5.3.11: Teorema de Demoivre

Simplificar el cálculo de potencias de números complejos.

Poderes y raíces de números complejos

Calcular (simplificar) manualmente una declaración como:\((14−17i)^5\) o\(\sqrt[4]{(3−2i)}\) en forma presente (rectangular) sería un proceso muy intensivo en el mejor de los casos.

Afortunadamente aprenderás en esta lección que existe una alternativa: el teorema de De Moivre. El teorema de De Moivre es realmente el único método práctico para encontrar los poderes o raíces de un número complejo, pero hay una captura...

¿Qué se debe hacer con un número complejo antes de poder utilizar el teorema de De Moivre?

Poderes y raíces de números complejos

Poderes de números complejos

¿Cómo elevamos un número complejo a una potencia? Empecemos con un ejemplo:

\((−4−4i)^3=(−4−4i)\cdot (−4−4i)\cdot (−4−4i)\)

En forma rectangular, esto puede llegar a ser muy complejo. ¿Y en\(r \; cis \; \theta\) forma?

\((−4−4i)=4\sqrt{2} \; cis \; \left(\dfrac{5 \pi}{4}\right)\)

Entonces el problema se convierte

\(4\sqrt{2} \; cis \;\left(\dfrac{5 \pi}{4}\right)\cdot 4\sqrt{2} \; cis \;\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\cdot 4\sqrt{2} \; cis \;\left(\dfrac{5 \pi}{4}\right)\)

y usando nuestra regla de multiplicación de la sección anterior,

\((−4−4i)^3=(4\sqrt{2} )^3 \; cis \;(\dfrac{15\pi}{4})\)

Aviso,\((a + bi)^3= r^3 \; cis \; 3 \theta\)

En palabras: Elevar el valor r hasta el mismo grado en que se eleva el número complejo y luego multiplica eso por\(\; cis \;\) del ángulo multiplicado por el número del grado.

Reflexionando sobre el ejemplo anterior, podemos identificar el teorema de De Moivre:

Dejar\(z = r(\cos \theta + i \sin \theta )\) ser un número complejo en\(r\; cis \;\theta\) forma. Si n es un entero positivo,\(z^n\) es\(z^n = r (\cos (n\theta ) + i \sin (n\theta ))\)

Debe quedar claro que la forma polar proporciona un resultado mucho más rápido para elevar un número complejo a una potencia que hacer el problema en forma rectangular.

Raíces de números complejos

Probablemente se dio cuenta hace mucho tiempo que cuando se presenta una nueva operación en matemáticas, a menudo sigue la operación inversa. Eso generalmente se debe a que la operación inversa suele ser procesalmente similar, y tiene sentido aprender ambas al mismo tiempo.

Esto no es una excepción:

La operación inversa de encontrar una potencia para un número es encontrar una raíz del mismo número.

1. Recordemos del álgebra que cualquier raíz puede escribirse como\(x^{1/n}\)
2. Dado que la fórmula para el teorema de De Moivre también funciona para potencias fraccionarias, la misma fórmula puede ser utilizada para encontrar raíces:

\(z ^{1/n}=(a+bi)^{1/n}=r^{1/n} \; cis \;\left(\dfrac{\theta }{n}\right)\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Anteriormente, se le preguntó qué se le debía hacer a un número complejo antes de poder usar el teorema de De Moivre en él.

Solución

Una operación numérica compleja escrita en forma rectangular, como:\((13−4i)^3\) debe convertirse a forma polar antes de utilizar el teorema de De Moivre.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el valor de\((1+\sqrt{3} i)^4\).

Solución

\(r=\sqrt{(1)^2+(\sqrt{3} )^2}=2\)

\(\tan \theta_{ref} =\dfrac{\sqrt{3} }{1}\),

y\(\theta \) está en el primer ^cuadrante, por lo

\(\theta =\dfrac{\pi}{3}\)

Usando nuestra ecuación de arriba:

\(\begin{aligned} z^4 &=r^4 \; cis \; 4\theta \\ z^4 &=(2)^4 \; cis \; \dfrac{4 \pi}{3} \end{aligned}\)

\(\; cis \;\)Forma expansiva:

\(\begin{aligned} z^4 &=16\left(\cos \left(\dfrac{4 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\dfrac{4 \pi}{3}\right)\right) \\ &= 16((−0.5)−0.866i)\end{aligned}\)

Por último tenemos

\(z^4 = -8 - 13.856i\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra\(\sqrt{1+i}\).

Solución

Primero, reescribir en forma exponencial:\((1 + i)^{1/2}\)

Y ahora en forma polar:

\(\sqrt{1+i}=\left(\sqrt{2} \; cis \; \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)^{1/2}\)

Ampliando\(\; cis \;\) la forma,

\(=\left(\sqrt{2} \left(\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)\right)^{1/2}\)

Usando la fórmula:

\(\begin{aligned}&=(2^{1/2})^{1/2}\left(\cos \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi }{4}\right)+i \sin \left(\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\pi }{4}\right)\right) \\ &=2^{1/4}\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{8} \right)+i \sin \left(\dfrac{\pi}{8} \right)\right)\end{aligned}\)

En forma decimal, obtenemos

\(\begin{aligned} &=1.189( 0.924 + 0.383i) \\ &=1.099 + 0.455i\end{aligned}\)

Para verificar, multiplicaremos el resultado por sí mismo en forma rectangular:

\(\begin{aligned} (1.099+0.455i) \cdot (1.099+0.455i) &=1.0992+1.099(0.455i)+1.099(0.455i) + (0.455i)^2 \\ &=1.208+0.500i+0.500i+0.208i^2 \\ &=1.208+i−0.208 \text{ or } \\ &=1+i \end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el valor de\(x\):\(x_3=(1−\sqrt{3} i)\).

Solución

Primero ponemos\(1−\sqrt{3} i\) en forma polar.

Utilizar\(x=1\),\(y=−\sqrt{3} \) para obtener\(r=2\),\(\theta =5\dfrac{\pi}{3}\)

\(\begin{aligned} \text{let } z&=(1−\sqrt{3} i) && \text{in rectangular form} \\ z&=2 \; cis \; \left(5\dfrac{\pi}{3}\right) && \text{in polar form }\\ x&=(1−\sqrt{3} i)^{1/3} \\ x&=\left[2\; cis \; \left(\dfrac{5\pi}{3}\right)\right]^{1/3}\end{aligned}\)

Usa el teorema de De Moivre para encontrar la primera solución:

\(x_1=2^{1/3}\; cis \; \left(\dfrac{5\pi /3}{3}\right)\)o\(2^{1/3}\; cis \;\left(\dfrac{5 \pi}{9}\right)\)

Deja la respuesta en\(\; cis \;\) forma para encontrar las soluciones restantes:

\(n = 3\)lo que significa que las 3 soluciones están separadas por\(\dfrac{2 \pi}{3}\) radianes o

\(x_2=2^{1/3}\; cis \; \left(\dfrac{5 \pi}{9}+\dfrac{2 \pi}{3}\right)\)y\(x_3=2^{1/3}\; cis \; \left(\dfrac{5 \pi}{9}+\dfrac{2 \pi}{3}+\dfrac{2 \pi}{3}\right)\)

NOTA: No es necesario\(\dfrac{2 \pi}{3}\) volver a agregar. Sumando\(\dfrac{2 \pi}{3}\) tres veces iguales\(2\pi \). Eso resultaría en rotar alrededor de un círculo completo y comenzar por donde todo comenzó- esa es la primera solución.

Las tres soluciones son:

\(\begin{aligned} x_1&=2^{1/3}\; cis \;\left(\dfrac{5 \pi}{9}\right) \\ x_2&=2^{1/3}\; cis \; \left(\dfrac{11 \pi}{9}\right) \\ x_3&=2^{1/3}\; cis \; \left(\dfrac{17\pi}{ 9}\right) \end{aligned}\)

Cada una de estas soluciones, cuando se grafiquen, estarán\(\dfrac{2 \pi}{3}\) separadas.

Figura\(\PageIndex{1}\)

Consulta cualquiera de estas soluciones para ver si los resultados están confirmados.

Comprobando la segunda solución:

\(\begin{aligned} x_2&=2^{1/3}\; cis \;(\dfrac{11 \pi}{9}) \\ &=1.260\left[\cos \left(\dfrac{11 \pi}{9}\right)+i \sin \left(\dfrac{11 \pi}{9}\right) \right] \\&=1.260[−0.766−0.643i] \\ &=−0.965−0.810i \end{aligned}\)

¿\((-0.965 – 0.810i)^3\)O\((-0.965 – 0.810i) (-0.965 – 0.810i) (-0.965 – 0.810i)\)

\(=(1−\sqrt{3} i)\)?

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

¿De qué son las dos raíces cuadradas\(i\)?

Solución

Vamos\(z=\sqrt{0+i}\).

\(\begin{aligned} z_1 &=\left[1\times \; cis \;\dfrac{\pi}{4}\right] &\quad \text{ or } \quad& z_2=\left[1\times \; cis \;5\dfrac{\pi}{4}\right] \\ z_1 &=1\left(\cos \dfrac{\pi}{4}+i \sin \dfrac{\pi}{4}\right) &\quad \text{ or } \quad& z_2=1\left(\cos 5\dfrac{\pi}{4}+i \sin 5\dfrac{\pi}{4}\right) \\ z_1 &=0.707+0.707i &\quad \text{or } \quad& z_2=−0.707−0.707i \end{aligned}\)

Comprobar la\(z_1 \) solución:\((0.707 + 0.707i)^2 = i\)?

\(0.500 + 0.500i + 0.500i + 0.500i^2= 0.500 + i + 0.500(-1)\)o\(i\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Calcular\(\sqrt[4]{(1+0i)}\). ¿Cuáles son las cuatro cuartas raíces de 1?

Solución

Dejar\(z = 1\) o\(z = 1 + 0i\). Entonces el problema se convierte en hallazgo\(z^{1/4}= (1 + 0i)^{1/4}\).

Desde\(r=1 \theta =0\),\(z^{1/4}=[1\times \; cis \; 0]^{1/4}\) con\(z_1 =1^{1/4} \left(\cos \dfrac{0}{4}+i \sin \dfrac{0}{4}\right)\) o\(1(1+0)\) o\(1\)

Esa raíz no es una sorpresa. Ahora usa De Moivre para encontrar las otras raíces:

\(z_2=1^{1/4} \left[\cos \left(0+\dfrac{\pi}{2} \right)+i \sin \left(0+\dfrac{\pi}{2} \right) \right] \)

Ya que hay 4 raíces, dividiendo\(2\pi\) por 4 rendimientos\(0.5\pi\)

\(0 + i\)o simplemente\(i\)\(z_3=1^{1/4}\left[\cos \left(0+\dfrac{2 \pi}{2} \right)+i \sin \left(0+\dfrac{2 \pi}{2} \right) \right]\) que rinde\(z_3 = -1\)

Finalmente,\(z_4=1^{1/4} \left[\cos \left(0+\dfrac{3 \pi}{2} \right)+i \sin \left(0+\dfrac{3 \pi}{2} \right)\right]\) o z_4 =−i

Las cuatro cuartas raíces de 1 son 1, i, -1 y -i.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Calcular\((\sqrt{3} +i)^7\).

Solución

Para calcular\((\sqrt{3} +i)^7\) inicio convirtiendo a\(r\; cis \; \) forma.

Primero, encuentra\(r\). Recordar\(r=\sqrt{\sqrt{3}^2 +1^2}\).

\(\begin{aligned} r&=\sqrt{3+1} \\ r&=2 \end{aligned}\)

Si\(\cos \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \) y\(\sin \theta =\dfrac{1}{2}\) entonces\(\theta =30^{\circ}\) y está en cuadrante I. Ahora que tenemos forma trigonométrica, el resto es fácil:

\(\begin{aligned} (\sqrt{3} +i)^7&=[2(\cos 30^{\circ}+i\sin 30^{\circ})]^7 && \text{Write the original problem in } r \; cis \; \text{form} \\ &=2^7[(\cos (7\cdot 30^{\circ})+i\sin (7\cdot 30^{\circ})] && \text{De Moivre's theorem}\\ &=128 \left[−\dfrac{\sqrt{3} }{2}+\dfrac{−1}{2} i \right] && \text{Simplify} \\ (\sqrt{3} +i)^7&=−64\sqrt{3} −64i &&\text{Simplify again} \\ \therefore (\sqrt{3} +i)^7&=−64\sqrt{3} −64i \end{aligned}\)

Revisar

Realice la operación indicada en estos números complejos:

1. Dividir:\(\dfrac{2+3i}{1−i}\)
2. Multiplicar:\((−6−i)(−6+i)\)
3. Multiplicar:\(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}−\dfrac{1}{2} i\right)^2\)
4. Encuentra el producto usando forma polar:\((2+2i)(\sqrt{3} −i)\)
5. Multiplicar:\(2(\cos 40^{\circ} +i \sin 40^{\circ} )\cdot 4(\cos 20^{\circ} +i \sin 20^{\circ} )\)
6. Multiplicar:\(2(\cos \dfrac{\pi}{8} +i \sin \dfrac{\pi}{8} )\cdot 2\left(\cos \dfrac{\pi}{10} +i \sin \dfrac{\pi}{10} \right)\)
7. Dividir:\(2(\cos 80^{\circ} +i \sin 80^{\circ} )\div 6(\cos 200^{\circ} +i \sin 200^{\circ} )\)
8. Dividir:\(3 \; cis \;(130^{\circ} )\div 4 \; cis \;(270^{\circ} )\)

Usa el teorema de De Moivre.

9. \([3(\cos 80^{\circ} +i \sin 80^{\circ} )]^3\)
10. \(\left[\sqrt{2} \left(\cos \dfrac{5\pi }{16}+i \sin \dfrac{5 \pi}{16} \right)\right]^4\)
11. \((\sqrt{3} −i)^6\)
12. Identificar las 3 raíces cubitas complejas de\(1+i\)
13. Identificar las 4 cuartas raíces complejas de\(−16i\)
14. Identificar las cinco quintas raíces complejas de\(i\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 4.10.

El vocabulario

Término	Definición
número complejo	Un número complejo es la suma de un número real y un número imaginario, escritos en la forma\(a+bi\).
Teorema de De Moivre	El teorema de De Moivre es el único método manual práctico para identificar los poderes o raíces de los números complejos. El teorema afirma que si\(z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\) es un número complejo en\(r\; cis \;\theta \) forma y n es un entero positivo, entonces\(z^n=r^n(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta ))\).

Recursos adicionales

Video: Determinar las enésimas raíces de un número complejo

Práctica: Teorema de Demoivre