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# 7.5.1: Teorema Binomial y Expansiones

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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## Teorema binomial

El Teorema Binomial te dice cómo expandir un binomio tal como$$\ (2 x-3)^{5}$$ sin tener que computar la distribución repetida. ¿Cuál es la versión ampliada de$$\ (2 x-3)^{5}$$?

## Introducción al Teorema Binomial

El Teorema Binomial establece:

\ (\ (a+b) ^ {n} =\ suma_ {i=0} ^ {n}\ izquierda (\ begin {array} {l}
n\\
i
\ end {array}\ derecha) a^ {i} b^ {n-i}\)

Escribir algunos términos del símbolo de suma te ayuda a entender cómo funciona este teorema:

\ (\ (a+b) ^ {n} =\ left (\ begin {array} {c}
n\\
0
\ end {array}\ right) a^ {n} +\ left (\ begin {array} {c}
n\\
1
\ end {array}\ right) a^ {n-1} b^ {1} +\ left (\ begin {array} {c}
n\\
2
\ end {array}\ derecha ) a^ {n-2} b^ {2} +\ cdots+\ izquierda (\ begin {array} {c}
n\\
n
\ end {array}\ derecha) b^ {n}\)

Al pasar de un término a otro en la expansión, debes notar que los exponentes de$$\ a$$ disminución mientras que los exponentes de$$\ b$$ incremento. También debes notar que los coeficientes de cada término son combinaciones. Recordemos que\ (\\ left (\ begin {array} {l}
n\\
0
\ end {array}\ right)\) es el número de formas de elegir objetos de un conjunto de$$\ n$$ objetos.

Toma el siguiente binomio:

$$\ (m-n)^{6}$$

Se puede ampliar usando el Teorema Binomial:

\ (\\ begin {aligned}
(m-n) ^ {6} =&\ left (\ begin {array} {c}
6\\
0
\ end {array}\ right) m^ {6} +\ left (\ begin {array} {c}
6\\
1
\ end {array}\ right) m^ {5} (-n) ^ {1} +\ left (\ begin {array} c {}
6\\
2
\ end {array}\ derecha) m^ {4} (-n) ^ {2} +\ izquierda (\ begin {array} {c}
6\\
3
\ end {array}\ derecha) m^ {3} (-n) ^ {3}\\
&+\ left (\ begin {array} {c}
6\\
4
\ end {array}\ derecha) m^ {2} (-n) ^ {4} +\ left (\ begin {array} {c}
6\\
5
\ end {array}\ right) m^ {1} (-n) ^ {5} +\ left (\ begin {array} {c}
6\\
6
\ end {array}\ derecha) (-n) ^ {6}\\
=& 1 m^ {6} -6 m^ {5} n+15 m^ {4} n^ {2} m^ {3} n^ {3} +15 m^ {2} n^ {4} -6 m^ {1} n^ {5} +1 n^ {6}

Tenga mucho cuidado al trabajar con binomios de la forma$$\ (a-b)^{n}$$. Necesitas recordar capturar lo negativo con el segundo término a medida que escribes la expansión:$$\ (a-b)^{n}=(a+(-b))^{n}$$.

Otra forma de pensar sobre los coeficientes en el Teorema Binomial es que son los números del Triángulo de Pascal. Mira las expansiones de$$\ (a+b)^{n}$$ abajo y observa cómo los coeficientes de los términos son los números en el Triángulo de Pascal.

\ (\\ begin {array} {c}
(a+b) ^ {0} =1\\
(a+b) ^ {1} =1 a+1 b\\
(a+b) ^ {2} =1 a^ {2} +2 a b+1 b^ {2}\\
(a+b) ^ {3} =1 a^ {3} +3 a^ {2} b+3 a b^ {2} +1 b^ {3} +3 a b^ {2} +1 b^ {3} +3 a b^ {2} +1 b^ {3}}\\
(a+b) ^ {4} =1 a^ {4} +4 a^ {3} b+6 a^ {2} b^ {2} +4 a b^ {3} +1 b^ {4}\
\ vdots
\ end {array}\)

## Ejemplos

###### Ejemplo 1

Antes, se le pidió que se expandiera$$\ (2 x-3)^{5}$$. La versión ampliada de$$\ (2 x-3)^{5}$$ es:

Solución

\ (\\ begin {aligned}
(2 x-3) ^ {5} =&\ left (\ begin {array} {c}
5\\
0
\ end {array}\ right) (2 x) ^ {5} +\ left (\ begin {array} {c}
5\\
1
\ end {array}\ derecha) (2 x) ^ {4} (-3) ^ {1} +\ izquierda (\ comenzar {matriz} {c}
5\\
2
\ end {array}\ derecha) (2 x) ^ {3} (-3) ^ {2}\\
&+\ left (\ begin {array} {c}
5\\
3
\ end {array}\ right) (2 x) ^ {2} (-3) ^ {3} +\ left (\ begin {array} {c}
5\\
4
\ end {array}\ right) (2 x) ^ {1} (-3) ^ {4} +\ izquierda (\ begin {array} {c}
5\
5
\ end {array}\ derecha) (-3) ^ {6}\\
=& (2 x) ^ {5} +5 (2 x) ^ {4} (-3) ^ {1} +10 (2 x) ^ {3} (-3) ^ {2}\\
&+10 (2 x) ^ {2} (-3) ^ {3} +5 (2 x) ^ {1} (-3) ^ {4} + (-3) ^ {5}\\
=& 32 x^ {5} -240 x^ {4} +720 x^ {3 } -1080 x^ {2} +810 x-243

###### Ejemplo 2

¿Cuál es el coeficiente del término$$\ x^{7} y^{9}$$ en la expansión del binomio$$\ (x+y)^{16}$$?

Solución

El Teorema Binomial permite calcular solo el coeficiente que necesita.

\ (\\ izquierda (\ begin {array} {c}
16\\
9
\ end {array}\ derecha) =\ frac {16!} {9! ¡7!} =\ frac {16\ cdot 15\ cdot 14\ cdot 13\ cdot 12\ cdot 11\ cdot 10} {7\ cdot 6\ cdot 5\ cdot 4\ cdot 3\ cdot 2\ cdot 1} =11.440\)

###### Ejemplo 3

¿Cuál es el coeficiente de$$\ x^{6}$$ en la expansión de$$\ (4-3 x)^{7}$$?

Solución

Para este problema debes calcular todo el término, ya que el 3 y el 4 in$$\ (3-4 x)$$ impactarán también en el coeficiente de$$\ x^{6}$$.\ (\\ left (\ begin {array} {l}
7\\
6
\ end {array}\ right) 4^ {1} (-3 x) ^ {6} =7\ cdot 4\ cdot 729 x^ {6} =20,412 x^ {6}\). El coeficiente es de 20,412.

###### Ejemplo 4

Calcule la siguiente suma.

\ (\\ suma_ {i=0} ^ {4}\ izquierda (\ begin {array} {l}
4\\
i
\ end {array}\ derecha)\)

Solución

Esto es pedir\ (\\ left (\ begin {array} {l}
4\\
0
\ end {array}\ right) +\ left (\ begin {array} {l}
4\\
1
\ end {array}\ right) +\ cdots+\ left (\ begin {array} {l}
4\\
4
\ end {array}\ right)\), que son la suma de todos los coeficientes de$$\ (a+b)^{4}$$.

$$\ 1+4+6+4+1=16$$

###### Ejemplo 5

Contraer el siguiente polinomio usando el Teorema Binomial.

$$\ 32 x^{5}-80 x^{4}+80 x^{3}-40 x^{2}+10 x-1$$

Solución

Ya que el último término es -1 y la potencia en el primer término es un 5 se puede concluir que la segunda mitad del binomio es$$\ (?-1)^{5}$$. El primer término es positivo y$$\ (2 x)^{5}=32 x^{5}$$, por lo que el primer término en el binomio debe serlo$$\ 2 x$$. El binomio es$$\ (2 x-1)^{5}$$.

## Revisar

Expande cada uno de los siguientes binomios usando el Teorema Binomial.

1. $$\ (x-y)^{4}$$
2. $$\ (x-3 y)^{5}$$
3. $$\ (2 x+4 y)^{7}$$
4. ¿Cuál es el coeficiente de$$\ x^{4}$$ in$$\ (x-2)^{7}$$?
5. ¿Cuál es el coeficiente de$$\ x^{3} y^{5}$$ in$$\ (x+y)^{8}$$?
6. ¿Cuál es el coeficiente de$$\ x^{5}$$ in$$\ (2 x-5)^{6}$$?
7. ¿Cuál es el coeficiente de$$\ y^{2}$$
8. ¿Cuál es el coeficiente de$$\ x^{2} y^{6}$$ in$$\ (2 x+y)^{8}$$?
9. ¿Cuál es el coeficiente de$$\ x^{3} y^{4}$$ in$$\ (5 x+2 y)^{7}$$?

Calcule las siguientes sumatorias.

1. \ (\\ suma_ {i=0} ^ {9}\ izquierda (\ begin {array} {l}
9\\
i
\ end {array}\ derecha)\)
2. \ (\\ suma_ {i=0} ^ {12}\ izquierda (\ begin {array} {c}
12\\
i
\ end {array}\ derecha)\)
3. \ (\\ suma_ {i=0} ^ {8}\ izquierda (\ begin {array} {l}
8\\
i
\ end {array}\ derecha)\)

Contraer los siguientes polinomios usando el Teorema Binomial.

1. $$\ 243 x^{5}-405 x^{4}+270 x^{3}-90 x^{2}=15 x-1$$
2. $$\ x^{7}-7 x^{6} y+21 x^{5} y^{2}-35 x^{4} y^{3}+35 x^{3} y^{4}-21 x^{2} y^{5}+7 x y^{6}-y^{7}$$
3. $$\ 128 x^{7}-448 x^{6} y+672 x^{5} y^{2}-560 x^{4} y^{3}+280 x^{3} y^{4}-84 x^{2} y^{5}+14 x y^{6}-y^{7}$$

## Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 12.8.

## vocabulario

Término Definición
combinación Las combinaciones son disposiciones distintas de un número específico de objetos sin tener en cuenta el orden de selección de un conjunto especificado.

## Atribuciones de imagen

1. [Figura 1]
Crédito: Fundación CK-12; Desconocido
Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blaise_Pascal_Versailles.JPG
Licencia: CC BY-SA

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