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4.2: MATLAB y Clases Independientes

  • Page ID
    151033
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    MATLAB y Clases Independientes

    En la unidad sobre Minterms, mostramos cómo usar probabilidades minterm y vectores minterm para calcular probabilidades de combinaciones booleanas de eventos. En Independence of Events mostramos que en el caso independiente, podemos calcular todas las probabilidades minterm a partir de las probabilidades de los eventos básicos. Si bien estos cálculos son sencillos, pueden ser tediosos y sujetos a errores. Afortunadamente, en este caso tenemos un minprob de función m que calcula todas las probabilidades minterm a partir de las probabilidades de los conjuntos básicos o generadores. Esta función utiliza la función m mintable para establecer los patrones de\(p\)'s y\(q\)'s para los diversos minterms y luego toma los productos para obtener el conjunto de probabilidades minterm.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    >> pm = minprob(0.1*[4 7 6])
       pm = 0.0720  0.1080  0.1680  0.2520  0.0480  0.0720  0.1120  0.1680
    

    Puede ser deseable organizarlos como en un mapa minterm. Para esto tenemos un minmap de función m que reconfigura la matriz de filas\(pm\), de la siguiente manera:

    >> t = minmap(pm)
    t = 0.0720    0.1680    0.0480    0.1120
        0.1080    0.2520    0.0720    0.1680

    Probabilidad de ocurrencia de k de n eventos independientes

    En el Ejemplo 2, mostramos cómo usar las funciones m mintable y csort para obtener la probabilidad de ocurrencia\(k\) de\(n\) eventos, cuando hay probabilidades minterm disponibles. En el caso de una clase independiente, las probabilidades minterm se calculan fácilmente por minprob, sólo es necesario especificar las probabilidades para los eventos\(n\) básicos y los números\(k\) de eventos. Se determina el tamaño de la clase, de ahí la mintable, y las probabilidades minterm se calculan por minprob. Tenemos dos funciones m útiles. Si\(P\) es una matriz de las probabilidades de eventos\(n\) individuales, y\(k\) es una matriz de números enteros menores o iguales a\(n\), entonces

    función\(y = \text{ikn}(P, k)\) calcula las probabilidades individuales que\(k\) de\(n\) ocurrir

    función\(y = \text{ckn}(P, k)\) calcula las probabilidades de que se produzcan\(k\) o más

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    >> p = 0.01*[13 37 12 56 33 71 22 43 57 31];
    >> k = [2 5 7];
    >> P = ikn(p,k)
    P =    0.1401    0.1845    0.0225       % individual probabilities
    >> Pc = ckn(p,k)
    Pc =   0.9516    0.2921    0.0266       % cumulative probabilities

    Fiabilidad de sistemas con componentes independientes

    Supongamos que un sistema tiene\(n\) componentes que fallan independientemente. \(E_i\)Sea el evento en el que el componente\(i\) th sobreviva al periodo de tiempo designado. Entonces\(R_i = P(E_i)\) se define como la confiabilidad de ese componente. La fiabilidad\(R\) del sistema completo es una función de las fiabilidades de los componentes. Hay tres configuraciones básicas. Los sistemas generales pueden descomponerse en subsistemas de este tipo. Los subsistemas se convierten en componentes en la configuración más grande. Las tres configuraciones fundamentales son:

    Serie. El sistema opera si todos los componentes n operan:\(R = \prod_{i = 1}^n R_i\)

    Paralelo. El sistema opera si no todos los componentes fallan:\(R = 1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - R_i)\)

    k de n. El sistema opera iff\(k\) o más componentes operan. \(R\)puede calcularse con la función m-ckn. Si las probabilidades de componentes son todas iguales, es más eficiente usar la función m cbinom (ver ensayos de Bernoulli y la distribución binomial, a continuación).

    Solución MATLAB. Poner las fiabilidades de los componentes en matriz\(RC = [R_1\ R_2\ \cdot\cdot\cdot \ R_n]\)

    Configuración en serie

      >> R = prod(RC)     % prod is a built in MATLAB function
    

    Configuración Paralelo

      >> R = parallel(RC) % parallel is a user defined function
    

    k de n Configuración

      >> R = ckn(RC,k)    % ckn is a user defined function (in file ckn.m).
    

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Hay ocho componentes, numerados del 1 al 8. El componente 1 está en serie con una combinación paralela de componentes 2 y 3, seguido de una combinación 3 de 5 de componentes 4 a 8 (ver Figura 1 para una representación esquemática). Las probabilidades de los componentes en orden son

    0.95 0.90 0.92 0.80 0.83 0.91 0.85 0.85

    La segunda y tercera probabilidades son para el par paralelo, y las últimas cinco probabilidades son para la combinación 3 de 5.

    >> RC = 0.01*[95 90 92 80 83 91 85 85];        % Component reliabilities
    >> Ra = RC(1)*parallel(RC(2:3))*ckn(RC(4:8),3) % Solution
    Ra = 0.9172
    Figura 4.2.1. Representación esquemática del sistema en Ejemplo

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    >> RC = 0.01*[95 90 92 80 83 91 85 85];    % Component reliabilities 1--8
    >> Rb = prod(RC(1:2))*parallel([RC(3),ckn(RC(4:8),3)])     % Solution
    Rb = 0.8532
    Figura 4.2.2. Representación esquemática del sistema en Ejemplo

    Una prueba para la independencia

    Es difícil mirar una lista de probabilidades minterm y determinar si los eventos generadores forman o no una clase independiente. La función m imintest tiene como argumento un vector de probabilidades minterm. Verifica el tamaño factible, determina el número de variables y realiza una verificación de independencia.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    >> pm = 0.01*[15 5 2 18 25 5 18 12];   % An arbitrary class
    >> disp(imintest(pm))
    The class is NOT independent
    Minterms for which the product rule fails
         1     1     1     0
         1     1     1     0

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    >> pm = [0.10 0.15 0.20 0.25 0.30]: %An improper number of probabilities
    >> disp(imintest(pm))
    The number of minterm probabilities incorrect

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    >> pm = minprob([0.5 0.3 0.7]);
    >> disp(imintest(pm))
    The class is independent
    

    Probabilidades de combinaciones booleanas

    Como en el caso no independiente, podemos utilizar la expansión minterm y las probabilidades minterm para calcular las probabilidades de combinaciones booleanas de eventos. Sin embargo, frecuentemente es más eficiente manipular las expresiones para que la combinación booleana sea una unión disjunta de intersecciones.

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\) A simple Boolean combination

    Supongamos que la clase {\(A\)\(B\),,\(C\)} es independiente, con probabilidades respectivas 0.4, 0.6, 0.8. Determinar\(P(A \cup BC)\). La expansión a corto plazo es

    \(A \cup BC = M(3, 4, 5, 6, 7)\), so that \(P(A \cup BC) = p(3, 4, 5, 6, 7)\)

    No es difícil utilizar la regla del producto y el teorema de reemplazo para calcular las probabilidades minterm necesarias. Así\(p(3) = P(A^c) P(B) = P(C) = 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.8 = 0.2280\). De igual manera\(p(4) = 0.0320\)\(p(5) = 0.1280\),\(p(6) = 0.0480\),,\(p(7) = 0.1920\). La probabilidad deseada es la suma de estos, 0.6880.

    Como enfoque alternativo, escribimos

    \(A \cup BC = A \bigvee A^c BC\), de manera que\(P(A \cup BC) = 0.4 + 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.8 = 0.6880\)

    Consideradamente se requieren menos operaciones aritméticas en este cálculo.

    En problemas mayores, o en situaciones en las que se van a determinar las probabilidades de varias combinaciones booleanas, puede ser deseable calcular todas las probabilidades minterm y luego usar las técnicas de vectores minterm introducidas anteriormente para calcular probabilidades para varias combinaciones booleanas. Como ejemplo más amplio para el que la ayuda computacional es altamente deseable, considere nuevamente la clase y las probabilidades utilizadas en el Ejemplo 4.2.2, anterior.

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    Consideremos nuevamente la clase independiente {\(E_1, E_2, \cdot\cdot\cdot E_{10}\)} con probabilidades respectivas [0.13 0.37 0.12 0.56 0.33 0.71 0.22 0.43 0.57 0.31]. Deseamos calcular
    \(P(F) = P(E_1 \cup E_3 (E_4 \cup E_7^c) \cup E_2 (E_5^c \cup E_6 E_8) \cup E_9 E_{10}^c)\)

    Hay probabilidades\(2^{10} = 1024\) minterm a calcular. Cada uno requiere la multiplicación de diez números. La solución con MATLAB es fácil, de la siguiente manera:

    >> P = 0.01*[13 37 12 56 33 71 22 43 57 31];
    >> minvec10
    Vectors are A1 thru A10 and A1c thru A10c
    They may be renamed, if desired.
    >> F = (A1|(A3&(A4|A7c)))|(A2&(A5c|(A6&A8)))|(A9&A10c);
    >> pm = minprob(P);
    >> PF = F*pm'
    PF =  0.6636
    

    Escribir la expresión for\(F\) es tedioso y propenso a errores. Podríamos simplificar de la siguiente manera:

    >> A = A1|(A3&(A4|A7c));
    >> B = A2&(A5c|(A6&A8));
    >> C = A9&A10c;
    >> F = A|B|C;               % This minterm vector is the same as for F above
    

    Esta descomposición del problema indica que puede resolverse como una serie de problemas menores. Primero, necesitamos algunos datos centrales sobre la independencia de las combinaciones booleanas.

    Combinaciones booleanas independientes

    Supongamos que tenemos una combinación booleana de los eventos en la clase {\(A_i: 1 \le i \le n\)} y una segunda combinación de los eventos en la clase {\(B_j: 1 \le j \le m\)}. Si la clase combinada {\(A_i, B_j: 1 \le i \le n, 1 \le j \le m\)} es independiente, esperaríamos que las combinaciones de las subclases fueran independientes. Es importante ver que esto es de hecho una consecuencia de la regla del producto, ya que es una prueba más de que la regla del producto ha captado la esencia de la noción intuitiva de independencia. En la siguiente discusión, se expone la estructura esencial que proporciona las bases para la siguiente proposición general.

    Proposición. Considere\(n\) distintas subclases de una clase independiente de eventos. Si para cada uno\(i\) el evento\(A_i) is a Boolean (logical) combination of members of the \(i\) th subclase, entonces la clase {\ (A_1, A_2,\ cdot\ cdot\ cdot, a_N} es una clase independiente.

    La verificación de este resultado de largo alcance se basa en la expansión minterm y dos hechos elementales sobre las subclases disjuntas de una clase independiente. Expresamos estos hechos y consideramos en cada caso un ejemplo que exhibe la estructura esencial. La formulación del resultado general, en cada caso, es simplemente una cuestión de uso cuidadoso de la notación.

    Una clase cada uno de cuyos miembros es un minterm formado por miembros de una subclase distinta de una clase independiente es en sí misma una clase independiente.

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

    Considera la clase independiente {\(A_1, A_2, A_3, B_1, B_2, B_3, B_4\)}, con probabilidades respectivas 0.4, 0.7, 0.3, 0.5, 0.8, 0.3, 0.6. Considere\(M_3\), minterm tres para la clase {\(A_1, A_2, A_3\)}, y\(N_5\), minterm cinco para la clase {\(B_1\),\(B_2\),\(B_3\),\(B_4\)}. Entonces

    \(P(M_3) = P(A_1^c A_2 A_3) = 0.6 \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 0.126\)y\(P(N_5) = P(B_1^c B_2 B_3^c B_4) = 0.5 \cdot 0.8 \cdot 0.7 \cdot 0.6 = 0.168\)

    También

    \(P(M_3 N_5) = P(A_1^c A_2 A_3 B_1^c B_2 B_3^c B_40 = 0.6 \cdot 0.7 \cdot 0.3 \cdot 0.5 \cdot 0.8 \cdot 0.7 \cdot 0.6\)

    \(=(0.6 \cdot 0.7 \cdot 0.3) \cdot (0.5 \cdot 0.8 \cdot 0.7 \cdot 0.6) = P(M_3)P(N_5) = 0.0212\)

    La regla del producto muestra la independencia deseada.

    Nuevamente, debería ser evidente que el resultado se mantiene para cualquier número de\(A_i\) y\(B_j\); y puede extenderse a cualquier número de subclases distintas de una clase independiente.

    Supongamos que cada miembro de una clase puede expresarse como una unión disjunta. Si cada clase auxiliar formada por tomar un miembro de cada una de las uniones disjuntas es una clase independiente, entonces la clase original es independiente.

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

    Supongamos\(A = A_1 \bigvee A_2 \bigvee A_3\) y\(B = B_1 \bigvee B_2\), con {\(A_i\),\(A_j\)} independientes para cada par\(i, j\). Supongamos
    \(P(A_1) = 0.3\),\(P(A_2) = 0.4\)\(P(A_3) = 0.1\),\(P(B_1) = 0.2\),\(P(B_2) = 0.5\)

    Deseamos demostrar que el par {\(A\),\(B\)} es independiente; es decir, la regla del producto se\(P(AB) = P(A)P(B)\) mantiene.

    CÓMPUTO

    \(P(A) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) = 0.3 + 0.4 + 0.1 = 0.8\)y\(P(B) = P(B_1) + P(B_2) = 0.2 + 0.5 = 0.7\)

    Ahora

    \(AB = (A_1 \bigvee A_2 \bigvee A_3) (B_1 \bigvee B_2) = A_1B_1 \bigvee A_1 B_2 \bigvee A_2 B_1 \bigvee A_2 B_2 \bigvee A_3 B_1 \bigvee A_3 B_2\)

    Por aditividad e independencia de pares, tenemos

    \(P(AB) = P(A_1) P(B_1) + P(A_1) P(B_2) + P(A_2) P(B_1) + P(A_2)P(B_2) + P(A_3) P(B_1) + P(A_3) P(B_2)\)
    \(= 0.3 \cdot 0.2 + 0.3 \cdot 0.5 + 0.4 \cdot 0.2 + 0.4 \cdot 0.5 + 0.1 \cdot 0.2 + 0.1 \cdot 0.5 = 0.56 = P(A) P(B)\)

    La regla del producto también se puede establecer algebraicamente a partir de la expresión for\(P(AB)\), de la siguiente manera:

    \(P(AB) = P(A_1)[P(B_1) + P(B_2)] + P(A_2) [P(B_1) + P(B_2)] + P(A_3) [P(B_1) + P(B_2)]\)
    \(= [P(A_1) + P(A_2) + P(A_3)][P(B_1) + P(B_2)] = P(A) P(B)\)

    Debe quedar claro que el patrón que acabamos de ilustrar puede extenderse al caso general. Si

    \(A = \bigvee_{i = 1}^{n} A_i\)y\(B = \bigvee_{j = 1}^{m} B_j\), con cada par {\(A_i, B_j\)} independiente

    entonces el par {\(A, B\)} es independiente. Además, podemos extender esta regla al triple {\(A, B, C\)}

    \(A = \bigvee_{i = 1}^{n} A_i\),\(B = \bigvee_{j = 1}^{m} B_j\), y\(C = \bigvee_{k = 1}^{r} C_k\), con cada clase {\(A_i, B_j, C_k\)} independiente

    y de manera similar para cualquier número finito de tales combinaciones, de manera que se mantenga la segunda proposición.

    Comience con una clase independienteScreen Shot 2020-01-27 at 10.08.28 AM.png de\(n\) eventos. Seleccione\(m\) distintas subclases y forme combinaciones booleanas para cada una de ellas. El uso de la expansión minterm para cada una de estas combinaciones booleanas y las dos proposiciones recién ilustradas muestra que la clase de combinaciones booleanas es independiente

    Para ilustrar, volvemos al Ejemplo 4.2.9, que involucra una clase independiente de diez eventos.

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\) A hybrid approach

    Consideremos nuevamente la clase independiente {\(E_1, E_2, \cdot\cdot\cdot, E_{10}\)} con probabilidades respectivas {0.13 0.37 0.12 0.56 0.33 0.71 0.22 0.43 0.57 0.31}. Deseamos calcular

    \(P(F) = P(E_1 \cup E_3 (E_4 \cup E_7^c) \cup E_2 (E_5^c \cup E_6 E_8) \cup E_9 E_10^c)\)

    En la solución anterior, utilizamos minprob para calcular los\(2^{10}=1024\) minterms para los diez de los\(E_i\) y determinar el vector minterm para\(F\). Como señalamos en la ampliación alterna de\(F\),

    \(F= A \cup B \cup C\), cuando\(A = E_1 \cup E_3 (E_4 \cup E_7^c)\)\(B = E_2 (E_5^c \cup E_6 E_8)\)\(C = E_9 E_{10}^c\)

    Podemos calcular directamente\(P(C) = 0.57 \cdot 0.69 = 0.3933\). Ahora\(A\) es una combinación booleana de {\(E_1, E_3, E_4, E_7\)} y B es una combinación de {\(E_2, E_5, E_6 E_8\)}. Por el resultado sobre la independencia de las combinaciones booleanas, la clase {\(A, B, C\)} es independiente. Utilizamos los procedimientos m para calcular\(P(A)\) y\(P(B)\). Entonces nos ocupamos de la clase independiente {\(A, B, C\)} para obtener la probabilidad de\(F\).

    >> p  = 0.01*[13 37 12 56 33 71 22 43 57 31];
    >> pa = p([1 3 4 7]);     % Selection of probabilities for A
    >> pb = p([2 5 6 8]);     % Selection of probabilities for B
    >> pma = minprob(pa);     % Minterm probabilities for calculating P(A)
    >> pmb = minprob(pb);     % Minterm probabilities for calculating P(B)
    >> minvec4;
    >> a = A|(B&(C|Dc));      % A corresponds to E1, B to E3, C to E4, D to E7
    >> PA = a*pma'
    PA = 0.2243
    >> b = A&(Bc|(C&D));      % A corresponds to E2, B to E5, C to E6, D to E8
    >> PB = b*pmb'
    PB = 0.2852
    >> PC = p(9)*(1 - p(10))
    PC = 0.3933
    >> pm = minprob([PA PB PC]);
    >> minvec3                % The problem becomes a three variable problem
    >> F = A|B|C;             % with {A,B,C} an independent class
    >> PF = F*pm'
    PF = 0.6636               % Agrees with the result of Example 4.2.7
    

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