7.5.1: Teorema Binomial y Expansiones

Teorema binomial

El Teorema Binomial te dice cómo expandir un binomio tal como\(\ (2 x-3)^{5}\) sin tener que computar la distribución repetida. ¿Cuál es la versión ampliada de\(\ (2 x-3)^{5}\)?

---

Introducción al Teorema Binomial

El Teorema Binomial establece:

\ (\ (a+b) ^ {n} =\ suma_ {i=0} ^ {n}\ izquierda (\ begin {array} {l}
n\\
i
\ end {array}\ derecha) a^ {i} b^ {n-i}\)

Escribir algunos términos del símbolo de suma te ayuda a entender cómo funciona este teorema:

\ (\ (a+b) ^ {n} =\ left (\ begin {array} {c}
n\\
0
\ end {array}\ right) a^ {n} +\ left (\ begin {array} {c}
n\\
1
\ end {array}\ right) a^ {n-1} b^ {1} +\ left (\ begin {array} {c}
n\\
2
\ end {array}\ derecha ) a^ {n-2} b^ {2} +\ cdots+\ izquierda (\ begin {array} {c}
n\\
n
\ end {array}\ derecha) b^ {n}\)

Al pasar de un término a otro en la expansión, debes notar que los exponentes de\(\ a\) disminución mientras que los exponentes de\(\ b\) incremento. También debes notar que los coeficientes de cada término son combinaciones. Recordemos que\ (\\ left (\ begin {array} {l}
n\\
0
\ end {array}\ right)\) es el número de formas de elegir objetos de un conjunto de\(\ n\) objetos.

Toma el siguiente binomio:

\(\ (m-n)^{6}\)

Se puede ampliar usando el Teorema Binomial:

\ (\\ begin {aligned}
(m-n) ^ {6} =&\ left (\ begin {array} {c}
6\\
0
\ end {array}\ right) m^ {6} +\ left (\ begin {array} {c}
6\\
1
\ end {array}\ right) m^ {5} (-n) ^ {1} +\ left (\ begin {array} c {}
6\\
2
\ end {array}\ derecha) m^ {4} (-n) ^ {2} +\ izquierda (\ begin {array} {c}
6\\
3
\ end {array}\ derecha) m^ {3} (-n) ^ {3}\\
&+\ left (\ begin {array} {c}
6\\
4
\ end {array}\ derecha) m^ {2} (-n) ^ {4} +\ left (\ begin {array} {c}
6\\
5
\ end {array}\ right) m^ {1} (-n) ^ {5} +\ left (\ begin {array} {c}
6\\
6
\ end {array}\ derecha) (-n) ^ {6}\\
=& 1 m^ {6} -6 m^ {5} n+15 m^ {4} n^ {2} m^ {3} n^ {3} +15 m^ {2} n^ {4} -6 m^ {1} n^ {5} +1 n^ {6}
\ final {alineado}\)

Tenga mucho cuidado al trabajar con binomios de la forma\(\ (a-b)^{n}\). Necesitas recordar capturar lo negativo con el segundo término a medida que escribes la expansión:\(\ (a-b)^{n}=(a+(-b))^{n}\).

Otra forma de pensar sobre los coeficientes en el Teorema Binomial es que son los números del Triángulo de Pascal. Mira las expansiones de\(\ (a+b)^{n}\) abajo y observa cómo los coeficientes de los términos son los números en el Triángulo de Pascal.

\ (\\ begin {array} {c}
(a+b) ^ {0} =1\\
(a+b) ^ {1} =1 a+1 b\\
(a+b) ^ {2} =1 a^ {2} +2 a b+1 b^ {2}\\
(a+b) ^ {3} =1 a^ {3} +3 a^ {2} b+3 a b^ {2} +1 b^ {3} +3 a b^ {2} +1 b^ {3} +3 a b^ {2} +1 b^ {3}}\\
(a+b) ^ {4} =1 a^ {4} +4 a^ {3} b+6 a^ {2} b^ {2} +4 a b^ {3} +1 b^ {4}\
\ vdots
\ end {array}\)

---

Ejemplos

Ejemplo 1

Antes, se le pidió que se expandiera\(\ (2 x-3)^{5}\). La versión ampliada de\(\ (2 x-3)^{5}\) es:

Solución

\ (\\ begin {aligned}
(2 x-3) ^ {5} =&\ left (\ begin {array} {c}
5\\
0
\ end {array}\ right) (2 x) ^ {5} +\ left (\ begin {array} {c}
5\\
1
\ end {array}\ derecha) (2 x) ^ {4} (-3) ^ {1} +\ izquierda (\ comenzar {matriz} {c}
5\\
2
\ end {array}\ derecha) (2 x) ^ {3} (-3) ^ {2}\\
&+\ left (\ begin {array} {c}
5\\
3
\ end {array}\ right) (2 x) ^ {2} (-3) ^ {3} +\ left (\ begin {array} {c}
5\\
4
\ end {array}\ right) (2 x) ^ {1} (-3) ^ {4} +\ izquierda (\ begin {array} {c}
5\
5
\ end {array}\ derecha) (-3) ^ {6}\\
=& (2 x) ^ {5} +5 (2 x) ^ {4} (-3) ^ {1} +10 (2 x) ^ {3} (-3) ^ {2}\\
&+10 (2 x) ^ {2} (-3) ^ {3} +5 (2 x) ^ {1} (-3) ^ {4} + (-3) ^ {5}\\
=& 32 x^ {5} -240 x^ {4} +720 x^ {3 } -1080 x^ {2} +810 x-243
\ final {alineado}\)

Ejemplo 2

¿Cuál es el coeficiente del término\(\ x^{7} y^{9}\) en la expansión del binomio\(\ (x+y)^{16}\)?

Solución

El Teorema Binomial permite calcular solo el coeficiente que necesita.

\ (\\ izquierda (\ begin {array} {c}
16\\
9
\ end {array}\ derecha) =\ frac {16!} {9! ¡7!} =\ frac {16\ cdot 15\ cdot 14\ cdot 13\ cdot 12\ cdot 11\ cdot 10} {7\ cdot 6\ cdot 5\ cdot 4\ cdot 3\ cdot 2\ cdot 1} =11.440\)

Ejemplo 3

¿Cuál es el coeficiente de\(\ x^{6}\) en la expansión de\(\ (4-3 x)^{7}\)?

Solución

Para este problema debes calcular todo el término, ya que el 3 y el 4 in\(\ (3-4 x)\) impactarán también en el coeficiente de\(\ x^{6}\).\ (\\ left (\ begin {array} {l}
7\\
6
\ end {array}\ right) 4^ {1} (-3 x) ^ {6} =7\ cdot 4\ cdot 729 x^ {6} =20,412 x^ {6}\). El coeficiente es de 20,412.

Ejemplo 4

Calcule la siguiente suma.

\ (\\ suma_ {i=0} ^ {4}\ izquierda (\ begin {array} {l}
4\\
i
\ end {array}\ derecha)\)

Solución

Esto es pedir\ (\\ left (\ begin {array} {l}
4\\
0
\ end {array}\ right) +\ left (\ begin {array} {l}
4\\
1
\ end {array}\ right) +\ cdots+\ left (\ begin {array} {l}
4\\
4
\ end {array}\ right)\), que son la suma de todos los coeficientes de\(\ (a+b)^{4}\).

\(\ 1+4+6+4+1=16\)

Ejemplo 5

Contraer el siguiente polinomio usando el Teorema Binomial.

\(\ 32 x^{5}-80 x^{4}+80 x^{3}-40 x^{2}+10 x-1\)

Solución

Ya que el último término es -1 y la potencia en el primer término es un 5 se puede concluir que la segunda mitad del binomio es\(\ (?-1)^{5}\). El primer término es positivo y\(\ (2 x)^{5}=32 x^{5}\), por lo que el primer término en el binomio debe serlo\(\ 2 x\). El binomio es\(\ (2 x-1)^{5}\).

---

Revisar

Expande cada uno de los siguientes binomios usando el Teorema Binomial.

1. \(\ (x-y)^{4}\)
2. \(\ (x-3 y)^{5}\)
3. \(\ (2 x+4 y)^{7}\)
4. ¿Cuál es el coeficiente de\(\ x^{4}\) in\(\ (x-2)^{7}\)?
5. ¿Cuál es el coeficiente de\(\ x^{3} y^{5}\) in\(\ (x+y)^{8}\)?
6. ¿Cuál es el coeficiente de\(\ x^{5}\) in\(\ (2 x-5)^{6}\)?
7. ¿Cuál es el coeficiente de\(\ y^{2}\)
8. ¿Cuál es el coeficiente de\(\ x^{2} y^{6}\) in\(\ (2 x+y)^{8}\)?
9. ¿Cuál es el coeficiente de\(\ x^{3} y^{4}\) in\(\ (5 x+2 y)^{7}\)?

Calcule las siguientes sumatorias.

10. \ (\\ suma_ {i=0} ^ {9}\ izquierda (\ begin {array} {l}
    9\\
    i
    \ end {array}\ derecha)\)
11. \ (\\ suma_ {i=0} ^ {12}\ izquierda (\ begin {array} {c}
    12\\
    i
    \ end {array}\ derecha)\)
12. \ (\\ suma_ {i=0} ^ {8}\ izquierda (\ begin {array} {l}
    8\\
    i
    \ end {array}\ derecha)\)

Contraer los siguientes polinomios usando el Teorema Binomial.

13. \(\ 243 x^{5}-405 x^{4}+270 x^{3}-90 x^{2}=15 x-1\)
14. \(\ x^{7}-7 x^{6} y+21 x^{5} y^{2}-35 x^{4} y^{3}+35 x^{3} y^{4}-21 x^{2} y^{5}+7 x y^{6}-y^{7}\)
15. \(\ 128 x^{7}-448 x^{6} y+672 x^{5} y^{2}-560 x^{4} y^{3}+280 x^{3} y^{4}-84 x^{2} y^{5}+14 x y^{6}-y^{7}\)

---

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 12.8.

---

vocabulario

Término	Definición
combinación	Las combinaciones son disposiciones distintas de un número específico de objetos sin tener en cuenta el orden de selección de un conjunto especificado.

---

Atribuciones de imagen

1. [Figura 1]
   Crédito: Fundación CK-12; Desconocido
   Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blaise_Pascal_Versailles.JPG
   Licencia: CC BY-SA