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13.1: Introducción a los juegos de azar

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    Juego y Probabilidad

    Los juegos de azar se encuentran entre los más antiguos de los inventos humanos. El uso de cierto tipo de hueso del talón animal (llamado astrágalo o coloquialmente el hueso del nudillo) como dado crudo data de alrededor del 3600 a. C. El dado moderno de seis lados data del año 2000 a. C., y el término huesos se usa como expresión de jerga para los dados hasta el día de hoy (como en rodar los huesos). Es por estos orígenes antiguos, por cierto, que utilizamos el dado como símbolo fundamental en este proyecto.

    Knucklebone.png
    Figura\(\PageIndex{1}\): Un nudillo artificial hecho de esteatita, del sitio web de dados Arjan Verweij

    El juego está íntimamente entrelazado con el desarrollo de la probabilidad como teoría matemática. La mayor parte del desarrollo temprano de la probabilidad, en particular, fue estimulado por problemas especiales de juego, como

    • El problema de DeMere
    • El problema de Pepy
    • el problema de los puntos
    • el problema de Petersburgo

    Algunos de los primeros libros sobre teoría de la probabilidad fueron escritos para analizar juegos de azar, por ejemplo Liber de Ludo Aleae (El libro sobre los juegos de azar), de Girolamo Cardano, y Essay d' Analyze sur les Jeux de Hazard (Ensayo analítico sobre juegos de azar), de Pierre-Remond Montmort. Los problemas de juego siguen siendo fuente de problemas interesantes y profundos en probabilidad hasta el día de hoy (ver la discusión de Rojo y Negro para un ejemplo).

    Alegoría de la Fortuna
    Figura\(\PageIndex{2}\): Alegoría de la Fortuna de Dosso Dossi (c. 1591), Museo Getty. Para más representaciones de juegos de azar en pinturas, consulte el material auxiliar sobre el arte.

    Por supuesto, es importante tener en cuenta que los avances en la probabilidad, incluso cuando originalmente están motivados por problemas de juego, suelen ser profundamente importantes en las ciencias naturales, las ciencias sociales, el derecho y la medicina. Además, los juegos de azar proporcionan algunos de los ejemplos conceptualmente más claros y limpios de experimentos aleatorios, y así su análisis puede ser muy útil para los estudiantes de probabilidad.

    Sin embargo, nada en este capítulo debe interpretarse como alentador a usted, lector gentil, a apostar. Por el contrario, nuestro análisis mostrará que, a la larga, sólo prosperan las casas de juego. El jugador, inevitablemente, es una triste víctima de la ley de grandes números.

    En este capítulo vamos a estudiar algunos juegos interesantes de azar. El póquer, los dados de póquer, los dados y la ruleta son populares juegos de salón y casino. El problema de Monty Hall, en cambio, es interesante por la polémica que generó. La lotería es una forma básica que muchos estados y naciones utilizan para recaudar dinero (un impuesto voluntario, de alguna manera).

    Terminología

    Discutamos alguna de la terminología básica que se utilizará en varias secciones de este capítulo. Supongamos que\(A\) es un evento en un experimento aleatorio. Las probabilidades matemáticas concernientes\(A\) se refieren a la probabilidad de\(A\).

    Si\(a\) y\(b\) son números positivos, entonces por definición, los siguientes son equivalentes:

    1. las probabilidades a favor de\(A\) son\(a : b\).
    2. \(\P(A) = \frac{a}{a + b}\).
    3. las probabilidades en contra\(A\) son\(b : a\).
    4. \(\P(A^c) = \frac{b}{a + b}\).

    En muchos casos,\(a\) y se\(b\) pueden dar como enteros positivos sin factores comunes.

    De igual manera, supongamos que\(p \in [0, 1]\). Los siguientes son equivalentes:

    1. \(\P(A) = p\).
    2. Las probabilidades a favor de\(A\) son\(p : 1 - p\).
    3. \(\P(A^c) = 1 - p\).
    4. Las probabilidades en contra\(A\) son\(1 - p : p\).

    Por otro lado, las cuotas de la casa de un evento se refieren al pago cuando se realiza una apuesta en el evento.

    Una apuesta en el evento\(A\) paga\(n : m\) significa que si un jugador apuesta\( m \) unidades en\( A \) entonces

    1. Si\(A\) ocurre, el jugador recibe las\(m\) unidades de vuelta y una\(n\) unidad adicional (para una ganancia neta de\(n\))
    2. Si\(A\) no ocurre, el jugador pierde la apuesta de\(m\) unidades (para una ganancia neta de\(-m\)).

    Equivalentemente, el jugador pone\(m\) unidades (apostando\(A\)), la casa pone\(n\) unidades, (apostando\(A^c\)) y el ganador se lleva el bote. Por supuesto, generalmente no es necesario que el jugador apueste exactamente\(m\); una apuesta menor o mayor se escala apropiadamente. Así, si el jugador apuesta\(k\) unidades y gana, su pago es\(k \frac{n}{m}\).

    Naturalmente, nuestro principal interés está en las ganancias netas si hacemos una apuesta en un evento. El siguiente resultado da la función de densidad de probabilidad, media y varianza para una apuesta unitaria. El valor esperado es particularmente interesante, ya que por la ley de los números grandes, da la ganancia o pérdida a largo plazo, por apuesta unitaria.

    Supongamos que las cuotas a favor del evento\(A\) son\(a : b\) y que una apuesta en evento\(A\) paga\(n : m\). Dejar\(W\) denotar las ganancias de una apuesta unitaria en\(A\). Entonces

    1. \(\P(W = -1) = \frac{b}{a + b}\),\(\P\left(W = \frac{n}{m}\right) = \frac{a}{a + b}\)
    2. \(\E(W) = \frac{a\,n - b m}{m(a + b)}\)
    3. \(\var(W) = \frac{a b (n + m)^2}{m^2 (a + b)^2}\)

    En particular, el valor esperado de la apuesta es cero si y solo si\(a n = b m\), positivo si y solo si\(a n \gt b m\), y negativo si y solo si\(a n \lt b m\). El primer caso significa que la apuesta es justa, y ocurre cuando el pago es el mismo que las probabilidades contra el evento. El segundo significa que la apuesta es favorable para el jugador, y ocurre cuando el pago es mayor que las probabilidades contra el evento. El tercer caso significa que la apuesta es injusta para el jugador, y ocurre cuando el pago es menor que las probabilidades contra el evento. Desafortunadamente, todos los juegos de casino entran en la tercera categoría.

    Más sobre Dice

    Formas de dados

    El dado estándar, por supuesto, es un cubo con seis lados. Un poco más generalmente, la mayoría de los dados reales tienen la forma de sólidos platónicos, llamados así por Platón naturalmente. Las caras de un sólido platónico son polígonos regulares congruentes. Además, el mismo número de caras se encuentran en cada vértice, por lo que todos los bordes y ángulos también son congruentes.

    Los cinco sólidos platónicos son

    1. El tetraedro, con 4 lados.
    2. El hexaedro (cubo), con 6 lados
    3. El octaedro, con 8 lados
    4. El dodecaedro, con 12 lados
    5. El icosaedro, con 20 lados
    BluePlatonicDice.png
    Figura\(\PageIndex{3}\): Dados platónicos azules de Wikipedia

    Tenga en cuenta que el dado de 4 lados es el único dado platónico en el que el resultado es la cara que está abajo en lugar de arriba (o tal vez es mejor pensar en el vértice que está arriba como el desenlace).

    Dados Justos y Torcidos

    Recordemos que un dado justo es aquel en el que las caras son igualmente probables. Además de los dados justos, existen varios tipos de dados torcidos. Para el troquel estándar de seis lados, hay tres tipos torcidos que usamos con frecuencia en este proyecto. Para entender la geometría, recordemos que con el troquel estándar de seis lados, las caras opuestas suman 7.

    Dados Planos

    1. Un dado plano ace-seis es un dado de seis lados en el que las caras 1 y 6 tienen probabilidad\(\frac{1}{4}\) cada una mientras que las caras 2, 3, 4 y 5 tienen probabilidad\(\frac{1}{8}\) cada una.
    2. Un dado plano de dos y cinco es un dado de seis lados en el que las caras 2 y 5 tienen probabilidad\(\frac{1}{4}\) cada una mientras que las caras 1, 3, 4 y 6 tienen probabilidad\(\frac{1}{8}\) cada una.
    3. Un troquel plano de tres y cuatro es un dado de seis lados en el que las caras 3 y 4 tienen probabilidad\(\frac{1}{4}\) cada una mientras que las caras 1, 2, 5 y 6 tienen probabilidad\(\frac{1}{8}\) cada una.

    Un dado plano, como su nombre indica, es un dado que no es un cubo, sino que es más corto en una de las tres direcciones. Las probabilidades particulares que utilizamos (\(1/4\)y\(1/8\)) son ficticias, pero la propiedad esencial de una matriz plana es que las caras opuestas en el eje más corto tienen probabilidades ligeramente mayores (porque tienen áreas ligeramente mayores) que las otras cuatro caras. Los dados planos a veces son utilizados por los jugadores para hacer trampa.

    En el Experimento de Dados, seleccione un dado. Ejecutar el experimento 1000 veces en cada uno de los siguientes casos y observar los resultados.

    1. justo morir
    2. matriz plana ace-six
    3. troqueles planos dos-cinco
    4. troqueles planos tres-cuatro

    Simulación

    Es muy fácil simular un dado justo con un número aleatorio. Recordemos que la función de techo\(\lceil x \rceil\) da el entero más pequeño que es al menos tan grande como\(x\).

    Supongamos que\(U\) se distribuye uniformemente en el intervalo\((0, 1]\), de manera que\(U\) tiene la distribución uniforme estándar (un número aleatorio). Luego\(X = \lceil 6 \, U \rceil\) se distribuye uniformemente en el conjunto\(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) y así simula un dado justo de seis lados. De manera más general,\(X = \lceil n \, U \rceil\) se distribuye uniformemente\(\{1, 2, \ldots, n\}\) y así simla un dado\(n\) de lados justos.

    También podemos usar un dado justo real para simular otros tipos de dados justos. Recordemos que si\(X\) se distribuye uniformemente sobre\(\{1, 2, \ldots, n\}\) y\(k \in \{1, 2, \ldots, n - 1\}\), entonces la distribución condicional de\(X\) dado que\(X \in \{1, 2, \ldots, k\}\) se distribuye uniformemente en\(\{1, 2, \ldots, k\}\). Así, supongamos que tenemos un dado real, justo,\(n\) de lados. Si ignoramos resultados mayores que\(k\) entonces simulamos un dado\(k\) de lados justos. Por ejemplo, supongamos que tenemos un icosaedro cuidadosamente construido que es un dado justo de 20 lados. Podemos simular un dado justo de 13 lados simplemente enrollando el troquel y deteniéndolo tan pronto como tengamos una puntuación entre 1 y 13.

    Para ver cómo simular una mano de tarjeta, consulte la Introducción a los Modelos de Muestreo Finito. Un método general de simulación de variables aleatorias se basa en la función quantile.


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