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2.14: Propiedades de Igualdad y Congruencia

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    Reglas lógicas que involucran igualdad y congruencia que permiten manipular y resolver ecuaciones.

    Propiedades de Igualdad y Congruencia

    Las propiedades básicas de la igualdad te fueron introducidas en Álgebra I. Aquí están de nuevo:

    • Propiedad reflexiva de la igualdad:\(AB=AB\)
    • Propiedad simétrica de la igualdad: Si\(m\angle A=m\angle B\), entonces\(m\angle B=m\angle A\)
    • Propiedad Transitiva de Igualdad: Si\(AB=CD\) y\(CD=EF\), entonces\(AB=EF\)
    • Sustitución Propiedad de Igualdad: Si\(a=9\) y\(a−c=5\), entonces\(9−c=5\)
    • Adición Propiedad de Igualdad: Si\(2x=6\), entonces\(2x+5=6+5\) o\(2x+5=11\)
    • Resta Propiedad de Igualdad: Si\(m\angle x+15^{\circ}=65^{\circ}\), entonces\(m\angle x+15^{\circ}−15^{\circ}=65^{\circ}−15^{\circ}\) o\(m\angle x=50^{\circ}\)
    • Multiplicación Propiedad de Igualdad: Si\(y=8\), entonces\(5\cdot y=5\cdot 8\) o\(5y=40\)
    • División Propiedad de Igualdad: Si\(3b=18\), entonces\(\dfrac{3b}{3}=\dfrac{18}{3}\) o\(b=6\)
    • Propiedad Distributiva:\(5(2x−7)=5(2x)−5(7)=10x−35\)

    Al igual que las propiedades de la igualdad, hay propiedades de congruencia. Estas propiedades se mantienen para figuras y formas.

    • Propiedad reflexiva de congruencia:\(\overline{AB}\cong \overline{AB}\) o\(\angle B\cong \angle B\)
    • Propiedad Simétrica de Congruencia: Si\(\overline{AB}\cong \overline{CD}\), entonces\(\overline{CD}\cong \overline{AB}\). O, si\(\angle ABC\cong \angle DEF\), entonces\(\angle DEF\cong \angle ABC\)
    • Propiedad Transitiva de Congruencia: Si\(\overline{AB}\cong \overline{CD}\) y\(\overline{CD}\cong \overline{EF}\), entonces\(\overline{AB}\cong \overline{EF}\). O, si\(\angle ABC\cong \angle DEF\) y\(\angle DEF\cong \angle GHI\), entonces\(\angle ABC\cong \angle GHI\)

    Cuando resuelves ecuaciones en álgebra usas propiedades de igualdad. Puede que no escribas la propiedad por cada paso, pero debes saber que hay una propiedad de igualdad que justifica ese paso. Abreviaremos “Propiedad de Igualdad” “\(PoE\)” y “Propiedad de Congruencia” “\(PoC\)” cuando utilicemos estas propiedades en pruebas.

    Supongamos que sabes que un círculo mide 360 grados y quieres encontrar qué tipo de ángulo es un cuarto de círculo.

    Para los Ejemplos 1 y 2, use la propiedad dada de igualdad para rellenar el espacio en blanco. \(x\)y\(y\) son números reales.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Distributivo: Si\(4(3x−8)\), entonces ______________.

    Solución

    \(12x−32\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Transitivo: Si\(y=12\) y\(x=y\), entonces ______________

    Solución

    \(x=12\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Resuelve\(2(3x−4)+11=x−27\) y escribe la propiedad para cada paso (también llamada “para justificar cada paso”).

    Solución

    \(\begin{align*} 2(3x−4)+11 &= x−27 \\ 6x−8+11 &= x−27 &Distributive\: Property \\ 6x+3 &= x−27 & Combine\: like \:terms\\ 6x+3−3 &= x−27−3 & Subtraction \: PoE\\ 6x &= x−30 & Simplify\\ 6x−x &= x−x−30 & Subtraction \: PoE\\ 5x &= −30 & Simplify\\ \dfrac{5x}{5} &= \dfrac{−30}{5}& Division \: PoE\\ x &= −6 &Simplify \end{align*} \)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    \(AB=8\),\(BC=17\), y\(AC=20\). ¿Son los puntos\(A\),\(B\), y\(C\) colineales?

    Solución

    Configure una ecuación usando el Postulado de Adición de Segmento.

    \(\begin{align*} AB+BC &=AC & Segment\: Addition \:Postulate \\ 8+17&= 20 &Substitution\: PoE \\ 25&\neq 20 & Combine\: like \:terms \end{align*}\)

    Porque los dos lados de la ecuación no son iguales,,\(A\)\(B\), y no\(C\) son colineales.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Si\(m\angle A+m\angle B=100^{\circ}\) y\(m\angle B=40^{\circ}\), demostrar que\(m\angle A\) es un ángulo agudo.

    Solución

    Usaremos un formato de 2 columnas, con declaraciones en una columna y sus razones junto a ella, al igual que Ejemplo A.

    \(\begin{align*} m\angle A+m\angle B &=100^{\circ} &Given\: Information \\ m\angle B &=40^{\circ} &Given \:Information\\ m\angle A+40^{\circ} &=100^{\circ} &Substitution \:PoE\\m\angle A &=60^{\circ} &Subtraction \:PoE \\ \angle A \: & is \:an \:acute \:angle & Definition\: of \:an \:acute \:angle, m\angle A<90^{\circ}\end{align*} \)

    Revisar

    Para las preguntas 1-8, resuelve cada ecuación y justifica cada paso.

    1. \(3x+11=−16\)
    2. \(7x−3=3x−35\)
    3. \(\dfrac{2}{3}g+1=19\)
    4. \(\dfrac{1}{2}MN=5\)
    5. \(5m\angle ABC=540^{\circ}\)
    6. \(10b−2(b+3)=5b\)
    7. \(\dfrac{1}{4}y+\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{3}\)
    8. \(\dfrac{1}{4}AB+\dfrac{1}{3}AB=12+\dfrac{1}{2}AB\)

    Para las preguntas 9-11, utilice la propiedad o propiedades de igualdad dadas para rellenar el espacio en blanco. \(x\),\(y\), y\(z\) son números reales.

    1. Simétrico: Si\(x+y=y+z\), entonces ______________.
    2. Transitivo: Si\(AB=5\) y\(AB=CD\), entonces ______________.
    3. Sustitución: Si\(x=y−7\) y\(x=z+4\), luego ______________.

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 2.6.

    Recursos

    El vocabulario

    Término Definición
    propiedades de igualdad Junto a las propiedades de congruencia, las reglas lógicas que permiten manipular y resolver ecuaciones.
    Adición Propiedad de Desigualdad Se puede agregar una cantidad a ambos lados de una desigualdad y no cambia el sentido de la desigualdad. Si\(x>3\), entonces\(x+2>3+2\).
    propiedad distributiva La propiedad distributiva establece que el producto de una expresión y una suma es igual a la suma de los productos de la expresión y cada término en la suma. Por ejemplo,\(a(b+c)=ab+ac\).
    División Propiedad de Desigualdad La propiedad de división de la desigualdad establece que dos valores desiguales divididos por un número positivo conservan la misma relación. Dos valores desiguales divididos por un número negativo dan como resultado una inversión de la relación.
    Multiplicación Propiedad de Igualdad La propiedad de multiplicación de la igualdad establece que si la misma constante se multiplica a ambos lados de la ecuación, la igualdad se mantiene cierta.
    Número Real Un número real es un número que se puede trazar en una recta numérica. Los números reales incluyen todos los números racionales e irracionales.
    Propiedad reflexiva de congruencia \(\overline{AB}\cong \overline{AB}\)o\(\angle B\cong \angle B\)
    Propiedad reflexiva de la igualdad Cualquier elemento algebraico o geométrico es igual en valor a sí mismo.
    Teorema de ángulo recto El Teorema de Ángulo Recto establece que si dos ángulos son ángulos rectos, entonces los ángulos son congruentes.
    Teorema de los suplementos del mismo ángulo El Teorema de los Suplementos del Mismo Ángulo establece que si dos ángulos son complementarios al mismo ángulo entonces los dos ángulos son congruentes.
    Sustitución Propiedad de Igualdad Si una variable es igual a una cantidad especificada, esa cantidad puede sustituirse directamente en una ecuación para la variable dada.
    Resta Propiedad de Igualdad La propiedad de resta de igualdad establece que se puede restar la misma cantidad de ambos lados de una ecuación y aún así se equilibrará.
    Propiedad Simétrica de Congruencia Si\(\overline{AB}\cong \overline{CD}\), entonces\(\overline{CD}\cong \overline{AB}\). O, si\(\angle ABC\cong \angle DEF\), entonces\(\angle DEF\cong \angle ABC\)
    Propiedad Transitiva de Congruencia Si\(\overline{AB}\cong \overline{CD}\) y\(\overline{CD}\cong \overline{EF}\), entonces\(\overline{AB}\cong \overline{EF}\). O, si\(\angle ABC\cong \angle DEF\) y\(\angle DEF\cong \angle GHI\), entonces\(\angle ABC\cong \angle GHI\)
    Propiedad Transitiva de Igualdad Si\(a = 5\), y\(b = 5\), entonces\(a = b\).
    Teorema de ángulos verticales El Teorema de Ángulos Verticales establece que si dos ángulos son verticales, entonces son congruentes.

    Recursos adicionales

    Elemento interactivo

    Video: Propiedades de Igualdad y Congruencia Principios - Básicos

    Actividades: Propiedades de la Igualdad y Congruencia Preguntas de Discusión

    Ayudas de estudio: Guía de estudio de pruebas

    Práctica: Propiedades de Igualdad y Congruencia

    Mundo real: Propiedades de igualdad y congruencia


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