1.2:1.2 Transformaciones gráficas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Las funciones básicas son poderosas, pero son extremadamente limitadas hasta que puedes cambiarlas para que coincidan con cualquier situación dada. Transformación significa que puede cambiar la ecuación de una función básica sumando, restando y/o multiplicando por constantes y así provocar un cambio correspondiente en la gráfica. ¿Cuáles son los efectos de las siguientes transformaciones?
1. f(x)→f(x+3)
2. h(x)→h(x)−5
3. g(x)→−g(2x)
4. j(x)→j(−x2)
Funciones Transformadoras
Una función es una regla que toma cualquier entradax y da una salida específica. Cuando usas letras comof,,gh, oj para describir la regla, esto se llama notación de función. Para interpretar qué efecto tendrá el cambio algebraico en la ecuación sobre la gráfica, es importante poder leer esos cambios en la notación general de funciones y luego aplicarlos a casos específicos.
Al transformar una función, se puede transformar el argumento (la parte dentro de los paréntesis con elx), o la función misma. Hay dos formas de transformar linealmente el argumento. Puede multiplicar elx por una constante y/o agregar una constante a lax como se muestra a continuación:
f(x)→f(bx+c)
La función en sí también se puede transformar linealmente de la misma manera:
f(x)→af(x)+d
Cada una de las letrasab,c,, yd corresponde a un cambio muy específico. Algunos de estos cambios son sencillos, mientras que otros pueden ser lo contrario de lo que podrías esperar.
- aes un estiramiento vertical. Sia es negativo, también hay una reflexión a través delx eje.
- des un desplazamiento vertical. Sid es positivo, entonces el turno es hacia arriba. Sid es negativo, entonces el turno es a la baja.
Al transformar el argumento de la función las cosas son más complicadas.
- 1bes un estiramiento horizontal. Sib es negativo, también hay una reflexión a través dely eje.
- ces un desplazamiento horizontal. Sic es positivo, entonces el turno es hacia la izquierda. Sic es negativo, entonces el turno es hacia la derecha. Observe que esto es lo contrario de lo que la mayoría de la gente piensa al principio.
La parte más complicada de transformar el argumento de una función es el orden en el que se llevan a cabo las transformaciones. Muchas veces tiene sentido aplicar la transformación a una función específica que se conoce y luego describir la transformación que se ve.
La gráfica siguiente muestra la transformaciónf(x)→f(3x−6) aplicada a una parábola simple:

Claramente la gráfica es más estrecha y a la derecha, pero para ser específico hay que mirar más de cerca. Primero, observe que la transformación está enteramente dentro del argumento de la función. Esto afecta sólo a los valores horizontales. Esto significa que mientras la gráfica parece estar estirada verticalmente, debes mantener tu perspectiva enfocada en una compresión horizontal.
Mira cuidadosamente el vértice de la parábola. Se ha trasladado a la derecha dos unidades. Esto se debe a que primero toda la gráfica se desplazó completamente hacia la derecha 6 unidades. Entonces la función se comprimió horizontalmente por un factor de 3 lo que significa que el punto (6, 0) se convirtió en (2, 0) y elx valor de cada otro punto también se comprimió por un factor de 3 hacia la líneax=0. Este método es contra-intuitivo porque requiere leer las transformaciones hacia atrás (lo opuesto a la forma en que el orden de las operaciones te dice).
Alternativamente, el argumento puede ser factorizado y cada componente de la transformación se presentará.
f(3(x−2))
Esta vez el estiramiento ocurre desde el centro de la gráfica transformada, no desde el origen. Este método es en última instancia el método preferido.
De cualquier manera, esta es una compresión horizontal por un factor de 3 y un desplazamiento horizontal hacia la derecha en 2 unidades.
Ahora toma la transformaciónf(x)→−14f(x)+3. Se describe un estiramiento vertical por un factor de14, una reflexión sobre elx eje, y un desplazamiento vertical 3 unidades hacia arriba. A diferencia de lo que vio anteriormente, el orden de las transformaciones para cualquier cosa fuera del argumento es directamente lo que dicta el orden de las operaciones.

Primero, la parábola se refleja sobre elx eje y se comprime verticalmente para que aparezca más ancha. Entonces, cada punto se mueve hacia arriba 3 unidades.
La transformaciónf(x)→−3f(−12x−1)+1 contiene todas las transformaciones posibles. Los componentes horizontal y vertical no interactúan entre sí y por lo tanto su descripción de la transformación puede comenzar con cualquiera de los componentes. Aquí, comience por describir los componentes verticales de la transformación:
Primero, hay reflexión a través delx eje y un estiramiento vertical por un factor de 3. Después, hay un desplazamiento vertical hacia arriba 1 unidad. A continuación se muestra una imagen de una función no específica pasando por las transformaciones verticales.

Para averiguar los componentes horizontales de la transformación, comience factorizando el interior de los paréntesis (el argumento):
f(−12x−1)=f(−12(x+2))
Factorización revela una reflexión a través dely eje, un desplazamiento horizontal a la izquierda 2 unidades y un estiramiento horizontal por un factor de2. Abajo es una imagen de la misma función pasando por las transformaciones horizontales.

Ejemplos
Anteriormente, se le dio un problema sobre los efectos de las siguientes transformaciones:
f(x)→f(x+3)
Esta transformación desplaza toda la gráfica a la izquierda 3 unidades. Un error común es cambiar a la derecha porque los tres son positivos.
h(x)→h(x)−5
Esta transformación desplaza la gráfica completa hacia abajo 5 unidades.
g(x)→−g(2x)
Esta transformación es una reflexión vertical a través del eje x y una compresión horizontal por un factor de 2.
j(x)=j(−x2)
Esta transformación es una reflexión horizontal a través dely eje y un estiramiento horizontal por un factor de2. Un error común es ver el12 y creer que losx valores serán la mitad de grandes que es una compresión horizontal. Sin embargo, los valores\ x\) deben ser dos veces más grandes para contrarrestar este factor de12
Describa la siguiente transformación en palabras:g(x)→2g(−x)
Estiramiento vertical por un factor de 2 y una reflexión a través dely eje.
Describa la transformación que cambiaríah(x) de las siguientes maneras:
- Compresión vertical por un factor de 3.
- Desplazamiento vertical hacia abajo 4 unidades.
- Desplazamiento horizontal a la derecha 5 unidades.
13h(x−5)−4
Describa la transformación que cambiaríaf(x) de las siguientes maneras:
- Estiramiento horizontal por un factor de 4 y un desplazamiento horizontal de 3 unidades hacia la derecha.
- Reflexión vertical a través delx eje y un desplazamiento hacia abajo 2 unidades.
−f(14(x−3))−2o−f(14x−34)−2
Revisar
Describir las siguientes transformaciones en palabras.
1. g(x)→−g(−x)
2. f(x)→−f(x+3)
3. h(x)→h(x+1)−2
4. j(x)→j(−x+3)
5. k(x)→−k(2x)
6. f(x)→4f(12x+1)
7. g(x)→−3g(x−2)−2
8. h(x)→5h(x+1)
9. Describa la transformación que cambiaríah(x) de las siguientes
maneras:
- Estiramiento vertical por un factor de 2
- Desplazamiento vertical hacia arriba 3 unidades.
- Desplazamiento horizontal a la derecha 2 unidades.
10. Describa la transformación que cambiaríaf(x) de las siguientes
maneras:
- Reflexión vertical a través del eje x.
- Desplazamiento vertical hacia abajo 1 unidad.
- Desplazamiento horizontal a la izquierda 2 unidades.
11. Describa la transformación que cambiaríag(x) de las siguientes
maneras:
- Compresión vertical por un factor de 4.
- Reflexión a través dely eje.
12. Describa la transformación que cambiaríaj(x) de las siguientes
maneras:
- Compresión horizontal por un factor de 3.
- Desplazamiento vertical hacia arriba 3 unidades.
- Desplazamiento horizontal a la derecha 2 unidades.
13. Describa la transformación que cambiaríak(x) de las siguientes
maneras:
- Estiramiento horizontal por un factor de 4.
- Desplazamiento vertical hacia arriba 3 unidades.
- Desplazamiento horizontal a la izquierda 1 unidad.
14. Describa la transformación que cambiaríah(x) de las siguientes
maneras:
- Compresión vertical por un factor de 2.
- Desplazamiento horizontal a la derecha 3 unidades.
- Reflexión a través dely eje.
15. Describa la transformación que cambiaríaf(x) de las siguientes
maneras:
- Estiramiento vertical por un factor de 5.
- Reflexión a través delx eje