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# 3.6: Ecuaciones Exponenciales

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Cuando estabas aprendiendo ecuaciones por primera vez, aprendiste la regla de que hagas lo que hagas a un lado de una ecuación, también debes hacerlo al otro lado para que la ecuación se mantenga en equilibrio. Las técnicas básicas de sumar, restar, multiplicar y dividir ambos lados de una ecuación trabajaron para resolver casi todas las ecuaciones hasta ahora. Con logaritmos, tienes más herramientas para aislar una variable. Considera la siguiente ecuación y pregúntate: ¿por qué es$$x=3$$? Lógicamente tiene sentido que si las bases coinciden, entonces los exponentes deben igualar también, pero ¿cómo se puede mostrar para ejemplos como este?

$$1.79898^{2 x}=1.79898^{6}$$

## Resolver ecuaciones exponenciales

Una técnica común para resolver ecuaciones con variables desconocidas en exponentes es tomar el log de la base deseada de ambos lados de la ecuación. Entonces, puede usar propiedades de registros para simplificar y resolver la ecuación.

Toma la siguiente ecuación. Para resolver$$t$$, primero debes simplificar la expresión tanto como sea posible y luego tomar el tronco natural de ambos lados.

$$9,000=300 \cdot \frac{(1.06)^{t}-1}{0.06}$$

\begin{aligned} 30 &=\frac{(1.06)^{t}-1}{0.06} \\ 1.8 &=(1.06)^{t}-1 \\ 2.8 &=1.06^{t} \\ \ln 2.8 &=\ln \left(1.06^{t}\right)=t \cdot \ln (1.06) \\ t &=\frac{\ln 2.8}{\ln 1.06} \approx 17.67 \text { years} \end{aligned}

No importa qué base uses en esta situación siempre y cuando uses la misma base en ambos lados. Elegir tronco natural le permite usar una calculadora para terminar el problema.

Obsérvese que este tipo de ecuaciones es común en las matemáticas financieras. La ecuación anterior representa la cantidad de tiempo desconocida que le llevará ahorrar $9,000 en una cuenta de ahorros si ahorra$300 al final de cada año en una cuenta que gana 6% de interés compuesto anual.

La otra buena base para usar es base$$10 .$$ Al resolver la siguiente ecuación para$$x: 16^{x}=25$$, necesitará usar una calculadora para obtener la respuesta final y su calculadora también puede manejar la base 10. Primero toma el tronco de ambos lados. Luego, usa las propiedades del registro y tu calculadora para ayudarte.

\begin{aligned} 16^{x} &=25 \\ \log 16^{x} &=\log 25 \\ x \log 16 &=\log 25 \\ x &=\frac{\log 25}{\log 16} \\ x &=1.16 \end{aligned}

## Ejemplos

### Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó cómo mostrar que si las bases coinciden en una ecuación, los exponentes deberían coincidir. En la ecuación, los registros se pueden usar para reducir la ecuación a$$2 x=6$$.

$$1.79898^{2 x}=1.79898^{6}$$

Tome el tronco de ambos lados y use la propiedad de exponenciación de troncos para sacar al exponente al frente.

\begin{aligned} \log 1.79898^{2 x} &=\log 1.79898^{6} \\ 2 x \cdot \log 1.79898 &=6 \cdot \log 1.79898 \\ 2 x &=6 \\ x &=3 \end{aligned}

### Ejemplo 2

Resuelve la siguiente ecuación para todos los valores posibles de$$x:(x+1)^{x-4}-1=0$$

$$(x+1)^{x-4}-1=0$$

$$(x+1)^{x-4}=1$$

El caso 1 es que$$x+1$$ es positivo en cuyo caso se puede tomar el tronco de ambos lados.

\begin{aligned} \log (x+1)^{(x-4)} &=\log 1 \\(x-4) \cdot \log (x+1) &=0 \\ x-4=0 & \text { or } \log (x+1)=0 \\ x=& 4 \text { or }(x+1)=10^{0}=1 \\ & x=4,0 \end{aligned}

Tenga en cuenta que$$\log 1=0$$

Caso 2 es que$$(x+1)$$ es negativo 1 y elevado a una potencia par. Esto sucede cuando$$x=-2$$.

\begin{aligned}(x+1)^{(x-4)} &=1 \\(-2+1)^{(-2-4)}-1 &=(-1)^{-6}-1 \\ &=\frac{1}{(-1)^{6}}-1 \\ &=0 \end{aligned}

La razón por la que se incluye este ejercicio es porque no debes caer en el hábito de asumir que puedes tomar el registro de ambos lados de una ecuación. Sólo es válido cuando el argumento es estrictamente positivo. Por ejemplo, no$$\log (-2+1)^{(-2-4)}=\log (-1)$$ es posible.

### Ejemplo 3

La intensidad de la luz, medida en lúmenes, puede describirse por la relación entre$$i$$ la intensidad y$$d$$ la profundidad en pies a medida que viaja a profundidades específicas de agua en una piscina. ¿Cuál es la intensidad de la luz a 10 pies?

$$\log \left(\frac{i}{12}\right)=-0.0145 \cdot d$$

Dado$$d=10$$, resolver para$$i$$ medido en lúmenes.

\begin{aligned} \log \left(\frac{i}{12}\right) &=-0.0145 \cdot d \\ \log \left(\frac{i}{12}\right) &=-0.0145 \cdot 10 \\ \log \left(\frac{i}{12}\right) &=-0.145 \\\left(\frac{i}{12}\right) &=10^{-0.145} \\ i &=12 \cdot 10^{-0.145} \approx 8.594 \end{aligned}

### Ejemplo 4

Resolver la siguiente ecuación para todos los valores posibles de$$x$$.

$$\frac{e^{x}-e^{-x}}{3}=14$$

Primera solución para$$e^{x}$$,

\begin{aligned} \frac{e^{x}-e^{-x}}{3} &=14 \\ e^{x}\left(e^{x}-e^{-x}\right) &=(42) e^{x} \\ e^{2 x}-1 &=42 e^{x} \\\left(e^{x}\right)^{2}-42 e^{x}-1 &=0 \end{aligned}

Let$$u=e^{x}$$

$$u^{2}-42 u-1=0$$

$$u=\frac{-(-42) \pm \sqrt{(-42)^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-1)}}{2 \cdot 1}=\frac{42 \pm \sqrt{1768}}{2} \approx 42.023796,-0.0237960$$

Tenga en cuenta que el resultado negativo es extraño porque$$e^{x}$$ debe ser mayor a cero, por lo que solo se procede a resolver$$x$$ para un resultado.

\begin{aligned} e^{x} & \approx 42.023796 \\ x & \approx \ln 42.023796 \approx 3.738 \end{aligned}

### Ejemplo 5

Resolver la siguiente ecuación para todos los valores posibles de$$x:\left(\log _{2} x\right)^{2}-\log _{2} x^{7}=-12$$.

En el cálculo es común utilizar una pequeña sustitución para simplificar el problema y luego volver a sustituirla más tarde. En este caso vamos$$u=\log _{2} x$$. Observe que se trata de un problema cuadrático.

\begin{aligned}\left(\log _{2} x\right)^{2}-7 \log _{2} x+12 &=0 \\ u^{2}-7 u+12 &=0 \\(u-3)(u-4) &=0 \\ u &=3,4 \end{aligned}

Ahora sustituya de nuevo y resuelva por$$x$$ en cada caso.

$$\log _{2} x=3 \leftrightarrow 2^{3}=x=8$$

$$\log _{2} x=4 \leftrightarrow 2^{4}=x=16$$

Revisar

Resuelve cada ecuación para$$x$$. Redondear cada respuesta a tres decimales.

1. $$4^{x}=6$$

2. $$5^{x}=2$$

3. $$12^{4 x}=1020$$

4. $$7^{3 x}=2400$$

5. $$2^{x+1}-5=22$$

6. $$5 x+12^{x}=5 x+7$$

7. $$2^{x+1}=2^{2 x+3}$$

8. $$3^{x+3}=9^{x+1}$$

9. $$2^{x+4}=5^{x}$$

10. $$13 \cdot 8^{0.2 x}=546$$

11. $$b^{x}=c+a$$

12. $$32^{x}=0.94-.12$$

Resuelve cada ecuación logarítmica usando propiedades logarítmicas y reescribiendo como ecuación exponencial.

13. $$\log _{3} x+\log _{3} 5=2$$

14. $$2 \log x=\log 8+\log 5-\log 10$$

15. $$\log _{9} x=\frac{3}{2}$$

...

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