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9.4: Ejemplos completos de prueba de hipótesis

  • Page ID
    151050
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    Pruebas sobre medias

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    Jeffrey, de ocho años de edad, estableció un tiempo medio de 16.43 segundos para nadar el estilo libre de 25 yardas, con una desviación estándar de 0.8 segundos. Su papá, Frank, pensó que Jeffrey podría nadar el estilo libre de 25 yardas más rápido usando gafas. Frank le compró a Jeffrey un nuevo par de gafas caras y cronometró a Jeffrey para 15 nadadas estilo libre de 25 yardas. Para los 15 nadados, el tiempo medio de Jeffrey fue de 16 segundos. Frank pensó que las gafas ayudaron a Jeffrey a nadar más rápido que los 16.43 segundos. Realizar una prueba de hipótesis utilizando un preset\(\alpha = 0.05\).

    Contestar

    Configurar la Prueba de Hipótesis:

    Dado que el problema se trata de una media, se trata de una prueba de una sola media poblacional.

    Establezca la hipótesis nula y alternativa:

    En este caso hay una impugnación o reclamo implícito. Esto es que las gafas reducirán el tiempo de natación. El efecto de esto es establecer la hipótesis como una prueba de una cola. El reclamo siempre estará en la hipótesis alternativa porque la carga de la prueba siempre recae en la alternativa. Recuerde que el status quo debe ser derrotado con un alto grado de confianza, en este caso 95% de confianza. Las hipótesis nulas y alternativas son así:

    \(H_0: \mu \geq 16.43\)\(H_a: \mu < 16.43\)

    Para que Jeffrey nade más rápido, su tiempo será inferior a 16.43 segundos. El “<” te dice que esto es de cola izquierda.

    Determinar la distribución necesaria:

    Variable aleatoria:\(\overline X\) = el tiempo medio para nadar el estilo libre de 25 yardas.

    Distribución para el estadístico de prueba:

    El tamaño de la muestra es menor a 30 y no conocemos la desviación estándar de la población por lo que esta es una prueba t. y la fórmula adecuada es:\(t_{c}=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}}\)

    \(\mu_ 0 = 16.43\)proviene\(H_0\) y no de los datos. \(\overline X = 16\). \(s = 0.8\), y\(n = 15\).

    Nuestro paso 2, fijando el nivel de significancia, ya ha sido determinado por el problema, .05 para un nivel de significancia del 95%. Vale la pena pensar en el significado de esta elección. El error Tipo I es concluir que Jeffrey nada el estilo libre de 25 yardas, en promedio, en menos de 16.43 segundos cuando, de hecho, en realidad nada el estilo libre de 25 yardas, en promedio, en 16.43 segundos. (Rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera.) Para este caso la única preocupación con un error Tipo I parecería ser que el papá de Jeffery puede no apostar por la victoria de su hijo porque no tiene la confianza apropiada en el efecto de las gafas.

    Para encontrar el valor crítico necesitamos seleccionar el estadístico de prueba apropiado. Hemos concluido que se trata de una prueba t sobre la base del tamaño de la muestra y que estamos interesados en una media poblacional. Ahora podemos dibujar la gráfica de la distribución t y marcar el valor crítico. Para este problema los grados de libertad son n-1, o 14. Al buscar 14 grados de libertad en la columna 0.05 de la tabla t encontramos 1.761. Este es el valor crítico y podemos ponerlo en nuestra gráfica.

    El paso 3 es el cálculo del estadístico de prueba utilizando la fórmula que hemos seleccionado. Encontramos que el estadístico de prueba calculado es 2.08, lo que significa que la media muestral es 2.08 desviaciones estándar alejadas de la media hipotética de 16.43.

    \[t_{c}=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{s / \sqrt{n}}=\frac{16-16.43}{.8 / \sqrt{15}}=-2.08\nonumber\]

    Curva de distribución normal para el tiempo promedio para nadar el estilo libre de 25 yardas con valores 16, como media muestral, y 16.43 en el eje x. Una línea vertical ascendente se extiende desde 16 en el eje x hasta la curva. Una flecha apunta a la cola izquierda de la curva.

    Figura\(\PageIndex{7}\)

    El paso 4 nos hace comparar el estadístico de prueba y el valor crítico y marcarlos en la gráfica. Vemos que el estadístico de prueba está en la cola y así pasamos al paso 4 y llegamos a una conclusión. La probabilidad de que un tiempo promedio de 16 minutos pueda provenir de una distribución con una media poblacional de 16.43 minutos es demasiado improbable para que aceptemos la hipótesis nula. No podemos aceptar el nulo.

    El paso 5 nos hace exponer nuestras conclusiones primero formalmente y luego menos formalmente. Una conclusión formal se expresaría como: “Con un nivel de significancia del 95% no podemos aceptar la hipótesis nula de que el tiempo de natación con gafas viene de una distribución con un tiempo medio poblacional de 16.43 minutos”. De manera menos formal, “Con un 95% de significancia creemos que las gafas mejoran la velocidad de natación”

    Si quisiéramos utilizar el sistema\(p\) -value para llegar a una conclusión, calcularíamos la estadística y daríamos el paso adicional para encontrar la probabilidad de ser 2.08 desviaciones estándar de la media en una distribución t. Este valor es .0187. Comparando esto con el nivel\ alfa de .05 vemos que no podemos aceptar el nulo. El\(p\) valor -se ha puesto en la gráfica como el área sombreada más allá de -2.08 y muestra que es menor que el área sombreada que es el nivel alfa de 0.05. Ambos métodos llegan a la misma conclusión de que no podemos aceptar la hipótesis nula.

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    La distancia media de lanzamiento de una pelota de fútbol para Marco, un mariscal de campo de primer año de secundaria, es de 40 yardas, con una desviación estándar de dos yardas. El técnico del equipo le dice a Marco que ajuste su agarre para conseguir más distancia. El entrenador registra las distancias para 20 lanzamientos. Para los 20 lanzamientos, la distancia media de Marco fue de 45 yardas. El entrenador pensó que el diferente agarre ayudó a Marco a lanzar más de 40 yardas. Realizar una prueba de hipótesis utilizando un preset\(\alpha = 0.05\). Supongamos que las distancias de lanzamiento para balones de fútbol son normales

    Primero, determina qué tipo de prueba es esta, configura la prueba de hipótesis, encuentra el\(p\) valor -valor, dibuja la gráfica y expone tu conclusión.

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    Jane acaba de comenzar su nuevo trabajo como parte de la fuerza de ventas de una empresa muy competitiva. En una muestra de 16 llamadas de ventas se encontró que ella cerró el contrato por un valor promedio de 108 dólares con una desviación estándar de 12 dólares. Prueba al 5% de significancia que la media poblacional es de al menos 100 dólares frente a la alternativa de que sea menor a 100 dólares. La política de la compañía requiere que los nuevos miembros de la fuerza de ventas deben superar un promedio de $100 por contrato durante el periodo de empleo de prueba. ¿Podemos concluir que Jane ha cumplido con este requisito en el nivel de significancia del 95%?

    Contestar
    1. \(H_0: \mu \leq 100\)
      \(H_a: \mu > 100\)
      La hipótesis nula y alternativa son para el parámetro\(\mu\) porque el número de dólares de los contratos es una variable aleatoria continua. Además, esta es una prueba de una cola porque la compañía solo tiene un interés si el número de dólares por contacto está por debajo de un número particular no “demasiado alto” un número. Esto puede pensarse como hacer una afirmación de que se está cumpliendo el requisito y así el reclamo se encuentra en la hipótesis alternativa.
    2. Estadística de prueba:\(t_{c}=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{\frac{s}{\sqrt{n}}}=\frac{108-100}{\left(\frac{12}{\sqrt{16}}\right)}=2.67\)
    3. Valor crítico:\(t_a=1.753\) con\(n-1\) grados de libertad = 15

    El estadístico de prueba es una t de Student porque el tamaño de la muestra está por debajo de 30; por lo tanto, no podemos usar la distribución normal. Al comparar el valor calculado del estadístico de prueba y el valor crítico de tt (ta) (ta) a un nivel de significancia del 5%, vemos que el valor calculado está en la cola de la distribución. Así, concluimos que 108 dólares por contrato es significativamente mayor que el valor hipotético de 100 y así no podemos aceptar la hipótesis nula. Hay evidencia que respalda que el desempeño de Jane cumple con los estándares de la compañía.

    Figura\(\PageIndex{8}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Se cree que un precio de acciones para una compañía en particular crecerá a una tasa de 5 dólares semanales con una desviación estándar de $1. Un inversionista cree que las acciones no crecerán tan rápido. Los cambios en el precio de las acciones se registran por diez semanas y son los siguientes: $4, $3, $2, $3, $1, $7, $2, $1, $1, $2. Realizar una prueba de hipótesis utilizando un nivel de significancia del 5%. Indique las hipótesis nulas y alternativas, exponga su conclusión e identifique los errores de Tipo I.

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

    Un fabricante de aderezos para ensaladas utiliza máquinas para dispensar ingredientes líquidos en botellas que se mueven a lo largo de una línea de llenado. La máquina que dispensa aderezos para ensaladas funciona correctamente cuando se dispensan 8 onzas. Supongamos que la cantidad promedio dispensada en una muestra particular de 35 botellas es de 7.91 onzas con una varianza de 0.03 onzas al cuadrado,\(s^2\). ¿Hay evidencia de que la máquina debe ser detenida y la producción esperar reparaciones? La producción perdida por un cierre es potencialmente tan grande que la gerencia siente que el nivel de significación en el análisis debería ser del 99%.

    Nuevamente seguiremos los pasos en nuestro análisis de este problema.

    Contestar

    PASO 1: Establecer la hipótesis nula y alternativa. La variable aleatoria es la cantidad de fluido colocado en las botellas. Esta es una variable aleatoria continua y el parámetro que nos interesa es la media. Nuestra hipótesis, por lo tanto, es sobre la media. En este caso nos preocupa que la máquina no esté llenando correctamente. Por lo que nos dicen no importa si la máquina está sobrellenando o subllenando, ambos parecen ser un error igualmente malo. Esto nos dice que se trata de una prueba de dos colas: si la máquina está funcionando mal se apagará independientemente de si es por sobrellenado o llenado insuficiente. Las hipótesis nulas y alternativas son así:

    \[H_0:\mu=8\nonumber\]

    \[Ha:\mu \neq 8\nonumber\]

    PASO 2: Decidir el nivel de significancia y dibujar la gráfica que muestre el valor crítico.

    Este problema ya ha establecido el nivel de significancia en 99%. La decisión parece apropiada y muestra el proceso de pensamiento a la hora de establecer el nivel de significancia. La gerencia quiere estar muy segura, tan cierta como lo permita la probabilidad, de que no están apagando una máquina que no necesita reparación. Para dibujar la distribución y el valor crítico, necesitamos saber qué distribución usar. Debido a que se trata de una variable aleatoria continua y nos interesa la media, y el tamaño muestral es mayor a 30, la distribución apropiada es la distribución normal y el valor crítico relevante es 2.575 de la tabla normal o la tabla t a 0.005 columna e infinitos grados de libertad. Dibujamos la gráfica y marcamos estos puntos.

    Figura\(\PageIndex{9}\)

    PASO 3: Calcular los parámetros de la muestra y el estadístico de prueba. Se proporcionan los parámetros muestrales, la media muestral es 7.91 y la varianza muestral es .03 y el tamaño muestral es 35. Debemos señalar que la varianza de la muestra se proporcionó no la desviación estándar de la muestra, que es lo que necesitamos para la fórmula. Recordando que la desviación estándar es simplemente la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto, sabemos que la desviación estándar de la muestra, s, es 0.173. Con esta información calculamos el estadístico de prueba como -3.07, y lo marcamos en la gráfica.

    \[Z_{c}=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{s / \sqrt{n}}=\frac{7.91-8}{\cdot 173 / \sqrt{35}}=-3.07\nonumber\]

    PASO 4: Comparar el estadístico de prueba y los valores críticos Ahora comparamos el estadístico de prueba y el valor crítico colocando el estadístico de prueba en la gráfica. Vemos que el estadístico de prueba está en la cola, decididamente mayor que el valor crítico de 2.575. Observamos que incluso la diferencia muy pequeña entre el valor hipotético y el valor muestral sigue siendo un gran número de desviaciones estándar. La media muestral es de solo 0.08 onzas diferente del nivel requerido de 8 onzas, pero está a 3 más desviaciones estándar de distancia y por lo tanto no podemos aceptar la hipótesis nula.

    PASO 5: Llegar a una conclusión

    Tres desviaciones estándar de un estadístico de prueba garantizarán que la prueba fallará. La probabilidad de que algo esté dentro de tres desviaciones estándar es casi cero. En realidad es 0.0026 en la distribución normal, que sin duda es casi cero en sentido práctico. Nuestra conclusión formal sería “A un nivel de significancia del 99% no podemos aceptar la hipótesis de que la media muestral provino de una distribución con una media de 8 onzas” O menos formalmente, y llegando al punto, “A un nivel de significancia del 99% concluimos que la máquina está por debajo de llenar las botellas y está en necesidad de reparación”.

    Prueba de hipótesis para proporciones

    Así como hubo intervalos de confianza para las proporciones, o más formalmente, el parámetro poblacional\(p\) de la distribución binomial, existe la capacidad de probar hipótesis concernientes\(p\).

    El parámetro poblacional para el binomio es\(p\). El valor estimado (estimación puntual) para\(p\) es\(p^{\prime}\) donde\(p^{\prime} = x/n\),\(x\) es el número de éxitos en la muestra y\(n\) es el tamaño de la muestra.

    Cuando se realiza una prueba de hipótesis de una proporción poblacional\(p\), se toma una muestra aleatoria simple de la población. Se deben cumplir las condiciones para una distribución binomial, que son: hay un cierto número n de ensayos independientes que significa muestreo aleatorio, los resultados de cualquier ensayo son binarios, éxito o fracaso, y cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito\(p\). La forma de la distribución binomial debe ser similar a la forma de la distribución normal. Para asegurar esto, las cantidades\(np^{\prime}\) y\(nq^{\prime}\) deben ser ambas mayores a cinco (\(np^{\prime} > 5\)y\(nq^{\prime} > 5\)). En este caso la distribución binomial de una proporción muestral (estimada) puede aproximarse por la distribución normal con\(\mu=np\) y\(\sigma=\sqrt{n p q}\). Recuerden eso\(q=1–p\). No hay distribución que pueda corregir este pequeño sesgo muestral y por lo tanto, si no se cumplen estas condiciones, simplemente no podemos probar la hipótesis con los datos disponibles en ese momento. Cumplimos con esta condición cuando por primera vez estábamos estimando intervalos de confianza para\(p\).

    Nuevamente, comenzamos con la fórmula estandarizadora modificada porque esta es la distribución de un binomio.

    \[Z=\frac{\mathrm{p}^{\prime}-p}{\sqrt{\frac{\mathrm{pq}}{n}}}\nonumber\]

    Sustituyendo\(p_0\), el valor hipotético de\(p\), tenemos:

    \[Z_{c}=\frac{\mathrm{p}^{\prime}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0} q_{0}}{n}}}\nonumber\]

    Este es el estadístico de prueba para probar valores hipotéticos de p, donde las hipótesis nulas y alternativas toman una de las siguientes formas:

    \ (\ PageIndex {5}\) “>
    Prueba de dos colas Prueba de una cola Prueba de una cola
    \(H_0: p = p_0\) \(H_0: p \leq p_0\) \(H_0: p \geq p_0\)
    \(H_a: p \neq p_0\) \(H_a: p > p_0\) \(H_a: p < p_0\)
    Mesa\(\PageIndex{5}\)

    También se aplica aquí la regla de decisión antes señalada: si el valor calculado de\(Z_c\) muestra que la proporción muestral es “demasiadas” desviaciones estándar de la proporción hipotética, no se puede aceptar la hipótesis nula. La decisión sobre lo que es “demasiados” es predeterminada por el analista dependiendo del nivel de significancia que se requiera en la prueba.

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

    Al departamento hipotecario de un banco grande le interesa la naturaleza de los préstamos de los prestatarios primerizos. Esta información será utilizada para adaptar su estrategia de marketing. Creen que el 50% de los prestatarios primerizos obtienen préstamos más pequeños que otros prestatarios. Realizan una prueba de hipótesis para determinar si el porcentaje es igual o diferente del 50%. Muestrean a 100 prestatarios primerizos y encuentran que 53 de estos préstamos son más pequeños que los demás prestatarios. Para la prueba de hipótesis, eligen un nivel de significancia del 5%.

    Contestar

    PASO 1: Establecer la hipótesis nula y alternativa.

    \(H_0: p = 0.50\)\(H_a: p \neq 0.50\)

    Las palabras “es igual o diferente de” te dicen que esta es una prueba de dos colas. Los errores Tipo I y Tipo II son los siguientes: El error Tipo I consiste en concluir que la proporción de prestatarios es diferente del 50% cuando, de hecho, la proporción es en realidad del 50%. (Rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). El error Tipo II es que no hay evidencia suficiente para concluir que la proporción de prestatarios por primera vez difiere del 50% cuando, de hecho, la proporción sí difiere del 50%. (Usted no rechaza la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa.)

    PASO 2: Decidir el nivel de significancia y dibujar la gráfica que muestre el valor crítico

    El nivel de significancia ha sido establecido por el problema en el nivel del 95%. Debido a que esta es una prueba de dos colas, la mitad del valor alfa estará en la cola superior y la mitad en la cola inferior como se muestra en la gráfica. El valor crítico para la distribución normal al nivel de confianza del 95% es de 1.96. Esto se puede encontrar fácilmente en la mesa t del estudiante en la parte inferior en infinitos grados de libertad recordando que en el infinito la distribución t es la distribución normal. Por supuesto el valor también se puede encontrar en la tabla normal pero tienes que ir buscando la mitad de 95 (0.475) dentro del cuerpo de la tabla y luego leer a los lados y arriba para el número de desviaciones estándar.

    Figura\(\PageIndex{10}\)

    PASO 3: Calcular los parámetros de muestra y el valor crítico del estadístico de prueba.

    El estadístico de prueba es una distribución normal,\(Z\), para las proporciones de prueba y es:

    \[Z=\frac{p^{\prime}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0} q_{0}}{n}}}=\frac{.53-.50}{\sqrt{\frac{.5(.5)}{100}}}=0.60\nonumber\]

    Para este caso, la muestra de 100 encontró que 53 prestatarios primerizos fueron diferentes de otros prestatarios. La proporción\(p^{\prime} = 53/100= 0.53\) muestral, La pregunta de prueba, por lo tanto, es: “¿0.53 es significativamente diferente de .50?” Al poner estos valores en la fórmula para el estadístico de prueba encontramos que 0.53 está a solo 0.60 desviaciones estándar de .50. Esto apenas está fuera de la media de la distribución normal estándar de cero. Prácticamente no hay diferencia con respecto a la proporción muestral y la proporción hipotética en términos de desviaciones estándar.

    PASO 4: Comparar el estadístico de prueba y el valor crítico.

    El valor calculado se encuentra dentro de los valores críticos de las desviaciones\(\pm 1.96\) estándar y por lo tanto no podemos rechazar la hipótesis nula. Para rechazar la hipótesis nula necesitamos evidencia significativa de diferencia entre el valor hipotético y el valor de la muestra. En este caso el valor muestral es casi el mismo que el valor hipotético medido en términos de desviaciones estándar.

    PASO 5: Llegar a una conclusión

    La conclusión formal sería “A un nivel de significancia del 95% no podemos rechazar la hipótesis nula de que el 50% de los prestatarios primerizos tienen préstamos del mismo tamaño que otros prestatarios”. De manera menos formal diríamos que “No hay evidencia de que la mitad de los prestatarios primerizos sean significativamente diferentes en tamaño de préstamo de otros prestatarios”. Observe la duración a la que va la conclusión para incluir todas las condiciones que se adjuntan a la conclusión. Los estadísticos por todas las críticas que reciben, tienen cuidado de ser muy específicos incluso cuando esto parece trivial. Los estadísticos no pueden decir más de lo que saben y los datos limitan la conclusión para estar dentro de las metas y límites de los datos.

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Un maestro cree que el 85% de los estudiantes de la clase querrán ir de excursión al zoológico local. Realiza una prueba de hipótesis para determinar si el porcentaje es igual o diferente del 85%. El maestro toma muestras a 50 alumnos y 39 responden que querrían ir al zoológico. Para la prueba de hipótesis, use un nivel de significancia de 1%.

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

    Supongamos que un grupo de consumidores sospecha que la proporción de hogares que tienen tres o más celulares es del 30%. Una compañía de telefonía celular tiene razones para creer que la proporción no es del 30%. Antes de iniciar una gran campaña publicitaria, realizan una prueba de hipótesis. Su gente de marketing encuestó a 150 hogares con el resultado de que 43 de los hogares cuentan con tres o más teléfonos celulares.

    Contestar

    Aquí hay una versión abreviada del sistema para resolver pruebas de hipótesis aplicadas a una prueba en proporciones.

    \[H_0 : p = 0.3 \nonumber\]

    \[H_a : p \neq 0.3 \nonumber\]

    \[n = 150\nonumber\]

    \[\mathrm{p}^{\prime}=\frac{x}{n}=\frac{43}{150}=0.287\nonumber\]

    \[Z_{c}=\frac{\mathrm{p}^{\prime}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0} q_{0}}{n}}}=\frac{0.287-0.3}{\sqrt{\frac{3(7)}{150}}}=0.347\nonumber\]

    Figura\(\PageIndex{11}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

    El Instituto Nacional de Estándares y Tecnología proporciona datos exactos sobre las propiedades de conductividad de los materiales. Las siguientes son las mediciones de conductividad para 11 piezas seleccionadas al azar de un tipo particular de vidrio.

    1.11; 1.07; 1.11; 1.07; 1.12; 1.08; .98; .98 1.02; .95; .95
    ¿Hay evidencia convincente de que la conductividad promedio de este tipo de vidrio es mayor a uno? Utilizar un nivel de significancia de 0.05.

    Contestar

    Sigamos un proceso de cuatro pasos para responder a esta pregunta estadística.

    Indicar la Pregunta: Necesitamos determinar si, a un nivel de significancia 0.05, la conductividad promedio del vidrio seleccionado es mayor a uno. Nuestras hipótesis serán

    1. \(H_0: \mu \leq 1\)
    2. \(H_a: \mu > 1\)
    Plan: Estamos probando una media muestral sin una desviación estándar poblacional conocida con menos de 30 observaciones. Por lo tanto, necesitamos usar una distribución Student's-T. Supongamos que la población subyacente es normal. Haz los cálculos y dibuja la gráfica. Indicar las Conclusiones: No podemos aceptar la hipótesis nula. Es razonable afirmar que los datos respaldan la afirmación de que el nivel de conductividad promedio es mayor a uno.

    Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

    En un estudio de 420.019 usuarios de teléfonos celulares, 172 de los sujetos desarrollaron cáncer cerebral. Pruebe la afirmación de que los usuarios de teléfonos celulares desarrollaron cáncer cerebral a un ritmo mayor que el de los usuarios que no son celulares (la tasa de cáncer cerebral para los usuarios que no son de teléfonos celulares es de 0.0340%). Dado que este es un tema crítico, use un nivel de significancia 0.005. Explique por qué el nivel de significancia debe ser tan bajo en términos de un error de Tipo I.

    Contestar
    1. Necesitamos realizar una prueba de hipótesis sobre la tasa de cáncer reclamada. Nuestras hipótesis serán
      1. \(H_0: p \leq 0.00034\)
      2. \(H_a: p > 0.00034\)

      Si cometemos un error de Tipo I, esencialmente estamos aceptando una afirmación falsa. Dado que la afirmación describe entornos causantes de cáncer, queremos minimizar las posibilidades de identificar incorrectamente las causas del cáncer.

    2. Estaremos probando una proporción de muestra con\(x = 172\) y\(n = 420,019\). La muestra es suficientemente grande porque tenemos\(np^{\prime} = 420,019(0.00034) = 142.8\)\(n q^{\prime}=420,019(0.99966)=419,876.2\), dos resultados independientes y una probabilidad fija de éxito\(p^{\prime} = 0.00034\). Así podremos generalizar nuestros resultados a la población.

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