7.5.1: Teorema Binomial y Expansiones
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Teorema binomial
El Teorema Binomial te dice cómo expandir un binomio tal como (2x−3)5 sin tener que computar la distribución repetida. ¿Cuál es la versión ampliada de (2x−3)5?
Introducción al Teorema Binomial
El Teorema Binomial establece:
\ (\ (a+b) ^ {n} =\ suma_ {i=0} ^ {n}\ izquierda (\ begin {array} {l}
n\\
i
\ end {array}\ derecha) a^ {i} b^ {n-i}\)
Escribir algunos términos del símbolo de suma te ayuda a entender cómo funciona este teorema:
\ (\ (a+b) ^ {n} =\ left (\ begin {array} {c}
n\\
0
\ end {array}\ right) a^ {n} +\ left (\ begin {array} {c}
n\\
1
\ end {array}\ right) a^ {n-1} b^ {1} +\ left (\ begin {array} {c}
n\\
2
\ end {array}\ derecha ) a^ {n-2} b^ {2} +\ cdots+\ izquierda (\ begin {array} {c}
n\\
n
\ end {array}\ derecha) b^ {n}\)
Al pasar de un término a otro en la expansión, debes notar que los exponentes de a disminución mientras que los exponentes de b incremento. También debes notar que los coeficientes de cada término son combinaciones. Recordemos que\ (\\ left (\ begin {array} {l}
n\\
0
\ end {array}\ right)\) es el número de formas de elegir objetos de un conjunto de n objetos.
Toma el siguiente binomio:
(m−n)6
Se puede ampliar usando el Teorema Binomial:
\ (\\ begin {aligned}
(m-n) ^ {6} =&\ left (\ begin {array} {c}
6\\
0
\ end {array}\ right) m^ {6} +\ left (\ begin {array} {c}
6\\
1
\ end {array}\ right) m^ {5} (-n) ^ {1} +\ left (\ begin {array} c {}
6\\
2
\ end {array}\ derecha) m^ {4} (-n) ^ {2} +\ izquierda (\ begin {array} {c}
6\\
3
\ end {array}\ derecha) m^ {3} (-n) ^ {3}\\
&+\ left (\ begin {array} {c}
6\\
4
\ end {array}\ derecha) m^ {2} (-n) ^ {4} +\ left (\ begin {array} {c}
6\\
5
\ end {array}\ right) m^ {1} (-n) ^ {5} +\ left (\ begin {array} {c}
6\\
6
\ end {array}\ derecha) (-n) ^ {6}\\
=& 1 m^ {6} -6 m^ {5} n+15 m^ {4} n^ {2} m^ {3} n^ {3} +15 m^ {2} n^ {4} -6 m^ {1} n^ {5} +1 n^ {6}
\ final {alineado}\)
Tenga mucho cuidado al trabajar con binomios de la forma (a−b)n. Necesitas recordar capturar lo negativo con el segundo término a medida que escribes la expansión: (a−b)n=(a+(−b))n.
Otra forma de pensar sobre los coeficientes en el Teorema Binomial es que son los números del Triángulo de Pascal. Mira las expansiones de (a+b)n abajo y observa cómo los coeficientes de los términos son los números en el Triángulo de Pascal.
\ (\\ begin {array} {c}
(a+b) ^ {0} =1\\
(a+b) ^ {1} =1 a+1 b\\
(a+b) ^ {2} =1 a^ {2} +2 a b+1 b^ {2}\\
(a+b) ^ {3} =1 a^ {3} +3 a^ {2} b+3 a b^ {2} +1 b^ {3} +3 a b^ {2} +1 b^ {3} +3 a b^ {2} +1 b^ {3}}\\
(a+b) ^ {4} =1 a^ {4} +4 a^ {3} b+6 a^ {2} b^ {2} +4 a b^ {3} +1 b^ {4}\
\ vdots
\ end {array}\)
Ejemplos
Antes, se le pidió que se expandiera (2x−3)5. La versión ampliada de (2x−3)5 es:
Solución
\ (\\ begin {aligned}
(2 x-3) ^ {5} =&\ left (\ begin {array} {c}
5\\
0
\ end {array}\ right) (2 x) ^ {5} +\ left (\ begin {array} {c}
5\\
1
\ end {array}\ derecha) (2 x) ^ {4} (-3) ^ {1} +\ izquierda (\ comenzar {matriz} {c}
5\\
2
\ end {array}\ derecha) (2 x) ^ {3} (-3) ^ {2}\\
&+\ left (\ begin {array} {c}
5\\
3
\ end {array}\ right) (2 x) ^ {2} (-3) ^ {3} +\ left (\ begin {array} {c}
5\\
4
\ end {array}\ right) (2 x) ^ {1} (-3) ^ {4} +\ izquierda (\ begin {array} {c}
5\
5
\ end {array}\ derecha) (-3) ^ {6}\\
=& (2 x) ^ {5} +5 (2 x) ^ {4} (-3) ^ {1} +10 (2 x) ^ {3} (-3) ^ {2}\\
&+10 (2 x) ^ {2} (-3) ^ {3} +5 (2 x) ^ {1} (-3) ^ {4} + (-3) ^ {5}\\
=& 32 x^ {5} -240 x^ {4} +720 x^ {3 } -1080 x^ {2} +810 x-243
\ final {alineado}\)
¿Cuál es el coeficiente del término x7y9 en la expansión del binomio (x+y)16?
Solución
El Teorema Binomial permite calcular solo el coeficiente que necesita.
\ (\\ izquierda (\ begin {array} {c}
16\\
9
\ end {array}\ derecha) =\ frac {16!} {9! ¡7!} =\ frac {16\ cdot 15\ cdot 14\ cdot 13\ cdot 12\ cdot 11\ cdot 10} {7\ cdot 6\ cdot 5\ cdot 4\ cdot 3\ cdot 2\ cdot 1} =11.440\)
¿Cuál es el coeficiente de x6 en la expansión de (4−3x)7?
Solución
Para este problema debes calcular todo el término, ya que el 3 y el 4 in (3−4x) impactarán también en el coeficiente de x6.\ (\\ left (\ begin {array} {l}
7\\
6
\ end {array}\ right) 4^ {1} (-3 x) ^ {6} =7\ cdot 4\ cdot 729 x^ {6} =20,412 x^ {6}\). El coeficiente es de 20,412.
Calcule la siguiente suma.
\ (\\ suma_ {i=0} ^ {4}\ izquierda (\ begin {array} {l}
4\\
i
\ end {array}\ derecha)\)
Solución
Esto es pedir\ (\\ left (\ begin {array} {l}
4\\
0
\ end {array}\ right) +\ left (\ begin {array} {l}
4\\
1
\ end {array}\ right) +\ cdots+\ left (\ begin {array} {l}
4\\
4
\ end {array}\ right)\), que son la suma de todos los coeficientes de (a+b)4.
1+4+6+4+1=16
Contraer el siguiente polinomio usando el Teorema Binomial.
32x5−80x4+80x3−40x2+10x−1
Solución
Ya que el último término es -1 y la potencia en el primer término es un 5 se puede concluir que la segunda mitad del binomio es (?−1)5. El primer término es positivo y (2x)5=32x5, por lo que el primer término en el binomio debe serlo 2x. El binomio es (2x−1)5.
Revisar
Expande cada uno de los siguientes binomios usando el Teorema Binomial.
- (x−y)4
- (x−3y)5
- (2x+4y)7
- ¿Cuál es el coeficiente de x4 in (x−2)7?
- ¿Cuál es el coeficiente de x3y5 in (x+y)8?
- ¿Cuál es el coeficiente de x5 in (2x−5)6?
- ¿Cuál es el coeficiente de y2
- ¿Cuál es el coeficiente de x2y6 in (2x+y)8?
- ¿Cuál es el coeficiente de x3y4 in (5x+2y)7?
Calcule las siguientes sumatorias.
- \ (\\ suma_ {i=0} ^ {9}\ izquierda (\ begin {array} {l}
9\\
i
\ end {array}\ derecha)\) - \ (\\ suma_ {i=0} ^ {12}\ izquierda (\ begin {array} {c}
12\\
i
\ end {array}\ derecha)\) - \ (\\ suma_ {i=0} ^ {8}\ izquierda (\ begin {array} {l}
8\\
i
\ end {array}\ derecha)\)
Contraer los siguientes polinomios usando el Teorema Binomial.
- 243x5−405x4+270x3−90x2=15x−1
- x7−7x6y+21x5y2−35x4y3+35x3y4−21x2y5+7xy6−y7
- 128x7−448x6y+672x5y2−560x4y3+280x3y4−84x2y5+14xy6−y7
Reseña (Respuestas)
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vocabulario
Término | Definición |
---|---|
combinación | Las combinaciones son disposiciones distintas de un número específico de objetos sin tener en cuenta el orden de selección de un conjunto especificado. |
Atribuciones de imagen
- [Figura 1]
Crédito: Fundación CK-12; Desconocido
Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blaise_Pascal_Versailles.JPG
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