8.4 Operaciones matriciales

Álgebra se refiere a su capacidad para manipular variables e incógnitas basadas en reglas y propiedades. El álgebra matricial es extremadamente similar al álgebra que ya conoces para números con algunas diferencias importantes. ¿Cuáles son estas diferencias?

Álgebra con Matrices

Suma y resta

Se pueden agregar dos matrices del mismo orden sumando las entradas en las posiciones correspondientes.

\(\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{lll} 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 7 & 7 & 7 \\ 7 & 7 & 7 \end{array}\right]\)

Dos matrices del mismo orden pueden restarse restando las entradas en las posiciones correspondientes.

\(\left[\begin{array}{ccc}10 & 9 & 8 \\ 7 & 6 & 5\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}8 & 7 & 6 \\ 5 & 4 & 3\end{array}\right]\)

Multiplicación

Se puede encontrar el producto de matriz\(A\) y matriz\(B\) si el número de columnas en matriz\(A\) coincide con el número de filas en matriz\(B\). Otra forma de recordar esto es cuando escribes los órdenes de matrix\(A\) y matrix uno al\(B\) lado del otro deben estar conectados por el mismo número. La matriz resultante tiene el número de filas de la primera matriz y el número de columnas de la segunda matriz.

\((2 \times 3) \cdot(3 \times 5)=(2 \times 5)\)

Para calcular la primera entrada de la\(2 \times 5\) matriz resultante se debe hacer coincidir la primera fila de la primera matriz y la primera columna de la segunda matriz. La operación aritmética para combinar estos números es idéntica a tomar el producto punto entre dos vectores.

• La entrada en la primera fila primera columna de la nueva matriz se calcula como\(1 \cdot 0+4 \cdot 2+3 \cdot 1=11\).
• - La entrada en la primera columna de la segunda fila de la nueva matriz se calcula como\(5 \cdot 0+6 \cdot 2+9 \cdot 1=21\)
• - La entrada en la segunda columna de la primera fila de la nueva matriz se calcula como\(1 \cdot 1+4 \cdot 0+3 \cdot 1=4\)
• - La entrada en la segunda columna de la segunda fila de la nueva matriz se calcula como\(5 \cdot 1+6 \cdot 0+9 \cdot 1=14\)

Continúa con este patrón y encontrarás que la solución a esta multiplicación es:

C=\(\left[\begin{array}{ccccc} 11 & 4 & 12 & 9 & 7 \\ 21 & 14 & 42 & 17 & 15 \end{array}\right]\)

Otras propiedades del álgebra matricial

• Retenes de conmutatividad para la adición de matriz. Esto significa que cuando las matrices\(A\) y se\(B\) pueden agregar (cuando tienen órdenes coincidentes), entonces:\(A+B=B+A\)
• La conmutatividad no se sostiene en general para la multiplicación matricial.
• La asociatividad se mantiene tanto para multiplicación como para suma. \((A B) C=A(B C),(A+B)+C=A+(B+C)\)
• Distribución sobre retenciones de suma y resta. \(A(B \pm C)=A B \pm A C\)

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó cuáles son las diferencias entre la matriz y el álgebra regular. La principal diferencia entre álgebra matricial y álgebra regular con números es que las matrices no tienen la propiedad conmutativa para la multiplicación. Hay otras complejidades que tienen las matrices, pero muchas de ellas se derivan del hecho de que para la mayoría de las matrices\(A B \neq B A\).

Ejemplo 2

Demostrar que la propiedad conmutativa no posee demostrando\(A B \neq B A\)

\(A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 8 \\ 1 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 12\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 0\end{array}\right]\)

\(A B=\left[\begin{array}{ccc}30 & 22 & -1 \\ 5 & 9 & 3 \\ 58 & 62 & 7\end{array}\right]\)

\(B A=\left[\begin{array}{ccc}9 & 12 & 20 \\ 6 & 5 & 28 \\ 3 & 2 & 32\end{array}\right]\)

Ejemplo 3

Calcular la siguiente aritmética matricial:\(10 \cdot(2 A-3 C) \cdot B\).

\(A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 4 & 5\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 2\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{cc}12 & 0 \\ 1 & 3\end{array}\right]\)

Cuando una matriz se multiplica por un escalar (como con\(2 A\)), multiplica cada entrada en la matriz por el escalar.

\(2 A=\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\ 8 & 10\end{array}\right]\)

\(-3 C=\left[\begin{array}{cc}-36 & 0 \\ -3 & -9\end{array}\right]\)

\(2 A-3 C=\left[\begin{array}{cc}-34 & 4 \\ 5 & 1\end{array}\right]\)

Dado que la propiedad asociativa se mantiene, puede distribuir el diez o multiplicar por matriz\(B\) siguiente.

\((2 A-3 C) \cdot B=\left[\begin{array}{ccc}16 & -22 & -60 \\ 4 & 8 & 12\end{array}\right]\)

\(10 \cdot(2 A-3 C) \cdot B=\left[\begin{array}{ccc}160 & -220 & -600 \\ 40 & 80 & 120\end{array}\right]\)

Ejemplo 4

Utilice su calculadora para ingresar y calcular las siguientes operaciones matriciales.

\(\begin{array}{l}A=\left[\begin{array}{ccc}54 & 65 & 12 \\ 235 & 322 & 167 \\ 413 & 512 & 123\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}163 & 212 & 466 \\ 91 & 221 & 184 \\ 42 & 55 & 42\end{array}\right] \\ A^{T} \cdot B \cdot A-100 A & \end{array}\)

La mayoría de las calculadoras gráficas como la TI-84 pueden realizar operaciones en matrices. Encuentra dónde puedes ingresar matrices e ingresar las dos matrices.

A continuación, escriba la operación correspondiente y vea el resultado. El TI-84 tiene incorporado un botón Transpose.

Los números reales en esta práctica guiada son menos importantes que el conocimiento de que su calculadora puede realizar todo el álgebra matricial demostrado en este concepto. Es útil conocer a fondo las capacidades de las herramientas a su disposición, pero no debe reemplazar saber por qué la calculadora hace lo que hace.

Ejemplo 5

La multiplicación matricial se puede utilizar como una transformación en el sistema de coordenadas. Considera el triángulo con coordenadas (0, 0) (1, 2) y (1, 0) la siguiente matriz:

\ left [\ begin {array} {cc}

\ cos 90^ {\ circ} &\ sin 90^ {\ circ}\\

-\ sin 90 &\ cos 90

\ end {array}\ derecha]

¿Qué aspecto tiene la nueva imagen?

La matriz se simplifica para convertirse en:

\(\left[\begin{array}{ll}\cos 90^{\circ} & \sin 90^{\circ} \\ -\sin 90 & \cos 90\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]\)

Cuando se aplica a cada punto como una transformación, se produce un nuevo punto. Tenga en cuenta que\(\left[\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right]\) es una matriz que representa cada punto original y\(\left[x^{\prime} y^{\prime}\right]\) es el punto nuevo. El\(x^{\prime}\) se lee como\({ }^{a} x\) primo” y es una forma común de referirse a un resultado después de una transformación.

\(\left[\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}x^{\prime} & y^{\prime}\end{array}\right]\)

\(\left[\begin{array}{ll}0 & 0\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 0\end{array}\right]\)

\(\left[\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}-2 & 1\end{array}\right]\)

\(\left[\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 1\end{array}\right]\)

Observe cómo la transformación matricial gira los gráficos en sentido contrario a las agujas del reloj\(90^{\circ}\).

\(\left[\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}\cos 90^{\circ} & \sin 90^{\circ} \\ -\sin 90 & \cos 90\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}-y & x\end{array}\right]\)

La transformación matricial aplicada en el siguiente orden girará una gráfica en sentido horario\(90^{\circ}\).

\(\left[\begin{array}{cc}\cos 90^{\circ} & \sin 90^{\circ} \\ -\sin 90 & \cos 90\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}y \\ -x\end{array}\right]\)

Revisar

Haz #1 - #11 sin tu calculadora.

\(A=\left[\begin{array}{ll}2 & 7 \\ 3 & 8\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}0 & 5 & 1 \\ 3 & 4 & 6\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{cc}14 & 6 \\ 1 & 2\end{array}\right], D=\left[\begin{array}{ll}5 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right]\)

1. Encuentra\(A C\). Si no es posible, explique.

2. Encuentra\(B A\). Si no es posible, explique.

3. Encuentra\(C A\). Si no es posible, explique.

4. Encuentra\(4 B^{T}\). Si no es posible, explique.

5. Encuentra\(A+C\). Si no es posible, explique.

6. Encuentra\(D-A\). Si no es posible, explique.

7. Encuentra\(2(A+C-D)\). Si no es posible, explique.

8. Encuentra\((A+C) B\). Si no es posible, explique.

9. Encuentra\(B(A+C)\). Si no es posible, explique.

10. Demostrar que\(A(C+D)=A C+A D\)

11. \(A(C-D)=A C-A D\)Demuéstralo.

Practica usando tu calculadora para #12 - #15.

\(E=\left[\begin{array}{ccc}312 & 59 & 34 \\ 342 & 156 & 189 \\ 783 & 23 & 133\end{array}\right], F=\left[\begin{array}{ccc}33 & 72 & 21 \\ 93 & 41 & 94 \\ 62 & 75 & 72\end{array}\right], G=\left[\begin{array}{ccc}11 & 735 & 67 \\ 93 & 456 & 2 \\ 94 & 34 & 0\end{array}\right]\)

12. Encuentra\(E+F+G\)

13. Encuentra\(2 E\)

14. Encuentra\(4 F\)

15. Encuentra\((E+F) G\)