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5.5: Tarea Capitular

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    150976
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    5.1 Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continua

    Para cada problema de probabilidad y percentil, dibuje el cuadro.

    70.

    Considera el siguiente experimento. Eres una de las 100 personas alistadas para participar en un estudio para determinar el porcentaje de enfermeras en América con un título R.N. (enfermera registrada). Le preguntas a las enfermeras si tienen un título de R.N. Las enfermeras responden “sí” o “no”. Después se calcula el porcentaje de enfermeras con título R.N. Le das ese porcentaje a tu supervisor.

    1. ¿Qué parte del experimento producirá datos discretos?
    2. ¿Qué parte del experimento producirá datos continuos?

    71.

    Cuando la edad se redondea al año más cercano, ¿los datos permanecen continuos o se vuelven discretos? ¿Por qué?

    5.2 La distribución uniforme

    Para cada problema de probabilidad y percentil, dibuje el cuadro.

    72.

    Los nacimientos se distribuyen aproximadamente de manera uniforme entre las 52 semanas del año. Se puede decir que siguen una distribución uniforme de una a 53 (extensión de 52 semanas).

    1. Grafica la distribución de probabilidad.
    2. \(f(x) =\)_________
    3. \(\mu =\)_________
    4. \(\sigma =\)_________
    5. Encuentra la probabilidad de que una persona nazca en el momento exacto en que inicia la semana 19. Es decir, encontrar\(P(x = 19) =\) _________
    6. \(P(2 < x < 31) =\)_________
    7. Encuentra la probabilidad de que una persona nazca después de la semana 40.
    8. \(P(12 < x | x < 28) =\)_________

    73.

    Un generador de números aleatorios selecciona un número del uno al nueve de manera uniforme.

    1. Grafica la distribución de probabilidad.
    2. \(f(x) =\)_________
    3. \(\mu =\)_________
    4. \(\sigma =\)_________
    5. \(P(3.5 < x < 7.25) =\)_________
    6. \(P(x > 5.67)\)
    7. \(P(x > 5 | x > 3) =\)_________

    74.

    Según un estudio del Dr. John McDougall de su programa de pérdida de peso vivo-in en el Hospital St. Helena, las personas que siguen su programa pierden entre seis y 15 libras al mes hasta que se acercan a recortar el peso corporal. Supongamos que la pérdida de peso se distribuye uniformemente. Nos interesa la pérdida de peso de un individuo seleccionado al azar siguiendo el programa durante un mes.

    1. Define la variable aleatoria. \(X =\)_________
    2. Grafica la distribución de probabilidad.
    3. \(f(x) =\)_________
    4. \(\mu =\)_________
    5. \(\sigma =\)_________
    6. Encuentra la probabilidad de que el individuo perdiera más de diez libras en un mes.
    7. Supongamos que se sabe que el individuo perdió más de diez libras en un mes. Encuentra la probabilidad de que perdió menos de 12 libras en el mes.
    8. \(P(7 < x < 13 | x > 9) =\)__________. Indique esto en una pregunta de probabilidad, de manera similar a las partes g y h, dibuje el cuadro y encuentre la probabilidad.

    75.

    Un tren subterráneo de la Línea Roja llega cada ocho minutos durante la hora pico. Nos interesa el tiempo que un viajero debe esperar a que llegue un tren. El tiempo sigue una distribución uniforme.

    1. Define la variable aleatoria. \(X =\)_______
    2. Grafica la distribución de probabilidad.
    3. \(f(x) =\)_______
    4. \(\mu =\)_______
    5. \(\sigma =\)_______
    6. Encuentra la probabilidad de que el trabajador espere menos de un minuto.
    7. Encuentra la probabilidad de que el viajero espere entre tres y cuatro minutos.

    76.

    La edad de un estudiante de primer grado el 1 de septiembre en la Escuela Primaria Garden se distribuye uniformemente de 5.8 a 6.8 años. Seleccionamos aleatoriamente un alumno de primer grado de la clase.

    1. Define la variable aleatoria. \(X =\)_________
    2. Grafica la distribución de probabilidad.
    3. \(f(x) =\)_________
    4. \(\mu =\)_________
    5. \(\sigma =\)_________
    6. Encuentra la probabilidad de que tenga más de 6.5 años.
    7. Encuentra la probabilidad de que tenga entre cuatro y seis años.

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes tres ejercicios. Se supone que el Sky Train, desde la terminal hasta el centro de estacionamiento de alquiler de autos y de larga duración, llega cada ocho minutos. Se sabe que los tiempos de espera para el tren siguen una distribución uniforme.

    77.

    ¿Cuál es el tiempo promedio de espera (en minutos)?

    1. cero
    2. dos
    3. tres
    4. cuatro

    78.

    La probabilidad de esperar más de siete minutos dado que una persona ha esperado más de cuatro minutos es?

    1. 0.125
    2. 0.25
    3. 0.5
    4. 0.75

    79.

    El tiempo (en minutos) hasta que el siguiente autobús sale de un importante depósito de autobuses sigue una distribución con f (x) = 120120 donde x va de 25 a 45 minutos.

    1. Define la variable aleatoria. \(X =\)________
    2. Grafica la distribución de probabilidad.
    3. La distribución es ______________ (nombre de distribución). Es _____________ (discreto o continuo).
    4. \(\mu =\)________
    5. \(\sigma =\)________
    6. Encuentra la probabilidad de que el tiempo sea como máximo de 30 minutos. Dibuje y etiquete una gráfica de la distribución. Sombra el área de interés. Escribe la respuesta en una declaración de probabilidad.
    7. Encuentra la probabilidad de que el tiempo esté entre 30 y 40 minutos. Dibuje y etiquete una gráfica de la distribución. Sombra el área de interés. Escribe la respuesta en una declaración de probabilidad.
    8. \(P(25 < x < 55) =\)_________. Indique esto en una declaración de probabilidad, de manera similar a las partes g y h, dibuje la imagen y encuentre la probabilidad.

    80.

    Supongamos que el valor de una acción varía cada día de $16 a $25 con una distribución uniforme.

    1. Encuentra la probabilidad de que el valor de la acción sea superior a $19.
    2. Encuentra la probabilidad de que el valor de la acción esté entre $19 y $22.
    3. Dado que la acción es mayor a 18 dólares, encuentra la probabilidad de que la acción sea superior a 21 dólares.

    81.

    Un espectáculo de fuegos artificiales está diseñado de manera que el tiempo entre fuegos artificiales sea entre uno y cinco segundos, y siga una distribución uniforme.

    1. Encuentra el tiempo promedio entre fuegos artificiales.
    2. Encuentra probabilidad de que el tiempo entre fuegos artificiales sea mayor a cuatro segundos.

    82.

    El número de millas conducidas por un camionero cae entre 300 y 700, y sigue una distribución uniforme.

    1. Encuentra la probabilidad de que el conductor del camión recorra más de 650 millas en un día.
    2. Encuentra la probabilidad de que los camioneros recorran entre 400 y 650 millas en un día.

    5.3 La distribución exponencial

    83.

    Supongamos que se sabe que la duración de las llamadas telefónicas de larga distancia, medida en minutos, tiene una distribución exponencial con la duración promedio de una llamada igual a ocho minutos.

    1. Define la variable aleatoria. \(X =\)________________.
    2. ¿Es\(X\) continuo o discreto?
    3. \(\mu =\)________
    4. \(\sigma =\)________
    5. Dibuja una gráfica de la distribución de probabilidad. Etiquetar los ejes.
    6. Encuentra la probabilidad de que una llamada telefónica dure menos de nueve minutos.
    7. Encuentra la probabilidad de que una llamada telefónica dure más de nueve minutos.
    8. Encuentra la probabilidad de que una llamada telefónica dure entre siete y nueve minutos.
    9. Si se hacen 25 llamadas telefónicas una tras otra, en promedio, ¿cuál esperarías que fuera el total? ¿Por qué?

    84.

    Supongamos que la vida útil de una batería particular de automóvil, medida en meses, decae con el parámetro 0.025. Nos interesa la duración de la batería.

    1. Define la variable aleatoria. \(X =\)_________________________________.
    2. ¿Es\(X\) continuo o discreto?
    3. En promedio, ¿cuánto tiempo esperarías que dure una batería de automóvil?
    4. En promedio, ¿cuánto tiempo esperarías que duraran nueve baterías de auto, si se usan una tras otra?
    5. Encuentra la probabilidad de que la batería de un automóvil dure más de 36 meses.
    6. ¿El setenta por ciento de las baterías duran al menos cuánto tiempo?

    85.

    El porcentaje de personas (de cinco años en adelante) en cada estado que hablan un idioma en casa distinto al inglés se distribuye aproximadamente exponencialmente con una media de 9.848. Supongamos que elegimos aleatoriamente un estado.

    1. Define la variable aleatoria. \(X =\)_________________________________.
    2. ¿Es\(X\) continuo o discreto?
    3. \(\mu =\)________
    4. \(\sigma =\)________
    5. Dibuja una gráfica de la distribución de probabilidad. Etiquetar los ejes.
    6. Encuentra la probabilidad de que el porcentaje sea menor a 12.
    7. Encuentra la probabilidad de que el porcentaje esté entre ocho y 14.
    8. El porcentaje de todas las personas que viven en Estados Unidos que hablan un idioma en su casa que no sea el inglés es 13.8.
      • ¿Por qué este número es diferente del 9.848%?
      • ¿Qué haría que este número sea superior al 9.848%?

    86.

    El tiempo (en años) después de cumplir los 60 años que tarda un individuo en jubilarse se distribuye aproximadamente exponencialmente con una media de alrededor de cinco años. Supongamos que elegimos aleatoriamente a un individuo retirado. Nos interesa el tiempo después de los 60 años hasta la jubilación.

    1. Define la variable aleatoria. \(X =\)_________________________________.
    2. ¿Es\(X\) continuo o discreto?
    3. \(\mu =\)________
    4. \(\sigma =\)________
    5. Dibuja una gráfica de la distribución de probabilidad. Etiquetar los ejes.
    6. Encuentra la probabilidad de que la persona se haya jubilado después de los 70 años.
    7. ¿Se jubilan más personas antes de los 65 años o después de los 65 años?
    8. En una habitación de 1,000 personas mayores de 80 años, ¿cuántas esperas NO se habrán jubilado todavía?

    87.

    El costo de todo el mantenimiento de un automóvil durante su primer año se distribuye aproximadamente exponencialmente con una media de $150.

    1. Define la variable aleatoria. \(X =\)_________________________________.
    2. \(\mu =\)________
    3. \(\sigma =\)________
    4. Dibuja una gráfica de la distribución de probabilidad. Etiquetar los ejes.
    5. Encuentra la probabilidad de que un auto requiriera más de $300 para mantenimiento durante su primer año.

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes tres ejercicios. La vida media de un determinado celular nuevo es de tres años. El fabricante reemplazará cualquier celular que falle dentro de los dos años siguientes a la fecha de compra. Se sabe que la vida útil de estos celulares sigue una distribución exponencial.

    88.

    La tasa de decaimiento es:

    1. 0.3333
    2. 0.5000
    3. 2
    4. 3

    89.

    ¿Cuál es la probabilidad de que un teléfono falle dentro de los dos años siguientes a la fecha de compra?

    1. 0.8647
    2. 0.4866
    3. 0.2212
    4. 0.9997

    90.

    ¿Cuál es la vida media de estos teléfonos (en años)?

    1. 0.1941
    2. 1.3863
    3. 2.0794
    4. 5.5452

    91.

    En un call center 911, las llamadas llegan a una tarifa promedio de una llamada cada dos minutos. Supongamos que el tiempo que transcurre de una llamada a la siguiente tiene la distribución exponencial.

    1. En promedio, ¿cuánto tiempo ocurre entre cinco llamadas consecutivas?
    2. Encuentra la probabilidad de que después de recibir una llamada, tardará más de tres minutos para que ocurra la siguiente llamada.
    3. ¿El noventa por ciento de todas las llamadas ocurren dentro de cuántos minutos de la llamada anterior?
    4. Supongamos que han transcurrido dos minutos desde la última llamada. Encuentra la probabilidad de que la siguiente llamada ocurra dentro del siguiente minuto.
    5. Encuentra la probabilidad de que se produzcan menos de 20 llamadas en una hora.

    92.

    En el beisbol de Grandes Ligas, un no-hitter es un juego en el que un lanzador, o lanzadores, no cede ningún golpe a lo largo del juego. Los no-hitters ocurren a una tasa de aproximadamente tres por temporada. Supongamos que la duración del tiempo entre no-hitters es exponencial.

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurra una temporada entera con un solo no-hitter?
    2. Si transcurre una temporada entera sin ningún no-hitters, ¿cuál es la probabilidad de que no haya no-hitters en la siguiente temporada?
    3. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 3 no-hitters en una sola temporada?

    93.

    Durante los años 1998—2012, se han producido en Papua Nueva Guinea un total de 29 sismos de magnitud superior a 6.5. Supongamos que el tiempo de espera entre sismos es exponencial.

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo sismo ocurra dentro de los próximos tres meses?
    2. Dado que han pasado seis meses sin sismo en Papúa Nueva Guinea, ¿cuál es la probabilidad de que los próximos tres meses estén libres de sismos?
    3. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran cero sismos en 2014?
    4. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos sismos ocurran en 2014?

    94.

    Según la Cruz Roja Americana, aproximadamente una de cada nueve personas en Estados Unidos tiene sangre Tipo B. Supongamos que los tipos sanguíneos de las personas que llegan a una colecta de sangre son independientes En este caso, el número de tipos de sangre Tipo B que llegan sigue aproximadamente la distribución de Poisson.

    1. Si llegan 100 personas, ¿cuántas en promedio se esperaría que tuvieran sangre Tipo B?
    2. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 personas de estas 100 tengan sangre tipo B?
    3. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 20 personas antes de que se encuentre una persona con sangre tipo B?

    95.

    Un sitio web experimenta tráfico durante las horas normales de trabajo a razón de 12 visitas por hora. Supongamos que la duración entre visitas tiene la distribución exponencial.

    1. Encuentra la probabilidad de que la duración entre dos visitas sucesivas al sitio web sea superior a diez minutos.
    2. El 25% superior de las duraciones entre visitas son al menos ¿cuánto tiempo?
    3. Supongamos que han pasado 20 minutos desde la última visita al sitio web. ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima visita ocurra dentro de los próximos 5 minutos?
    4. Encuentra la probabilidad de que ocurran menos de 7 visitas dentro de un periodo de una hora.

    96.

    En un centro de atención urgente, los pacientes llegan a una tasa promedio de un paciente cada siete minutos. Supongamos que la duración entre llegadas se distribuye exponencialmente.

    1. Encuentra la probabilidad de que el tiempo entre dos visitas sucesivas al centro de atención de urgencias sea inferior a 2 minutos.
    2. Encuentra la probabilidad de que el tiempo entre dos visitas sucesivas al centro de atención de urgencias sea superior a 15 minutos.
    3. Si han pasado 10 minutos desde la última llegada, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente persona llegue dentro de los siguientes cinco minutos?
    4. Encontrar la probabilidad de que más de ocho pacientes lleguen en un periodo de media hora.

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