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4.7: Elementos clave del capítulo

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    151073
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    Juicios de Bernoulli
    un experimento con las siguientes características:
    1. Solo hay dos posibles resultados llamados “éxito” y “fracaso” para cada ensayo.
    2. La probabilidad\(p\) de éxito es la misma para cualquier ensayo (por lo que la probabilidad\(q = 1 − p\) de un fracaso es la misma para cualquier juicio).
    Experimento binomial
    un experimento estadístico que satisfaga las siguientes tres condiciones:
    1. Hay un número fijo de juicios,\(n\).
    2. Solo hay dos resultados posibles, llamados “éxito” y, “fracaso”, para cada ensayo. La letra\(p\) denota la probabilidad de éxito en un ensayo, y\(q\) denota la probabilidad de un fracaso en un ensayo.
    3. Los\(n\) ensayos son independientes y se repiten en condiciones idénticas.
    Distribución de probabilidad binomial
    una variable aleatoria discreta (RV) que surge de los ensayos de Bernoulli; hay un número fijo,\(n\), de ensayos independientes. “Independiente” significa que el resultado de cualquier ensayo (por ejemplo, el ensayo uno) no afecta los resultados de los siguientes ensayos, y todos los ensayos se llevan a cabo en las mismas condiciones. En estas circunstancias el RV binomial\(X\) se define como el número de éxitos en n ensayos. La media es\(\mu=n p\) y la desviación estándar es\(\sigma=\sqrt{n p q}\). La probabilidad de exactamente x éxitos en los\(n\) ensayos es\(P(X=x)=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right) p^{x} q^{n-x}\).
    Distribución Geométrica
    una variable aleatoria discreta (RV) que surge de los ensayos de Bernoulli; los ensayos se repiten hasta el primer éxito. La variable geométrica X se define como el número de ensayos hasta el primer éxito. La media es\(\mu=\frac{1}{p}\) y la desviación estándar es\(\sigma = \sqrt{\frac{1}{p}\left(\frac{1}{p}-1\right)}\). La probabilidad de exactamente x fracasos antes del primer éxito viene dada por la fórmula:\(P(X=x)=p(1-p)^{x-1}\) donde se quiere saber probabilidad para el número de ensayos hasta el primer éxito: el rastro\(x\) th es el primer éxito.
    Una formulación alternativa de la distribución geométrica plantea la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de\(x\) fracasos hasta el primer éxito? En esta formulación no se cuenta el ensayo que resultó en el primer éxito. La fórmula para esta presentación de lo geométrico es:\(P(X=x)=p(1-p)^{x}\)
    El valor esperado en esta forma de la distribución geométrica es\(\mu=\frac{1-p}{p}\)
    La forma más fácil de mantener rectas estas dos formas de la distribución geométrica es recordar que p es la probabilidad de éxito y\((1−p)\) es la probabilidad de fracaso. En la fórmula los exponentes simplemente cuentan el número de éxitos y el número de fracasos del resultado deseado del experimento. Por supuesto que la suma de estos dos números debe sumarse al número de ensayos en el experimento.
    Experimento Geométrico
    un experimento estadístico con las siguientes propiedades:
    1. Hay uno o más juicios de Bernoulli con todos los fracasos excepto el último, que es un éxito.
    2. En teoría, el número de juicios podría continuar para siempre. Debe haber al menos un juicio.
    3. La probabilidad,\(p\), de un éxito y la probabilidad,\(q\), de un fracaso no cambian de un juicio a otro.
    Experimento Hipergeométrico
    un experimento estadístico con las siguientes propiedades:
    1. Se toman muestras de dos grupos.
    2. A usted le preocupa un grupo de interés, llamado el primer grupo.
    3. Muestrea sin reemplazo de los grupos combinados.
    4. Cada pico no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo.
    Probabilidad Hipergeométrica
    una variable aleatoria discreta (RV) que se caracteriza por:
    1. Un número fijo de juicios.
    2. La probabilidad de éxito no es la misma de un juicio a otro.
    Tomamos muestras de dos grupos de artículos cuando estamos interesados en un solo grupo. \(X\)se define como el número de éxitos del número total de ítems elegidos.
    Distribución de probabilidad de Poisson
    una variable aleatoria discreta (RV) que cuenta el número de veces que ocurrirá un determinado evento en un intervalo específico; características de la variable:
    • La probabilidad de que el evento ocurra en un intervalo dado es la misma para todos los intervalos.
    • Los eventos ocurren con una media conocida e independientemente del tiempo transcurrido desde el último evento.
    La distribución se define por la media\(\mu\) del evento en el intervalo. La media es\(\mu = np\). La desviación estándar es\(\sigma=\sqrt{\mu}\). La probabilidad de tener exactamente\(x\) éxitos en los\(r\) ensayos es\(P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}\). La distribución de Poisson se suele utilizar para aproximar la distribución binomial, cuando\(n\) es “grande” y\(p\) “pequeña” (una regla general es que\(np\) debe ser mayor o igual a 25 y\(p\) debe ser menor o igual a 0.01).
    Función de distribución de probabilidad (PDF)
    una descripción matemática de una variable aleatoria discreta (RV), dada ya sea en forma de ecuación (fórmula) o en forma de tabla que enumera todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad asociada a cada resultado.
    Variable aleatoria (RV)
    una característica de interés en una población en estudio; la notación común para las variables son letras latinas mayúsculas\(X, Y, Z\),...; notación común para un valor específico del dominio (conjunto de todos los valores posibles de una variable) son letras latinas minúsculas\(x, y\), y\(z\). Por ejemplo, si\(X\) es el número de hijos en una familia, entonces\(x\) representa un entero específico 0, 1, 2, 3,... Las variables en estadística difieren de las variables en álgebra intermedia en las dos formas siguientes.
    • El dominio de la variable aleatoria (RV) no es necesariamente un conjunto numérico; el dominio puede expresarse en palabras; por ejemplo, si el color\(X =\) del cabello entonces el dominio es {negro, rubio, gris, verde, naranja}.
    • Podemos decir qué valor específico x\(X\) toma la variable aleatoria solo después de realizar el experimento.

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