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3.2: Propiedades de los Exponentes

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Es importante manipular de manera rápida y efectiva expresiones algebraicas que involucren exponentes. Una simplificación que surge a menudo es que las expresiones y los números elevados a la potencia 0 siempre son iguales a 1. ¿Por qué es esto cierto y siempre es cierto?

Propiedades de Exponente

Considera las siguientes expresiones exponenciales con la misma base y lo que sucede a través de las operaciones algebraicas. Debes sentirte cómodo con todo este tipo de manipulaciones. by,bxDejen ser términos exponenciales.

Sumas y restas

bx±by=bx±by

Sólo en el caso especial cuando sex=y pueden combinar los términos. Esta es una propiedad básica de combinar términos similares.

Multiplicación

bxby=bx+y

Cuando las bases son las mismas entonces se pueden agregar exponentes.

División

bxby=bxy

La regla de división es una extensión de la regla de multiplicación con la posibilidad de un negativo en el exponente.

Exponente negativo

bx=1bx

Un exponente negativo significa recíproco.

Exponente fraccional

(b)1x=xb

Las raíces cuadradas son lo que la mayoría de la gente piensa cuando piensa en raíces, pero las raíces se pueden tomar con cualquier número real usando exponentes fraccionarios.

Poderes de Poderes

(bx)y=bxy

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó por qué las expresiones y los números elevados a la potencia 0 siempre son iguales a 1. Considere el siguiente patrón y decida cuál debe ser el siguiente término en la secuencia:

16, 8, 4, 2, ___

Tiene sentido que el siguiente término sea 1 porque cada término sucesivo es la mitad del término anterior. Estos números corresponden a potencias de 2.

24,23,22,21

En este caso se podría decidir que el siguiente término debe ser20. Esta es una técnica útil para recordar lo que sucede cuando un número se eleva a la potencia 0.

Una pregunta que extiende esta idea es ¿cuál es el valor de00? La gente ha discutido sobre esto durante siglos. Euler argumentó que debería ser 1 y muchos otros matemáticos como Cauchy y Möbius argumentaron también. Si buscas hoy seguirás encontrando gente discutiendo lo que tiene sentido. En la práctica, muchos matemáticos notan este valor como indefinido.

Ejemplo 2

Simplifica la siguiente expresión hasta que todos los exponentes sean positivos.

(a2b3)3ab2c0

(a2b3)3ab2c0=a6b9ab21=a5b11

Ejemplo 3

Simplifica la siguiente expresión hasta que todos los exponentes sean positivos.

(2x)54223

(2x)54223=25x52423=29x523=212x5

Ejemplo 4

Simplifica la siguiente expresión usando exponentes positivos.

(2683)342(12)46413

Reescribe cada exponente como una potencia de 2.

Por ejemplo83=(23)3=29 y6413=(26)13=22

(2683)342(12)46413=(2629)3242422=(215)322=24522=1247

Ejemplo 5

Resuelve la siguiente ecuación usando propiedades de exponentes.

(320.6)2=x3

Primer trabajo con el lado izquierdo de la ecuación.

(320.6)2=((25)35)2=2626=x3(26)13=(x3)1322=x4=x

Revisar

Simplifica cada expresión usando exponentes positivos.

1. 8114

2. 6423

3.(132)25

4.(125)13

5. (4x3y)(3x5y2)4

6. (5x3y2)2(7x3y)2

7. 8a3b2(4a2b4)2

8. 5x2y3(2x3y2)4

9. (3m3n42m5n2)4

10. (4m3n45m5n4)3

11. (a1ba5b4)3

12. 15c2d63c4d2

13. 12e5f(2ef3)2

Resuelve las siguientes ecuaciones usando propiedades de exponentes.

14. (810.75)2=x3

15. (6416)3=x3


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