3.3: Notación científica
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En la ciencia, las mediciones suelen ser extremadamente pequeñas o extremadamente grandes. Es ineficiente escribir los muchos ceros en números muy pequeños como 0.00000000000000523. Por lo general, el orden de magnitud y los primeros dígitos del número son lo que le interesa a la gente. ¿Cómo debes representar estos números extremos?
Notación científica
La notación científica es un medio para representar números muy grandes y muy pequeños de una manera más eficiente. La forma general de la notación científica es\(a \cdot 10^{b}\)
El\(a\) es un número entre 1 y 10 y la mayoría de las veces incluye un decimal. El entero\(b\) se llama el orden de magnitud y es una medida del tamaño general del número. Si\(b\) es negativo entonces el número es pequeño y si\(b\) es positivo entonces el número es grande.
\(1,240,000=1.24 \cdot 10^{6}\)
\(0.0000354=3.54 \cdot 10^{-5}\)
Tenga en cuenta que al cambiar hacia y desde la notación científica el signo de\(b\) indica en qué dirección y cuántos lugares mover el punto decimal.
Toma el número 0.000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 22 kg. Se trata de la masa de un electrón. El número es demasiado largo para escribirlo todo el tiempo así que lo mejor es escribirlo en notación científica.
Para escribir este número en notación científica, cuente el número de decimales que hay que mover para determinar el exponente. Dado que el decimal se mueve hacia la derecha, debería ser un exponente negativo. La masa de un electrón escrita en notación científica es:
\(9.1093822 \cdot 10^{-31}\)
Multiplicar y dividir números que están en notación científica es solo un ejercicio de reglas de exponente:
\(\begin{aligned}\left(a \cdot 10^{x}\right) \cdot\left(b \cdot 10^{y}\right) &=a \cdot b \cdot 10^{x+y} \\\left(a \cdot 10^{x}\right) \div\left(b \cdot 10^{y}\right) &=\frac{a}{b} \cdot 10^{x-y} \end{aligned}\)
La suma y la resta requieren que los números tengan el mismo orden de magnitudes.
\(1.2 \cdot 10^{6}-5.5 \cdot 10^{5}=12 \cdot 10^{5}-5.5 \cdot 10^{5}=6.5 \cdot 10^{5}\)
Ejemplos
Anteriormente, se le preguntó cómo representar números con un gran número de ceros ya sea antes o después del punto decimal. Para representar un número extremadamente grande o pequeño se debe contar el número de movimientos necesarios para que el punto decimal esté directamente después del primer dígito distinto de cero. Este conteo será del orden de magnitud y se utilizará como exponente de 10 como medio para representar cuán grande o pequeño es el número.
La circunferencia de la Tierra es de aproximadamente 40 000 000 metros. ¿Cuál es el radio de la tierra en notación científica?
La relación entre circunferencia y radio es\(C=2 \pi r\).
\(\begin{aligned} 4.0 \cdot 10^{7} &=2 \pi r \\ r &=\frac{4.0}{2 \pi} \cdot 10^{7} \approx 0.6366 \ldots 10^{7}=6.366 \cdot 10^{6} \end{aligned}\)
Tenga en cuenta que el número de dígitos significativos requeridos depende del número de dígitos significativos (o cifras significativas) en las mediciones originales. Este ejemplo es una aproximación, por lo tanto el número de dígitos significativos no son necesariamente precisos.
Ordene los siguientes números de menor a mayor.
\(\begin{array}{lllll}5.411 \cdot 10^{-3} & 7.837 \cdot 10^{-4} & 9.999 \cdot 10^{3} & 9.5983 \cdot 10^{-7} & 8.0984 \cdot 10^{3}\end{array}\)
Primero considere el orden de magnitud de cada número. Los números pequeños tienen exponentes negativos. Si dos números tienen el mismo orden de magnitud, entonces compare los dígitos reales.
\(9.5983 \cdot 10^{-7}<7.837 \cdot 10^{-4}<5.411 \cdot 10^{-3}<8.0984 \cdot 10^{3}<9.999 \cdot 10^{3}\)
Calcula el siguiente número y usa notación científica.
\(2,000,000^{3} \cdot 3,000^{4}\)
Primero convierte cada número a notación científica individualmente, luego procesa el exponente y la multiplicación.
\(\begin{aligned} 2,000,000^{3} \cdot 3,000^{4} &=\left(2 \cdot 10^{6}\right)^{3} \cdot\left(3 \cdot 10^{3}\right)^{4} \\ &=8 \cdot 10^{18} \cdot 81 \cdot 10^{12} \\ &=648 \cdot 10^{30} \\ &=6.48 \cdot 10^{32} \end{aligned}\)
Simplifica la siguiente expresión.
\(\left(4.713 \cdot 10^{7}\right)+\left(8.985 \cdot 10^{5}\right)-\left(4.987 \cdot 10^{2}\right) \cdot\left(7.3 \cdot 10^{-6}\right) \div\left(6.74 \cdot 10^{-9}\right)\)
Resolver en orden de operación estándar
\(\left(4.713 \cdot 10^{7}\right)+\left(8.985 \cdot 10^{5}\right)-\left(4.987 \cdot 10^{2}\right) \cdot\left(7.3 \cdot 10^{-6}\right) \div\left(6.74 \cdot 10^{-9}\right)\)
\(=\left(4.713 \cdot 10^{7}\right)+\left(8.985 \cdot 10^{5}\right)-\left(5.40135 \cdot 10^{5}\right)\)
\(=\left(471.3 \cdot 10^{5}\right)+\left(8.985 \cdot 10^{5}\right)-\left(5.40135 \cdot 10^{5}\right)\)
\(=474.8836499 \cdot 10^{5}\)
\(=4.748836499 \cdot 10^{7}\)
Revisar
Escribe los siguientes números en notación científica.
1. 152,780
2. 0.00003256
3. 56, 320
4. 0.0821
5. 1, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000
6. 7.32
7. Si el presupuesto federal es de 1.5 billones de dólares, ¿cuánto cuesta a cada individuo, en promedio, si hay 300 mil millones de personas?
8. La Biblioteca del Congreso tiene alrededor de 60 mil millones de artículos. ¿Cómo podría expresar este número en notación científica?
9. El sol desarrolla\(5 \times 10^{23}\) caballos de fuerza por segundo. ¿Cuánta potencia se desarrolla en un día? ¿En un año con 365 días?
10. Un año luz es de aproximadamente 5,869,713,600 millas. Una nave espacial viaja\(8.23 \times 10^{4}\) millas por hora. ¿Cuánto tiempo tardará la nave espacial en viajar un año luz?
11. Calcula el siguiente número y usa notación científica:\(324,000 \cdot 30,000^{3}\).
12. Calcula el siguiente número y usa notación científica:\(14,300 \cdot 20,200^{2}\).
Simplifica las siguientes expresiones.
13. \(\left(3.29 \cdot 10^{4}\right)-\left(3.295 \cdot 10^{5}\right)+\left(1.25 \cdot 10^{2}\right) \cdot\left(3.97 \cdot 10^{15}\right) \cdot\left(5.8 \cdot 10^{-6}\right)\)
14. \(\left(1.95 \cdot 10^{2}\right)+\left(6.798 \cdot 10^{6}\right)+\left(2.896 \cdot 10^{3}\right) \cdot\left(5.6 \cdot 10^{-3}\right) \div\left(2.89 \cdot 10^{4}\right)\)
15. \(\left(2.158 \cdot 10^{7}\right) \cdot\left(1.679 \cdot 10^{6}\right)-\left(9.98 \cdot 10^{4}\right) \cdot\left(3.4 \cdot 10^{-2}\right)\)