2}=-1\) y simplificar aún más.

      \ (\\ begin {array} {l}
      =15+34 i-16 (-1)\\
      =15+34 i+16\\
      =31+34 i
      \ end {array}\)

      Dividir números complejos es un poco más complicado. Similar a los números irracionales, los números complejos no pueden estar en el denominador de una fracción. Para deshacernos del número complejo en el denominador, necesitamos multiplicar por el conjugado complejo. Si un número complejo tiene la forma\(\ a+bi\), entonces su conjugado complejo es\(\ a−bi\). Por ejemplo, el complejo conjugado de\(\ −6+5i\) sería\(\ −6−5i\). Por lo tanto, en lugar de dividir números complejos, multiplicamos por el conjugado complejo.

    2. Simplificar\(\ \frac{8-3 i}{6 i}\).

      En el caso de dividir por un número imaginario puro, solo hace falta multiplicar la parte superior e inferior por ese número. Entonces, usa la multiplicación para simplificar.

      \ (\\ comenzar {alineado}
      \ frac {8-3 i} {6 i}\ cdot\ frac {6 i} {6 i} &=\ frac {48 i-18 i^ {2}} {36 i^ {2}}\\
      &=\ frac {18+48 i} {-36}\
      &=\ frac {18} {-36} +\ frac {48} {-36} i\\
      &=-\ frac {1} {2} -\ frac {4} {3} i
      \ end {alineado}\)

      Cuando el número complejo contenga fracciones, escriba el número en forma estándar, manteniendo separadas las partes real e imaginaria. Reduzca ambas fracciones por separado.

    3. Simplificar\(\ \frac{3-5 i}{2+9 i}\).

      Ahora estamos dividiendo por\(\ 2+9 i\), así que tendremos que multiplicar la parte superior e inferior por el conjugado complejo,\(\ 2-9 i\).

      \ (\\ comenzar {alineado}
      \ frac {3-5 i} {2+9 i}\ cdot\ frac {2-9 i} {2-9 i} &=\ frac {6-27 i-10 i+45 i^ {2}} {4-18 i+18 i-81 i^ {2}}\\
      &=\ frac {6-37 i-45} {4+81}\\
      &=\ frac {-39-37 i} {85}\\
      &=-\ frac {39} {85} -\ frac {37} {85} i
      \ end {alineado}\)

      Observe, al multiplicar por el conjugado complejo, el denominador se convierte en un número real y se puede dividir la fracción en sus partes real e imaginaria.

      En los tres problemas anteriores, sustituimos\(\ i^{2}=-1\) para simplificar aún más la fracción.

      Tu respuesta final nunca debe tener ningún poder\(\ i\) superior a 1.


    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Antes, se le pidió que encontrara el área del triángulo.

    Solución

    El área del triángulo es\(\ \frac{(2+3 i)(2-4 i)}{2}\) así ALUMINAR los dos términos juntos y dividir por 2.

    \ (\\ begin {alineado}
    (2+3 i) (2-4 i) =4-8 i+6 i-12 i^ {2} &\\
    &=4-2 i-12 i^ {2}
    \ end {alineado}\)

    Sustituir\(\ i^{2}=-1\) y simplificar aún más.

    \ (\\ begin {array} {l}
    =4-2 i-12 (-1)\\
    =4-2 i+12\\
    =16-2 i
    \ end {array}\)

    Ahora divide este producto por 2.

    \(\ \frac{16-2 i}{2}=8-i\)

    Por lo tanto el área del triángulo es\(\ 8-i\).

    Ejemplo 2

    ¿De qué es el complejo conjugado\(\ 7-5 i\)?

    Solución

    \(\ 7+5 i\)

    Ejemplo 3

    Simplifica la siguiente expresión compleja:\(\ (7-4 i)(6+2 i)\).

    Solución

    FOIL las dos expresiones.

    \ (\\ comenzar {alineado}
    (7-4 i) (6+2 i) &=42+14 i-24 i-8 i^ {2}\\
    &=42-10 i+8\\
    &=50-10 i
    \ end {alineado}\)

    Ejemplo 4

    Simplifica la siguiente expresión compleja:\(\ \frac{10-i}{5 i}\).

    Solución

    Multiplica el numerador y el denominador por\(\ 5 i\)

    \ (\\ comenzar {alineado}
    \ frac {10-i} {5 i}\ cdot\ frac {5 i} {5 i} &=\ frac {50 i-5 i^ {2}} {25 i^ {2}}\\
    &=\ frac {5+50 i} {-25}\
    &=\ frac {5} {-25} +\ frac {50} {-25} i\\
    &=-\ frac {1} {5} -2 i
    \ end {alineado}\)

    Ejemplo 5

    Simplifica la siguiente expresión compleja:\(\ \frac{8+i}{6-4 i}\).

    Solución

    Multiplique el numerador y denominador por el conjugado complejo,\(\ 6+4 i\).

    \ (\\ comenzar {alineado}
    \ frac {8+i} {6-4 i}\ cdot\ frac {6+4 i} {6+4 i} &=\ frac {48+32 i+6 i+4 i^ {2}} {36+24 i-24 i-16 i^ {2}}\\
    &=\ frac {48+38 i-4} {36+16}\\
    &= frac {44+38 i} {52}\\
    &=\ frac {44} {52} +\ frac {38} {52} i\\
    &=\ frac {11} { 13} +\ frac {19} {26} i
    \ end {alineado}\)


    Revisar

    Simplifica las siguientes expresiones. Escribe tus respuestas en forma estándar.

    1. \(\ i(2-7 i)\)
    2. \(\ 8 i(6+3 i)\)
    3. \(\ -2 i(11-4 i)\)
    4. \(\ (9+i)(8-12 i)\)
    5. \(\ (4+5 i)(3+16 i)\)
    6. \(\ (1-i)(2-4 i)\)
    7. \(\ 4 i(2-3 i)(7+3 i)\)
    8. \(\ (8-5 i)(8+5 i)\)
    9. \(\ \frac{4+9 i}{3 i}\)
    10. \(\ \frac{4+9 i}{3 i}\)
    11. \(\ \frac{7+12 i}{-5 i}\)
    12. \(\ \frac{4-2 i}{6-6 i}\)
    13. \(\ \frac{2-i}{2+i}\)
    14. \(\ \frac{10+8 i}{2+4 i}\)
    15. \(\ \frac{14+9 i}{7-20 i}\)

    Respuestas para problemas de revisión

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 5.9.


    El vocabulario

    Término Definición
    número complejo Un número complejo es la suma de un número real y un número imaginario, escritos en la forma\(\ a+bi\).

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