18.1: Pre-Trigonometría

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La página en http://www.phy6.org/stargaze/Strig1.htm describe el problema básico de la trigonometría (dibujo anterior): encontrar la distancia a algún punto lejano C, dadas las direcciones en las que C aparece desde los dos extremos de una línea base medida AB. Este problema se vuelve algo más sencillo si:

La línea base es perpendicular a la línea desde su centro hasta el objeto, por lo que\(\Delta ABC\) es simétrica. Vamos a denotar sus lados iguales como\(AB=BC=r\).
La longitud\(c\) de la línea base\(AB\) es mucho menor que\(r\). Esto significa que el ángulo\(\alpha\) entre\(AC\) y\(BC\) es pequeño; ese ángulo se conoce como el paralaje de\(C\), visto desde\(AB\).
No pedimos gran precisión, sino que estamos satisfechos con un valor aproximado de la distancia —digamos, dentro del 1%.

El método aquí presentado ya fue utilizado por los antiguos griegos hace más de 2000 años. Sabían que la longitud de un círculo de radio\(r\) era\(2\pi r\), donde\(\pi\) (una notación moderna, no uno de los griegos, aunque\(\pi\) sea parte de su alfabeto) representa un número un poco mayor que 3; aproximadamente

\(\pi\approx\,3.14159\ldots\)

Nota

El matemático griego Arquímedes derivó\(\pi\) con una precisión de aproximadamente 4 cifras, aunque la expresó de manera diferente, ya que las fracciones decimales aparecieron en Europa solo unos 1000 años después.

En este caso (ver Figura anterior), podemos aproximarnos\(\Delta ABC\) como una 'rebanada' de un círculo mucho más grande; en este caso, la longitud de la línea base es aproximadamente igual a la longitud del arco correspondiente:

\[c\,\approx\,c′\]

Hay 360 grados en un círculo y\(\alpha\) grados en este arco en particular; dado que 360 grados corresponden a una circunferencia de longitud de arco (\(2\pi r\)), los\(\alpha\) grados corresponderán a una longitud de arco de

\[c′\,=\,\frac{\alpha}{360^o}\times 2\pi r\]

Resolviendo\(r\) y enchufando\(c\,\approx\,c′\), encontramos

\[r\,=\,\frac{360^o}{2\pi\alpha}\times c\]

Hemos resuelto para\(r\) en cuanto a\(c\). Por ejemplo, si sabemos eso\(\alpha\approx 6^o\) (veremos por qué esto es relevante más adelante),\(2\pi\alpha\,=\,36^o\) y obtenemos:

\[r\,=\,10c′\]