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7.1: Propiedades Básicas de los Vectores

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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Un avión que está siendo empujado por el viento y el movimiento de un nadador a través de un río en movimiento son ejemplos de vectores en acción. Los puntos en el plano de coordenadas describen la ubicación. Los vectores, por otro lado, no tienen ubicación e indican sólo dirección y magnitud. Los vectores pueden describir la fuerza de fuerzas como la gravedad o la velocidad y dirección de un barco en el mar. Los vectores son extremadamente útiles para modelar situaciones complejas en el mundo real.

    ¿Cuáles son otras diferencias entre vectores y puntos?

    Propiedades de Vectores

    Un vector bidimensional se representa gráficamente como una flecha con una cola y una cabeza. La cabeza es la flecha y también se llama punto terminal. Al encontrar el vector entre dos puntos se inicia con el punto terminal y se resta el punto inicial (la cola).

    Las dos características definitorias de un vector son su magnitud y su dirección. La magnitud se muestra gráficamente por la longitud de la flecha y la dirección se indica por el ángulo que la flecha está apuntando. Observe cómo el siguiente vector se muestra varias veces en el mismo plano de coordenadas. Esto enfatiza que la ubicación en el plano de coordenadas no importa y no es única. Cada representación del vector tiene dirección y magnitud idénticas.

    Una forma de definir un vector es como un segmento de línea con una dirección. Se dice que los vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección. El valor absoluto de un vector es el mismo que la longitud del segmento de línea o la magnitud del vector. La magnitud se puede encontrar usando el Teorema de Pitágoras o la fórmula de distancia.

    Hay algunas formas diferentes de escribir un vector\(v\).

    \(v, \vec{v}, \vec{v},\)o\(v\) con un\(\sim\) debajo

    Cuando escribes sobre vectores algebraicamente hay algunas formas de describir un vector específico. Primero, podrías describir su magnitud y ángulo como\(r, \theta\). Segundo, podrías describirlo como un par ordenado:\(<x, y>\). Observe que al discutir vectores debe usar los corchetes\(<>\) en lugar de paréntesis porque ayuda a evitar confusiones entre un vector y un punto. Los vectores pueden ser multidimensionales.

    A menudo se utilizan vectores para describir el movimiento de los objetos. Para describir el movimiento de un barco está viajando NNW a 17 nudos (náutico\(\mathrm{mph}\)) como vector, observe que NNW está a medio camino entre\(\mathrm{NW}\) y\(\mathrm{N}\). Al describir los barcos en el mar, lo mejor es usar un rodamiento que tenga\(0^{\circ}\) como debido Norte y\(270^{\circ}\) como debido Oeste. Esto hace que NW sea igual a\(315^{\circ}\) y NNW igual a\(337.5^{\circ}\).

    Cuando ves esta imagen, se convierte en una pregunta trigonada básica para encontrar los\(y\) componentes\(x\) y del vector. Tenga en cuenta que el ángulo de referencia que hace el vector con la porción negativa del\(x\) eje es\(67.5^{\circ}\)

    \(\sin 67.5^{\circ}=\frac{y}{17}, \cos 67.5^{\circ}=\frac{x}{17}\)
    \(<x, y>\approx<-6.5,15.7>\)

    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le preguntó cuáles son las diferencias entre puntos y vectores. Hay muchas diferencias entre puntos y vectores. Los puntos son ubicaciones y los vectores se componen de distancia y ángulos. Los paréntesis se utilizan para los puntos y\(\langle>\) se utilizan para los vectores. Una relación entre vectores y puntos es que un punto más un vector producirá un nuevo punto. Es como si hubiera un punto de partida y luego un vector te dijera a dónde ir desde ese punto. Sin el punto de partida, el vector podría comenzar desde cualquier lugar.

    Ejemplo 2

    Considerar los puntos:\(A(1,3), B(-4,-6), C(5,-13)\). Encuentra los vectores en component form of\(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B A}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{C B}\)

    Recuerda que al encontrar el vector entre dos puntos, comienza con el punto terminal y resta el punto inicial.

    \(\overrightarrow{A B}=<-5,-9>\)
    \(\overrightarrow{B A}=<5,9>\)
    \(\overrightarrow{A C}=<4,-16>\)
    \(\overrightarrow{C B}=<-9,7>\)

    Ejemplo 3

    Un padre está tirando a su hija por una colina. El cerro tiene\(20^{\circ}\) pendiente. La hija está en un trineo que se sienta en el suelo y tiene una cuerda que el padre tira mientras camina. La cuerda hace un\(39^{\circ}\) ángulo con la pendiente. Un diagrama de fuerza es una colección de vectores que representan cada uno una fuerza como la gravedad o el viento que actúa sobre un objeto. Dibuja un diagrama de fuerza que muestre cómo actúan estas fuerzas sobre el centro de gravedad de la hija:

    a. La fuerza de gravedad.
    b. La fuerza que sostiene a la hija en el trineo al suelo.
    c. La fuerza que tira a la hija hacia atrás por la pendiente.
    d. La fuerza del padre tirando a la hija por la pendiente.

    El centro de gravedad de la niña está representado por el punto negro. La fuerza de la gravedad es la flecha negra recta hacia abajo. La flecha verde es el efecto de la gravedad tirando a la niña por la pendiente. La flecha roja es el efecto de la gravedad empujando a la niña directamente a la pendiente. La flecha azul representa la fuerza que está ejerciendo el padre mientras tira a la niña por la colina.

    Observe que el vector de fuerza del padre (azul) es más largo que la fuerza que tira a la niña cuesta abajo. Esto quiere decir que con el tiempo avanzarán y ascenderán al cerro. También tenga en cuenta que el padre está desperdiciando parte de su energía levantando en lugar de simplemente tirar. Si pudiera tirar en un ángulo directamente opuesto a la fuerza que tira a la niña cuesta abajo, entonces estaría usando toda su energía de manera eficiente.

    Ejemplo 4

    Centrar el diagrama de fuerza de la pregunta anterior en el origen e identificar el ángulo entre cada vector de fuerza consecutivo.

    Los\(y\) ejes\(x\) y se incluyen como referencia y se observa que el vector de gravedad se superpone con el\(y\) eje negativo. Para encontrar cada ángulo, debes usar tus conocimientos de ángulos suplementarios, complementarios y verticales y todas las pistas de la pregunta. Para verificar, ver si todos los ángulos se suman a ser\(360^{\circ}\).

    Ejemplo 5

    Dados los siguientes vectores y punto, computar la suma.

    \ (
    \ begin {array} {l}
    A =( 1,3),\ vec {v} =<4,8>,\ vec {u} =<-1, -5>\\
    A+\ vec {v} +\ vec {u} =? \\
    A =( 1,3),\ vec {v} =<4,8>,\ vec {u} =<-1, -5>. A+\ vec {v} +\ vec {u} = (4,6)
    \ end {array}
    \)

    Revisar

    1. Describa lo que es un vector y dé un ejemplo de la vida real de algo que un vector podría modelar.

    Considerar los puntos:\(A(3,5), B(-2,-4), C(1,-12), D(-5,7)\). Encuentra los vectores en component form de:

    2. \(\overrightarrow{A B}\)

    3. \(\overrightarrow{B A}\)

    4. \(\overrightarrow{A C}\)

    5. \(\cdot \overrightarrow{C B}\)

    6. \(\cdot \overrightarrow{A D}\)

    7. \(\overrightarrow{D A}\)

    8. ¿Qué es\(C+\overline{C B}\)? Calcular esto algebraicamente y describir por qué la respuesta tiene sentido.

    9. Usa tu respuesta al problema anterior para ayudarte a determinar\(D+\overrightarrow{D A}\) sin hacer ningún álgebra.

    10. Un barco viaja SSW a 13 nudos. Describir el movimiento de esta nave en un vector.

    11. Un vector que describe un movimiento de barcos es\(<5 \sqrt{2}, 5 \sqrt{2}>\). ¿En qué dirección viaja el barco y cuál es su velocidad en nudos?

    Para cada uno de los siguientes vectores, dibuje el vector en un plano de coordenadas comenzando en el origen y encuentre su magnitud.

    12. \(<3,7>\)

    13. \(<-3,4>\)

    14. \(<-5,10>\)

    15. \(<6,-8>\)


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