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3.1: Espacios de muestra, eventos y sus probabilidades

  • Page ID
    151088
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    Objetivos de aprendizaje

    • Conocer el concepto del espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.
    • Aprender el concepto de un evento asociado a un experimento aleatorio.
    • Aprender el concepto de probabilidad de un evento.

    Espacios de muestra y eventos

    Hacer rodar un dado ordinario de seis lados es un ejemplo familiar de un experimento aleatorio, una acción para la que se pueden enumerar todos los resultados posibles, pero para la cual el resultado real en cualquier ensayo dado del experimento no se puede predecir con certeza. En tal situación deseamos asignar a cada resultado, como rodar un dos, un número, llamado la probabilidad del resultado, que indica cuán probable es que se produzca el resultado. De igual manera, nos gustaría asignar una probabilidad a cualquier evento, o colección de resultados, como rodar un número par, lo que indica qué tan probable es que el evento ocurra si se realiza el experimento. Esta sección proporciona un marco para discutir problemas de probabilidad, utilizando los términos que acabamos de mencionar.

    Definición: experimento aleatorio

    Un experimento aleatorio es un mecanismo que produce un resultado definido que no se puede predecir con certeza. El espacio muestral asociado a un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles. Un evento es un subconjunto del espacio de muestra.

    Definición: Elemento y Ocurrencia

    \(E\)Se dice que un evento ocurre en un ensayo particular del experimento si el resultado observado es un elemento del conjunto\(E\).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Espacio de muestra para una sola moneda

    Construir un espacio de muestra para el experimento que consiste en lanzar una sola moneda.

    Solución

    Los resultados podrían etiquetarse\(h\) para cabezas y \(t\)colas. Entonces el espacio de muestra es el conjunto:\(S = \{h,t\}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Espacio de muestra para una sola matriz

    Construir un espacio de muestra para el experimento que consiste en enrollar una sola matriz. Encuentra los eventos que corresponden a las frases “se enrolla un número par” y “se enrolla un número mayor que dos”.

    Solución:

    Los resultados podrían etiquetarse de acuerdo con el número de puntos en la cara superior del dado. Entonces el espacio de muestra es el conjunto\(S = \{1,2,3,4,5,6\}\)

    Los resultados que son pares son\(2, 4,\; \; \text{and}\; \; 6\), por lo que el evento que corresponde a la frase “se enrolla un número par” es el conjunto\(\{2,4,6\}\), que es natural denotar por la letra\(E\). Escribimos\(E=\{2,4,6\}\).

    De igual manera el evento que corresponde a la frase “se enrolla un número mayor que dos” es el conjunto\(T=\{3,4,5,6\}\), que hemos denotado\(T\). T={3,4,5,6}" role="presentation" style="position:relative;" tabindex="0">

    Una representación gráfica de un espacio muestral y eventos es un diagrama de Venn, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). En general, el espacio muestral\(S\) está representado por un rectángulo, los resultados por puntos dentro del rectángulo y los eventos por óvalos que encierran los resultados que los componen.

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Diagramas de Venn para dos espacios de muestra

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Espacios de muestra para dos monedas

    Un experimento aleatorio consiste en lanzar dos monedas.

    1. Construir un espacio de muestra para la situación de que las monedas son indistinguibles, como dos centavos nuevos.
    2. Construir un espacio de muestra para la situación de que las monedas son distinguibles, como una por centavo y la otra una moneda de níquel.

    Solución:

    1. Después de lanzar las monedas se ve o bien dos cabezas, que podrían etiquetarse\(2h\), dos colas, que podrían etiquetarse\(2t\), o monedas que difieren, que podrían etiquetarse\(d\) Así es un espacio de muestra\(S=\{2h, 2t, d\}\).
    2. Como podemos distinguir las monedas por separado, ahora hay dos formas de que las monedas difieran: las cabezas de centavo y las colas de níquel, o las colas de centavo y las cabezas de níquel. Podemos etiquetar cada resultado como un par de letras, la primera de las cuales indica cómo aterrizó el centavo y la segunda de las cuales indica cómo aterrizó el níquel. Un espacio de muestra es entonces\(S' = \{hh, ht, th, tt\}\).

    Un dispositivo que puede ser útil para identificar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, particularmente uno que se puede ver como un proceso por etapas, es lo que se llama un diagrama de árbol. Se describe en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Diagrama de árbol

    Construir un espacio muestral que describa a todas las familias de tres hijos según los géneros de los niños con respecto al orden de nacimiento.

    Solución:

    Dos de los resultados son “dos niños y luego una niña”, que podríamos denotar\(bbg\), y “una niña luego dos niños”, lo que denotaríamos\(gbb\).

    Claramente hay muchos resultados, y cuando tratamos de enumerarlos todos podría ser difícil estar seguros de que los hemos encontrado todos a menos que procedamos sistemáticamente. El diagrama de árbol mostrado en la Figura\(\PageIndex{2}\), da un enfoque sistemático.

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    Figura\(\PageIndex{2}\) : Diagrama de árbol para familias de tres hijos

    El diagrama se construyó de la siguiente manera. Hay dos posibilidades para el primer hijo, niño o niña, así que dibujamos dos segmentos de línea que salen de un punto de partida, uno que termina en un\(b\) para “niño” y el otro termina en un\(g\) para “niña”. Para cada una de estas dos posibilidades para el primer hijo hay dos posibilidades para el segundo hijo, “niño” o “niña”, así que de cada uno de los\(b\) y\(g\) dibujamos dos segmentos de línea, un segmento que termina en a\(b\) y uno en a\(g\). Para cada uno de los cuatro puntos finales ahora en el diagrama hay dos posibilidades para el tercer hijo, por lo que repetimos el proceso una vez más.

    Los segmentos de línea se llaman ramas del árbol. El punto final derecho de cada rama se llama nodo. Los nodos del extremo derecho son los nodos finales; a cada uno corresponde un resultado, como se muestra en la figura.

    Desde el árbol es fácil leer los ocho resultados del experimento, por lo que el espacio muestral es, leyendo de arriba a abajo de los nodos finales en el árbol,

    \[S=\{bbb,\; bbg,\; bgb,\; bgg,\; gbb,\; gbg,\; ggb,\; ggg\}\]

    Probabilidad

    Definición: probabilidad

    La probabilidad de un resultado\(e\) en un espacio muestral\(S\) es un número\(P\) entre\(1\) y\(0\) que mide la probabilidad que\(e\) ocurrirá en un solo ensayo del experimento aleatorio correspondiente. El valor\(P=0\) corresponde a que el resultado\(e\) sea imposible y el valor\(P=1\) corresponde a que el resultado\(e\) sea cierto.

    Definición: probabilidad de un evento

    La probabilidad de un evento\(A\) es la suma de las probabilidades de los resultados individuales de los que está compuesto. Se denota\(P(A)\).

    La siguiente fórmula expresa el contenido de la definición de la probabilidad de un evento:

    Si un evento\(E\) es\(E=\{e_1,e_2,...,e_k\}\), entonces

    \[P(E)=P(e_1)+P(e_2)+...+P(e_k)\]

    La siguiente figura expresa el contenido de la definición de la probabilidad de un evento:

    b1371037e2e863e76e91bc00adf37f63.jpg
    Figura\(\PageIndex{3}\) : Espacios de muestra y probabilidad

    Dado que todo el espacio muestral\(S\) es un evento que seguramente ocurrirá, la suma de las probabilidades de todos los resultados debe ser el número\(1\).

    En lenguaje ordinario las probabilidades se expresan frecuentemente como porcentajes. Por ejemplo, diríamos que hay\(70\%\) posibilidad de lluvia mañana, es decir, que la probabilidad de lluvia es\(0.70\). Vamos a utilizar esta práctica aquí, pero en todas las fórmulas computacionales que siguen usaremos la forma\(0.70\) y no\(70\%\).

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Una moneda se llama “equilibrada” o “justa” si cada lado es igualmente probable que aterrice. Asigne una probabilidad a cada resultado en el espacio de muestra para el experimento que consiste en lanzar una sola moneda justa.

    Solución:

    Con los resultados etiquetados\(h\) para cabezas y\(t\) colas, el espacio muestral es el conjunto

    \[S=\{h,t\}\]

    Dado que los resultados tienen las mismas probabilidades, que deben sumar\(1\), a cada resultado se le asigna probabilidad\(1/2\).

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Un dado se llama “equilibrado” o “justo” si cada lado es igualmente probable que aterrice en la parte superior. Asignar una probabilidad a cada resultado en el espacio muestral para el experimento que consiste en lanzar un solo dado justo. Encuentra las probabilidades de los eventos\(E\): “se enrolla un número par” y\(T\): “se enrolla un número mayor que dos”.

    Solución:

    Con resultados etiquetados de acuerdo con el número de puntos en la cara superior de la matriz, el espacio de muestra es el conjunto

    \[S=\{1,2,3,4,5,6\}\]

    Dado que hay seis resultados igualmente probables, que deben sumar\(1\), a cada uno se le asigna probabilidad\(1/6\).

    Dado que\(E = \{2,4,6\}\),

    \[P(E) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\]

    Dado que\(T = \{3,4,5,6\}\),

    \[P(T) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Se tiran dos monedas justas. Encuentra la probabilidad de que las monedas coincidan, es decir, ya sea ambas cabezas terrestres o ambas colas terrestres.

    Solución:

    En Ejemplo\(\PageIndex{3}\) construimos el espacio de muestra\(S=\{2h,2t,d\}\) para la situación en la que las monedas son idénticas y el espacio de muestra\(S′=\{hh,ht,th,tt\}\) para la situación en la que las dos monedas pueden ser diferenciadas.

    La teoría de la probabilidad no nos dice cómo asignar probabilidades a los resultados, solo qué hacer con ellos una vez asignados. Específicamente, utilizando el espacio de muestra\(S\), emparejar monedas es el evento\(M=\{2h, 2t\}\) que tiene probabilidad\(P(2h)+P(2t)\). Usando espacio de muestra\(S'\), emparejar monedas es el evento\(M'=\{hh, tt\}\), que tiene probabilidad\(P(hh)+P(tt)\). En el mundo físico no debería hacer diferencia si las monedas son idénticas o no, y así nos gustaría asignar probabilidades a los resultados para que los números\(P(M)\) y\(P(M')\) sean los mismos y coincidan mejor con lo que observamos cuando se realizan experimentos físicos reales con monedas que parecen ser justos. La experiencia real sugiere que los resultados en S' son igualmente probables, por lo que asignamos a cada probabilidad\(\frac{1}{4}\), y luego...

    \[P(M') = P(hh) + P(tt) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\]

    Del mismo modo, a partir de la experiencia las opciones adecuadas para los resultados en\(S\) son:

    \[P(2h) = \frac{1}{4}\]

    \[P(2t) = \frac{1}{4}\]

    \[P(d) = \frac{1}{2}\]

    Los tres ejemplos anteriores ilustran cómo las probabilidades pueden calcularse simplemente contando cuándo el espacio muestral consiste en un número finito de resultados igualmente probables. En algunas situaciones los resultados individuales de cualquier espacio muestral que represente el experimento son inevitablemente desigualmente probables, en cuyo caso las probabilidades no pueden calcularse meramente contando, sino que se debe utilizar la fórmula computacional dada en la definición de la probabilidad de un evento.

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    El desglose del cuerpo estudiantil en una preparatoria local según raza y etnia es\(51\%\) blanco,\(27\%\) negro,\(11\%\) hispano,\(6\%\) asiático, y\(5\%\) para todos los demás. Un estudiante es seleccionado al azar de esta preparatoria. (Seleccionar “aleatoriamente” significa que cada estudiante tiene las mismas posibilidades de ser seleccionado). Encuentra las probabilidades de los siguientes eventos:

    1. \(B\): el alumno es negro,
    2. \(M\): el estudiante es minoritario (es decir, no blanco),
    3. \(N\): el alumno no es negro.

    Solución:

    El experimento es la acción de seleccionar aleatoriamente a un estudiante de la población estudiantil de la preparatoria. Un espacio de muestra obvio es\(S=\{w,b,h,a,o\}\). Ya que\(51\%\) de los estudiantes son blancos y todos los estudiantes tienen la misma oportunidad de ser seleccionados,\(P(w)=0.51\), y de manera similar para los otros resultados. Esta información se resume en la siguiente tabla:

    \[\begin{array}{l|cccc}Outcome & w & b & h & a & o \\ Probability & 0.51 & 0.27 & 0.11 & 0.06 & 0.05\end{array}\]

    1. Desde\(B=\{b\},\; \; P(B)=P(b)=0.27\)
    2. Desde\(M=\{b,h,a,o\},\; \; P(M)=P(b)+P(h)+P(a)+P(o)=0.27+0.11+0.06+0.05=0.49\)
    3. Desde\(N=\{w,h,a,o\},\; \; P(N)=P(w)+P(h)+P(a)+P(o)=0.51+0.11+0.06+0.05=0.73\)

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    El cuerpo estudiantil de la preparatoria considerado en el último ejemplo se puede desglosar en diez categorías de la siguiente manera: macho\(25\%\) blanco, hembra\(26\%\) blanca, macho\(12\%\) negro, hembra\(15\%\) negra, 6% masculino hispano, hembra\(5\%\) hispana, hombre\(3\%\) asiático, hembra\(3\%\) asiática, \(1\%\)masculino de otras minorías combinadas y\(4\%\) mujeres de otras minorías combinadas. Un estudiante es seleccionado al azar de esta preparatoria. Encuentra las probabilidades de los siguientes eventos:

    1. \(B\): el alumno es negro
    2. \(MF\): el estudiante es una mujer no blanca
    3. \(FN\): el alumno es femenino y no es negro

    Solución:

    Ahora el espacio muestral es\(S=\{wm, bm, hm, am, om, wf, bf, hf, af, of\}\). La información dada en el ejemplo se puede resumir en la siguiente tabla, denominada tabla de contingencia bidireccional:

    Género Raza/Etnicidad
    Blanco Negro Hispano Asiático Otros
    Macho 0.25 0.12 0.06 0.03 0.01
    Hembra 0.26 0.15 0.05 0.03 0.04
    1. Desde\(B=\{bm, bf\},\; \; P(B)=P(bm)+P(bf)=0.12+0.15=0.27\)
    2. Desde\(MF=\{bf, hf, af, of\},\; \; P(M)=P(bf)+P(hf)+P(af)+P(of)=0.15+0.05+0.03+0.04=0.27\)
    3. Desde\(FN=\{wf, hf, af, of\},\; \; P(FN)=P(wf)+P(hf)+P(af)+P(of)=0.26+0.05+0.03+0.04=0.38​​​​​​\)

    Llave para llevar

    • El espacio muestral de un experimento aleatorio es la recopilación de todos los resultados posibles.
    • Un evento asociado con un experimento aleatorio es un subconjunto del espacio muestral.
    • La probabilidad de cualquier resultado es un número entre\(0\) y\(1\). Las probabilidades de todos los resultados se suman a\(1\).
    • La probabilidad de cualquier evento\(A\) es la suma de las probabilidades de los resultados en\(A\).

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