3.2: Propiedades de los Exponentes

Es importante manipular de manera rápida y efectiva expresiones algebraicas que involucren exponentes. Una simplificación que surge a menudo es que las expresiones y los números elevados a la potencia 0 siempre son iguales a 1. ¿Por qué es esto cierto y siempre es cierto?

Propiedades de Exponente

Considera las siguientes expresiones exponenciales con la misma base y lo que sucede a través de las operaciones algebraicas. Debes sentirte cómodo con todo este tipo de manipulaciones. \(b^{y}, b^{x}\)Dejen ser términos exponenciales.

Sumas y restas

\(b^{x} \pm b^{y}=b^{x} \pm b^{y}\)

Sólo en el caso especial cuando se\(x=y\) pueden combinar los términos. Esta es una propiedad básica de combinar términos similares.

Multiplicación

\(b^{x} \cdot b^{y}=b^{x+y}\)

Cuando las bases son las mismas entonces se pueden agregar exponentes.

División

\(\frac{b^{x}}{b^{y}}=b^{x-y}\)

La regla de división es una extensión de la regla de multiplicación con la posibilidad de un negativo en el exponente.

Exponente negativo

\(b^{-x}=\frac{1}{b^{x}}\)

Un exponente negativo significa recíproco.

Exponente fraccional

\((b)^{\frac{1}{x}}=\sqrt[x]{b}\)

Las raíces cuadradas son lo que la mayoría de la gente piensa cuando piensa en raíces, pero las raíces se pueden tomar con cualquier número real usando exponentes fraccionarios.

Poderes de Poderes

\(\left(b^{x}\right)^{y}=b^{x \cdot y}\)

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó por qué las expresiones y los números elevados a la potencia 0 siempre son iguales a 1. Considere el siguiente patrón y decida cuál debe ser el siguiente término en la secuencia:

16, 8, 4, 2, ___

Tiene sentido que el siguiente término sea 1 porque cada término sucesivo es la mitad del término anterior. Estos números corresponden a potencias de 2.

\(2^{4}, 2^{3}, 2^{2}, 2^{1}\)

En este caso se podría decidir que el siguiente término debe ser\(2^{0}\). Esta es una técnica útil para recordar lo que sucede cuando un número se eleva a la potencia 0.

Una pregunta que extiende esta idea es ¿cuál es el valor de\(0^{0}\)? La gente ha discutido sobre esto durante siglos. Euler argumentó que debería ser 1 y muchos otros matemáticos como Cauchy y Möbius argumentaron también. Si buscas hoy seguirás encontrando gente discutiendo lo que tiene sentido. En la práctica, muchos matemáticos notan este valor como indefinido.

Ejemplo 2

Simplifica la siguiente expresión hasta que todos los exponentes sean positivos.

\(\frac{\left(a^{-2} b^{3}\right)^{-3}}{a b^{2} c^{0}}\)

\(\frac{\left(a^{-2} b^{3}\right)^{-3}}{a b^{2} c^{0}}=\frac{a^{6} b^{-9}}{a b^{2} \cdot 1}=\frac{a^{5}}{b^{11}}\)

Ejemplo 3

Simplifica la siguiente expresión hasta que todos los exponentes sean positivos.

\((2 x)^{5} \cdot \frac{4^{2}}{2^{-3}}\)

\((2 x)^{5} \cdot \frac{4^{2}}{2^{-3}}=\frac{2^{5} x^{5} 2^{4}}{2^{-3}}=\frac{2^{9} x^{5}}{2^{-3}}=2^{12} x^{5}\)

Ejemplo 4

Simplifica la siguiente expresión usando exponentes positivos.

\(\frac{\left(2^{6} \cdot 8^{3}\right)^{-3}}{4^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{4} 64^{\frac{1}{3}}}\)

Reescribe cada exponente como una potencia de 2.

Por ejemplo\(8^{3}=\left(2^{3}\right)^{3}=2^{9}\) y\(64^{\frac{1}{3}}=\left(2^{6}\right)^{\frac{1}{3}}=2^{2}\)

\(\frac{\left(2^{6} \cdot 8^{3}\right)^{-3}}{4^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{4} 64^{\frac{1}{3}}}=\frac{\left(2^{6} \cdot 2^{9}\right)^{-3}}{2^{4} 2^{-4} 2^{2}}=\frac{\left(2^{15}\right)^{-3}}{2^{2}}=\frac{2^{-45}}{2^{2}}=\frac{1}{2^{47}}\)

Ejemplo 5

Resuelve la siguiente ecuación usando propiedades de exponentes.

\(\left(32^{0.6}\right)^{2}=x^{3}\)

Primer trabajo con el lado izquierdo de la ecuación.

\(\begin{aligned}\left(32^{0.6}\right)^{2} &=\left(\left(2^{5}\right)^{\frac{3}{5}}\right)^{2}=2^{6} \\ 2^{6} &=x^{3} \\\left(2^{6}\right)^{\frac{1}{3}} &=\left(x^{3}\right)^{\frac{1}{3}} \\ 2^{2} &=x \\ 4 &=x \end{aligned}\)

Revisar

Simplifica cada expresión usando exponentes positivos.

1. \(81^{-\frac{1}{4}}\)

2. \(64^{\frac{2}{3}}\)

\(3 .\left(\frac{1}{32}\right)^{-\frac{2}{5}}\)

\(4 .(-125)^{\frac{1}{3}}\)

5. \(\left(4 x^{3} y\right)\left(3 x^{5} y^{2}\right)^{4}\)

6. \(\left(5 x^{3} y^{2}\right)^{2}\left(7 x^{3} y\right)^{2}\)

7. \(\frac{8 a^{3} b^{-2}}{\left(-4 a^{2} b^{4}\right)^{-2}}\)

8. \(\frac{5 x^{2} y^{-3}}{\left(-2 x^{3} y^{2}\right)^{-4}}\)

9. \(\left(\frac{3 m^{3} n^{-4}}{2 m^{-5} n^{-2}}\right)^{-4}\)

10. \(\left(\frac{4 m^{-3} n^{-4}}{5 m^{5} n^{-4}}\right)^{-3}\)

11. \(\left(\frac{a^{-1} b}{a^{5} b^{4}}\right)^{-3}\)

12. \(\frac{15 c^{-2} d^{-6}}{3 c^{-4} d^{-2}}\)

13. \(\frac{12 e^{5} f}{\left(-2 e f^{3}\right)^{-2}}\)

Resuelve las siguientes ecuaciones usando propiedades de exponentes.

14. \(\left(81^{0.75}\right)^{2}=x^{3}\)

15. \(\left(64^{\frac{1}{6}}\right)^{-3}=x^{3}\)