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# 3.2: Propiedades de los Exponentes

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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Es importante manipular de manera rápida y efectiva expresiones algebraicas que involucren exponentes. Una simplificación que surge a menudo es que las expresiones y los números elevados a la potencia 0 siempre son iguales a 1. ¿Por qué es esto cierto y siempre es cierto?

Considera las siguientes expresiones exponenciales con la misma base y lo que sucede a través de las operaciones algebraicas. Debes sentirte cómodo con todo este tipo de manipulaciones. $$b^{y}, b^{x}$$Dejen ser términos exponenciales.

### Sumas y restas

$$b^{x} \pm b^{y}=b^{x} \pm b^{y}$$

Sólo en el caso especial cuando se$$x=y$$ pueden combinar los términos. Esta es una propiedad básica de combinar términos similares.

### Multiplicación

$$b^{x} \cdot b^{y}=b^{x+y}$$

Cuando las bases son las mismas entonces se pueden agregar exponentes.

### División

$$\frac{b^{x}}{b^{y}}=b^{x-y}$$

La regla de división es una extensión de la regla de multiplicación con la posibilidad de un negativo en el exponente.

### Exponente negativo

$$b^{-x}=\frac{1}{b^{x}}$$

Un exponente negativo significa recíproco.

### Exponente fraccional

$$(b)^{\frac{1}{x}}=\sqrt[x]{b}$$

Las raíces cuadradas son lo que la mayoría de la gente piensa cuando piensa en raíces, pero las raíces se pueden tomar con cualquier número real usando exponentes fraccionarios.

### Poderes de Poderes

$$\left(b^{x}\right)^{y}=b^{x \cdot y}$$

## Ejemplos

#### Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó por qué las expresiones y los números elevados a la potencia 0 siempre son iguales a 1. Considere el siguiente patrón y decida cuál debe ser el siguiente término en la secuencia:

16, 8, 4, 2, ___

Tiene sentido que el siguiente término sea 1 porque cada término sucesivo es la mitad del término anterior. Estos números corresponden a potencias de 2.

$$2^{4}, 2^{3}, 2^{2}, 2^{1}$$

En este caso se podría decidir que el siguiente término debe ser$$2^{0}$$. Esta es una técnica útil para recordar lo que sucede cuando un número se eleva a la potencia 0.

Una pregunta que extiende esta idea es ¿cuál es el valor de$$0^{0}$$? La gente ha discutido sobre esto durante siglos. Euler argumentó que debería ser 1 y muchos otros matemáticos como Cauchy y Möbius argumentaron también. Si buscas hoy seguirás encontrando gente discutiendo lo que tiene sentido. En la práctica, muchos matemáticos notan este valor como indefinido.

#### Ejemplo 2

Simplifica la siguiente expresión hasta que todos los exponentes sean positivos.

$$\frac{\left(a^{-2} b^{3}\right)^{-3}}{a b^{2} c^{0}}$$

$$\frac{\left(a^{-2} b^{3}\right)^{-3}}{a b^{2} c^{0}}=\frac{a^{6} b^{-9}}{a b^{2} \cdot 1}=\frac{a^{5}}{b^{11}}$$

#### Ejemplo 3

Simplifica la siguiente expresión hasta que todos los exponentes sean positivos.

$$(2 x)^{5} \cdot \frac{4^{2}}{2^{-3}}$$

$$(2 x)^{5} \cdot \frac{4^{2}}{2^{-3}}=\frac{2^{5} x^{5} 2^{4}}{2^{-3}}=\frac{2^{9} x^{5}}{2^{-3}}=2^{12} x^{5}$$

#### Ejemplo 4

Simplifica la siguiente expresión usando exponentes positivos.

$$\frac{\left(2^{6} \cdot 8^{3}\right)^{-3}}{4^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{4} 64^{\frac{1}{3}}}$$

Reescribe cada exponente como una potencia de 2.

Por ejemplo$$8^{3}=\left(2^{3}\right)^{3}=2^{9}$$ y$$64^{\frac{1}{3}}=\left(2^{6}\right)^{\frac{1}{3}}=2^{2}$$

$$\frac{\left(2^{6} \cdot 8^{3}\right)^{-3}}{4^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{4} 64^{\frac{1}{3}}}=\frac{\left(2^{6} \cdot 2^{9}\right)^{-3}}{2^{4} 2^{-4} 2^{2}}=\frac{\left(2^{15}\right)^{-3}}{2^{2}}=\frac{2^{-45}}{2^{2}}=\frac{1}{2^{47}}$$

#### Ejemplo 5

Resuelve la siguiente ecuación usando propiedades de exponentes.

$$\left(32^{0.6}\right)^{2}=x^{3}$$

Primer trabajo con el lado izquierdo de la ecuación.

\begin{aligned}\left(32^{0.6}\right)^{2} &=\left(\left(2^{5}\right)^{\frac{3}{5}}\right)^{2}=2^{6} \\ 2^{6} &=x^{3} \\\left(2^{6}\right)^{\frac{1}{3}} &=\left(x^{3}\right)^{\frac{1}{3}} \\ 2^{2} &=x \\ 4 &=x \end{aligned}

Revisar

Simplifica cada expresión usando exponentes positivos.

1. $$81^{-\frac{1}{4}}$$

2. $$64^{\frac{2}{3}}$$

$$3 .\left(\frac{1}{32}\right)^{-\frac{2}{5}}$$

$$4 .(-125)^{\frac{1}{3}}$$

5. $$\left(4 x^{3} y\right)\left(3 x^{5} y^{2}\right)^{4}$$

6. $$\left(5 x^{3} y^{2}\right)^{2}\left(7 x^{3} y\right)^{2}$$

7. $$\frac{8 a^{3} b^{-2}}{\left(-4 a^{2} b^{4}\right)^{-2}}$$

8. $$\frac{5 x^{2} y^{-3}}{\left(-2 x^{3} y^{2}\right)^{-4}}$$

9. $$\left(\frac{3 m^{3} n^{-4}}{2 m^{-5} n^{-2}}\right)^{-4}$$

10. $$\left(\frac{4 m^{-3} n^{-4}}{5 m^{5} n^{-4}}\right)^{-3}$$

11. $$\left(\frac{a^{-1} b}{a^{5} b^{4}}\right)^{-3}$$

12. $$\frac{15 c^{-2} d^{-6}}{3 c^{-4} d^{-2}}$$

13. $$\frac{12 e^{5} f}{\left(-2 e f^{3}\right)^{-2}}$$

Resuelve las siguientes ecuaciones usando propiedades de exponentes.

14. $$\left(81^{0.75}\right)^{2}=x^{3}$$

15. $$\left(64^{\frac{1}{6}}\right)^{-3}=x^{3}$$

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