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15.3: Problemas en la Selección Aleatoria

  • Page ID
    151053
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    (Consulte el Ejercicio 3 de "Problemas en Variables Aleatorias y Distribuciones de Articulación “) Se enrolla una matriz. Deja\(X\) ser el número de spots que aparecen. Una moneda es volteada\(X\) veces. \(Y\)Sea el número de cabezas que aparecen. Determinar la distribución para\(Y\).

    Responder
    PX = [0 (1/6)*ones(1,6)];
    PY = [0.5 0.5];
    gend
    Do not forget zero coefficients for missing powers
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  PX
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  PY
    Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
    May use jcalc or jcalcf on N, D, P
    To view the distribution, call for gD.
    disp(gD)             % Compare with P8-3
             0    0.1641
        1.0000    0.3125
        2.0000    0.2578
        3.0000    0.1667
        4.0000    0.0755
        5.0000    0.0208
        6.0000    0.0026

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    (Consulte el Ejercicio 4 de "Problemas en Variables Aleatorias y Distribuciones Articuladas “) Como variación del Ejercicio 15.3.1, supongamos que se tira un par de dados en lugar de un solo dado. Determinar la distribución para\(Y\).

    Responder
    PN = (1/36)*[0 0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1];
    PY = [0.5 0.5];
    gend
    Do not forget zero coefficients for missing powers
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  PN
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  PY
    Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
    May use jcalc or jcalcf on N, D, P
    To view the distribution, call for gD.
    disp(gD)
             0    0.0269
        1.0000    0.1025
        2.0000    0.1823
        3.0000    0.2158
        4.0000    0.1954
        5.0000    0.1400
        6.0000    0.0806
        7.0000    0.0375
        8.0000    0.0140     % (Continued next page)
        9.0000    0.0040
       10.0000    0.0008
       11.0000    0.0001
       12.0000    0.0000

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    (Consulte el Ejercicio 5 de "Problemas en Variables Aleatorias y Distribuciones Conjuntas “) Supongamos que se tira un par de dados. Dejar\(X\) ser el número total de manchas que aparecen. Enrolle el par una\(X\) vez más. \(Y\)Sea el número de sietes que se lanzan en los\(X\) rollos. Determinar la distribución para\(Y\). ¿Cuál es la probabilidad de tres o más sietes?

    Responder
    PX = (1/36)*[0 0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1];
    PY = [5/6 1/6];
    gend
    Do not forget zero coefficients for missing powers
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  PX
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  PY
    Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
    May use jcalc or jcalcf on N, D, P
    To view the distribution, call for gD.
    disp(gD)
             0    0.3072
        1.0000    0.3660
        2.0000    0.2152
        3.0000    0.0828
        4.0000    0.0230
        5.0000    0.0048
        6.0000    0.0008
        7.0000    0.0001
        8.0000    0.0000
        9.0000    0.0000
       10.0000    0.0000
       11.0000    0.0000
       12.0000    0.0000
       P = (D>=3)*PD'
    P =  0.1116

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    (Ver Ejemplo 7 de "Expectativa Condicional, Regresión “)\(X\) Se elige un número mediante una selección aleatoria de los enteros del 1 al 20 (digamos, sacando una carta de una caja). Un par de dados se lanzan\(X\) veces. Dejar\(Y\) ser el número de “coincidencias” (es decir, ambas, ambas dos, etc.). Determinar la distribución para\(Y\).

    Contestar
    gN = (1/20)*[0 ones(1,20)];
    gY = [5/6 1/6];
    gend
    Do not forget zero coefficients for missing powers
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  gN
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  gY
    Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
    May use jcalc or jcalcf on N, D, P
    To view the distribution, call for gD.
     
    disp(gD)
             0    0.2435
        1.0000    0.2661
        2.0000    0.2113
        3.0000    0.1419
        4.0000    0.0795
        5.0000    0.0370
        6.0000    0.0144
        7.0000    0.0047
        8.0000    0.0013
        9.0000    0.0003
       10.0000    0.0001
       11.0000    0.0000
       12.0000    0.0000
       13.0000    0.0000
       14.0000    0.0000
       15.0000    0.0000
       16.0000    0.0000
       17.0000    0.0000
       18.0000    0.0000
       19.0000    0.0000
       20.0000    0.0000

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    (Consulte el Ejercicio 20 de "Problemas en Expectativa Condicional, Regresión “)\(X\) Se selecciona aleatoriamente un número de los enteros del 1 al 100. Un par de dados se lanzan\(X\) veces. \(Y\)Sea el número de sietes lanzados a los\(X\) lanzados. Determinar la distribución para\(Y\). Determinar\(E[Y]\) y\(P(Y \le 20)\).

    Contestar
    gN = 0.01*[0 ones(1,100)];
    gY = [5/6 1/6];
    gend
    Do not forget zero coefficients for missing powers
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  gN
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  gY
    Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
    May use jcalc or jcalcf on N, D, P
    To view the distribution, call for gD.
    EY = dot(D,PD)
    EY =   8.4167
    P20 = (D<=20)*PD'
    P20 =  0.9837

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    (Consulte el Ejercicio 21 de "Problemas en Expectativa Condicional, Regresión “)\(X\) Se selecciona aleatoriamente un número de los enteros del 1 al 100. Cada una de dos personas dibuja\(X\) veces de forma independiente y aleatoria un número del 1 al 10. Dejar\(Y\) ser el número de partidos (es decir, ambos empatan unos, ambos empatan dos, etc.). Determinar la distribución para\(Y\). Determinar\(E[Y]\) y\(P(Y \le 10)\).

    Contestar
    gN = 0.01*[0 ones(1,100)];
    gY = [0.9 0.1];
    gend
    Do not forget zero coefficients for missing powers
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  gN
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  gY
    Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
    May use jcalc or jcalcf on N, D, P
    To view the distribution, call for gD.
    EY = dot(D,PD)
    EY =  5.0500
    P10 = (D<=10)*PD'
    P10 = 0.9188

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Supongamos que el número de entradas en un concurso es\(N\) ~ binomio (20, 0.4). Hay cuatro preguntas. \(Y_i\)Sea el número de preguntas respondidas correctamente por el\(i\) th concursante. Supongamos que el\(Y_i\) son iid, con distribución común

    \(Y =\)[1 2 3 4]\(PY =\) [0.2 0.4 0.3 0.1]

    \(D\)Sea el número total de respuestas correctas. Determinar\(E[D]\),\(\text{Var} [D]\),\(P(15 \le D \le 25)\), y\(P(10 \le D \le 30)\).

    Contestar
    gN = ibinom(20,0.4,0:20);
    gY = 0.1*[0 2 4 3 1];
    gend
    Do not forget zero coefficients for missing powers
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  gN
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  gY
    Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
    May use jcalc or jcalcf on N, D, P
    To view the distribution, call for gD.
    ED = dot(D,PD)
    ED =  18.4000
    VD = (D.^2)*PD' - ED^2
    VD =  31.8720
    P1 = ((15<=D)&(D<=25))*PD'
    P1 =   0.6386
    P2 = ((10<=D)&(D<=30))*PD'
    P2 =   0.9290

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Los vigilantes de caza están realizando un levantamiento aéreo del número de venados en un parque. Se supone que el número de rebaños a ser avistado es una variable aleatoria\(N\) ~ binomio (20, 0.5). Se supone que cada rebaño es de 1 a 10 de tamaño, con probabilidades

    Valor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    Probabilidad 0.05 0.10 0.15 0.20 0.15 0.10 0.10 0.05 0.05 0.05

    \(D\)Sea el número de venados avistados bajo este modelo. Determinar\(P(D \le t)\) para\(t = 25, 50, 75, 100\) y\(P(D \ge 90)\).

    Contestar
    gN = ibinom(20,0.5,0:20);
    gY = 0.01*[0 5 10 15 20 15 10 10 5 5 5];
    gend
    Do not forget zero coefficients for missing powers
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  gN
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  gY
    Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
    May use jcalc or jcalcf on N, D, P
    To view the distribution, call for gD.
    k = [25 50 75 100];
    P = zeros(1,4);
    for i = 1:4
        P(i) = (D<=k(i))*PD';
    end
    disp(P)
        0.0310    0.5578    0.9725    0.9998

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Una casa de suministros tiene siete artículos populares. La siguiente tabla muestra los valores de los artículos y la probabilidad de que cada uno sea seleccionado por un cliente.

    Valor 12.50 25.00 30.50 40.00 42.50 50.00 60.00
    Probabilidad 0.10 0.15 0.20 0.20 0.15 0.10 0.10

    Supongamos que las compras de los clientes son iid, y el número de clientes en un día es binomial (10,0.5). Determinar la distribución para la demanda total\(D\).

    1. ¿Cuántos valores posibles diferentes hay? ¿Cuál es el máximo de ventas totales posibles?
    2. Determinar\(E[D]\) y\(P(D \le t)\) para\(t = 100, 150, 200, 250, 300\).
      Determinar\(P(100 < D \le 200)\).
    Contestar
    gN = ibinom(10,0.5,0:10);
    Y  = [12.5 25 30.5 40 42.5 50 60];
    PY = 0.01*[10 15 20 20 15 10 10];
    mgd
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  gN
    Enter VALUES for Y  Y
    Enter PROBABILITIES for Y  PY
    Values are in row matrix D; probabilities are in PD.
    To view the distribution, call for mD.
    s = size(D)
    s =    1   839
    M = max(D)
    M =    590
    t = [100 150 200 250 300];
    P = zeros(1,5);
    for i = 1:5
        P(i) = (D<=t(i))*PD';
    end
    disp(P)
        0.1012    0.3184    0.6156    0.8497    0.9614
    P1 = ((100<D)&(D<=200))*PD'
    P1 =   0.5144

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Un juego se juega de la siguiente manera:

    1. Se hace girar una rueda, dando uno de los enteros del 0 al 9 sobre una base igualmente probable.
    2. Se lanza un solo dado el número de veces que indica el resultado del giro de la rueda. El número de puntos realizados es el total de los números presentados en la secuencia de lanzamientos del dado.
    3. Un jugador paga dieciséis dólares para jugar; se devuelve un dólar por cada punto hecho.

    Dejar\(Y\) representar el número de puntos realizados y\(X = Y - 16\) ser la ganancia neta (posiblemente negativa) del jugador. Determinar el valor máximo de

    \(X, E[X], \text{Var} [X], P(X > 0), P(X \ge 10), P(X \ge 16)\)

    Contestar
    gn = 0.1*ones(1,10);
    gy = (1/6)*[0 ones(1,6)];
    [Y,PY] = gendf(gn,gy);
    [X,PX] = csort(Y-16,PY);
    M = max(X)
    M =  38
    EX = dot(X,PX)               % Check EX = En*Ey - 16 = 4.5*3.5
    EX  =  -0.2500               % 4.5*3.5 - 16 = -0.25
    VX = dot(X.^2,PX) - EX^2
    VX =  114.1875
    Ppos = (X>0)*PX'
    Ppos =  0.4667
    P10 = (X>=10)*PX'
    P10 =   0.2147
    P16 = (X>=16)*PX'
    P16 =   0.0803

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Marvin llama a cuatro clientes. Con probabilidad\(p_1 = 0.6\) realiza una venta en cada caso. Geraldine llama a cinco clientes, con probabilidad\(p_2 = 0.5\) de venta en cada caso. Los clientes que compran lo hacen sobre una base iid, y ordenan una cantidad\(Y_i\) (en dólares) con distribución común:

    \(Y =\)[200 220 240 260 280 300]\(PY =\) [0.10 0.15 0.25 0.25 0.15 0.10]

    \(D_1\)Dejen ser las ventas totales para Marvin y\(D_2\) las ventas totales para Geraldine. Vamos\(D = D_1 + D_2\). Determinar la distribución y la media y varianza para\(D_1\)\(D_2\), y\(D\). Determinar\(P(D_1 \ge D_2)\) y\(P(D \ge 1500)\),\(P(D \ge 1000)\), y\(P(D \ge 750)\).

    Contestar
    gnM = ibinom(4,0.6,0:4);
    gnG = ibinom(5,0.5,0:5);
    Y = 200:20:300;
    PY = 0.01*[10 15 25 25 15 10];
    [D1,PD1] = mgdf(gnM,Y,PY);
    [D2,PD2] = mgdf(gnG,Y,PY);
    ED1 = dot(D1,PD1)
    ED1 =  600.0000              % Check: ED1 = EnM*EY = 2.4*250
    VD1 = dot(D1.^2,PD1) - ED1^2
    VD1 =    6.1968e+04
    ED2 = dot(D2,PD2)
    ED2 =  625.0000              % Check: ED2 = EnG*EY = 2.5*250
    VD2 = dot(D2.^2,PD2) - ED2^2
    VD2 =    8.0175e+04
    [D1,D2,t,u,PD1,PD2,P] = icalcf(D1,D2,PD1,PD2);
    Use array opertions on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    [D,PD] = csort(t+u,P);
    ED = dot(D,PD)
    ED =   1.2250e+03
    eD = ED1 + ED2              % Check: ED = ED1 + ED2
    eD =   1.2250e+03           % (Continued next page)
     
    VD = dot(D.^2,PD) - ED^2
    VD =   1.4214e+05
    vD = VD1 + VD2            % Check: VD = VD1 + VD2
    vD =   1.4214e+05
    P1g2 = total((t>u).*P)
    P1g2 = 0.4612
    k = [1500 1000 750];
    PDk = zeros(1,3);
    for i = 1:3
       PDk(i) = (D>=k(i))*PD';
    end
    disp(PDk)
        0.2556    0.7326    0.8872

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Se envía un cuestionario a veinte personas. El número que responde es un número aleatorio\(N\) ~ binomio (20, 0.7). Si cada encuestado tiene probabilidad\(p = 0.8\) de favorecer una proposición determinada, ¿cuál es la probabilidad de diez o más respuestas favorables? ¿De quince o más?

    Contestar
    gN = ibinom(20,0.7,0:20);
    gY = [0.2 0.8];
    gend
    Do not forget zero coefficients for missing powers
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  gN
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  gY
    Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
    May use jcalc or jcalcf on N, D, P
    To view the distribution, call for gD.
    P10 = (D>=10)*PD'
    P10 =   0.7788
    P15 = (D>=15)*PD'
    P15 =   0.0660
    pD = ibinom(20,0.7*0.8,0:20);  % Alternate: use D binomial (pp0)
    D = 0:20;
    p10 = (D>=10)*pD'
    p10 =  0.7788
    p15 = (D>=15)*pD'
    p15 =  0.0660

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Un número aleatorio\(N\) de estudiantes toman un examen de calificación. Una nota de 70 o más gana un pase. Supongamos\(N\) ~ binomio (20, 0.3). Si cada alumno tiene probabilidad\(p = 0.7\) de hacer 70 o más, ¿cuál es la probabilidad de que todos pasen? ¿Pasarán diez o más?

    Contestar
    gN = ibinom(20,0.3,0:20);
    gY = [0.3 0.7];
    gend
    Do not forget zero coefficients for missing powers
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gN  gN
    Enter gen fn COEFFICIENTS for gY  gY
    Results are in N, PN, Y, PY, D, PD, P
    May use jcalc or jcalcf on N, D, P
    To view the distribution, call for gD.
    Pall = (D==20)*PD'
    Pall =  2.7822e-14
    pall = (0.3*0.7)^20    % Alternate: use D binomial (pp0)
    pall =  2.7822e-14
    P10 = (D >= 10)*PD'
    P10 = 0.0038

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Se envían quinientos cuestionarios. La probabilidad de respuesta es 0.6. La probabilidad de que una respuesta sea favorable es de 0.75. ¿Cuál es la probabilidad de al menos 200, 225, 250 respuestas favorables?

    Contestar
    n = 500;
    p = 0.6;
    p0 = 0.75;
    D = 0:500;
    PD = ibinom(500,p*p0,D);
    k = [200 225 250];
    P = zeros(1,3);
    for i = 1:3
       P(i) = (D>=k(i))*PD';
    end
    disp(P)
        0.9893    0.5173    0.0140

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Supongamos que el número de visitantes japoneses a Florida en una semana es\(N1\) ~ Poisson (500) y el número de visitantes alemanes es\(N2\) ~ Poisson (300). Si 25 por ciento de los japoneses y 20 por ciento de los alemanes visitan Disney World, ¿cuál es la distribución para el número total\(D\) de visitantes alemanes y japoneses al parque? Determinar\(P(D \ge k)\) para\(k = 150, 155, \cdot\cdot\cdot, 245, 250\).

    Contestar

    \(JD\)~ Poisson (500*0.25 = 125);\(GD\) ~ Poisson (300*0.20 = 60);\(D\) ~ Poisson (185).

    k = 150:5:250;
    PD = cpoisson(185,k);
    disp([k;PD]')
      150.0000    0.9964
      155.0000    0.9892
      160.0000    0.9718
      165.0000    0.9362
      170.0000    0.8736
      175.0000    0.7785
      180.0000    0.6532  
      185.0000    0.5098
      190.0000    0.3663
      195.0000    0.2405
      200.0000    0.1435
      205.0000    0.0776
      210.0000    0.0379
      215.0000    0.0167
      220.0000    0.0067
      225.0000    0.0024
      230.0000    0.0008
      235.0000    0.0002
      240.0000    0.0001
      245.0000    0.0000
      250.0000    0.0000

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Un punto de cruce en una red tiene dos líneas entrantes y dos líneas salientes. El número de mensajes entrantes\(N_1\) en la línea uno en una hora es Poisson (50); en la línea 2 el número es\(N_2\) ~ Poisson (45). En la línea entrante 1 los mensajes tienen probabilidad\(P_{1a} = 0.33\) de salir en la línea saliente a y\(1 - p_{1a}\) de salir en la línea b. Los mensajes que entran en la línea 2 tienen probabilidad\(p_{2a} = 0.47\) de salir en la línea a. Bajo los supuestos de independencia habituales, ¿cuál es la distribución de los mensajes salientes en la línea a? ¿Cuáles son las probabilidades de al menos 30, 35, 40 mensajes salientes en la línea a?

    Contestar
    m1a = 50*0.33;  m2a = 45*0.47; ma = m1a + m2a;
    PNa = cpoisson(ma,[30 35 40])
    PNa =   0.9119    0.6890    0.3722

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    Una tienda de informática vende Macintosh, HP y varias otras computadoras personales compatibles con IBM. Cuenta con dos fuentes principales de clientes:

    1. Alumnos y profesores de una universidad cercana
    2. Clientes generales para computación doméstica y empresarial. Supongamos que los siguientes supuestos son razonables para compras mensuales.
    • El número de compradores universitarios\(N1\) ~ Poisson (30). Las probabilidades para Mac, HP, otros son 0.4, 0.2, 0.4, respectivamente.
    • El número de compradores no universitarios\(N2\) ~ Poisson (65). Las probabilidades respectivas para Mac, HP, otras son 0.2, 0.3, 0.5.
    • Para cada grupo, los supuestos de demanda compuesta son razonables, y los dos grupos compran de forma independiente.

    ¿Cuál es la distribución para el número de ventas de Mac? ¿Cuál es la distribución del número total de ventas de Mac y Dell?

    Contestar

    Mac ventas Poisson (30*0.4 + 65*0.2 = 25); ventas HP Poisson (30*0.2 + 65*0.3 = 25.5); ventas totales de Mac más HP Poisson (50.5).

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    El número\(N\) de “hits” en un día en un sitio Web en internet es Poisson (80). Supongamos que la probabilidad es 0.10 de que cualquier hit resulte en una venta, es 0.30 que el resultado sea una solicitud de información, y es 0.60 que el inquirer simplemente busque pero no identifique un interés. ¿Cuál es la probabilidad de 10 o más ventas? ¿Cuál es la probabilidad de que el número de ventas sea al menos la mitad del número de solicitudes de información (utilice aproximaciones simples adecuadas)?

    Contestar
    X = 0:30;
    Y = 0:80;
    PX = ipoisson(80*0.1,X);
    PY = ipoisson(80*0.3,Y);
    icalc:  X  Y  PX  PY
    - - - - - - - - - - - -
    PX10 = (X>=10)*PX'    % Approximate calculation
    PX10 =  0.2834
    pX10 = cpoisson(8,10)   % Direct calculation
    pX10 =  0.2834
    M = t>=0.5*u;
    PM = total(M.*P)
    PM =    0.1572

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    El número\(N\) de pedidos enviados al departamento de envío de una casa de pedidos por correo es Poisson (700). Los pedidos requieren de uno de los siete tipos de cajas, que con los costos de empaque tienen distribución

    Costo (dólares) 0.75 1.25 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00
    Probabilidad 0.10 0.15 0.15 0.25 0.20 0.10 0.05

    ¿Cuál es la probabilidad de que el costo total de las cajas de $2.50 no sea mayor a $475? ¿Cuál es la probabilidad de que el costo de las cajas de $2.50 sea mayor que el costo de las cajas de $3.00? ¿Cuál es la probabilidad de que el costo de las cajas de $2.50 no sea mayor a $50.00 que el costo de las cajas de $3.00? Sugerencia. Truncar las distribuciones de Poisson a aproximadamente el doble del valor medio.

    Contestar
    X = 0:400;
    Y = 0:300;
    PX = ipoisson(700*0.25,X);
    PY = ipoisson(700*0.20,Y);
    icalc
    Enter row matrix of X-values  X
    Enter row matrix of Y-values  Y
    Enter X probabilities  PX
    Enter Y probabilities  PY
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    P1 = (2.5*X<=475)*PX'
    P1 =   0.8785
    M = 2.5*t<=(3*u + 50);
    PM = total(M.*P)
    PM =   0.7500

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    Un auto de cada 5 en cierta comunidad es un Volvo. Si el número de autos que pasan por un punto de control de tránsito en una hora es de Poisson (130), ¿cuál es el número esperado de Volvos? ¿Cuál es la probabilidad de al menos 30 Volvos? ¿Cuál es la probabilidad de que el número de Volvos esté entre 16 y 40 (inclusive)?

    Contestar
    P1 = cpoisson(130*0.2,30) = 0.2407
    P2 = cpoisson(26,16) - cpoisson(26,41) = 0.9819

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    Un centro de servicio en una autopista interestatal experimenta a los clientes en un período de una hora de la siguiente manera:

    • Dirección Norte: Total vehículos: Poisson (200). El veinte por ciento son camiones.
    • Hacia el sur: Total vehículos: Poisson (180). El veinticinco por ciento son camiones.
    • Cada camión tiene una o dos personas, con respectivas probabilidades 0.7 y 0.3.
    • Cada auto tiene 1, 2, 3, 4 o 5 personas, con probabilidades 0.3, 0.3, 0.2, 0.1, 0.1, respectivamente

    Bajo los supuestos de independencia habituales,\(D\) sea el número de personas a ser atendidas. Determinar\(E[D]\),\(\text{Var} [D]\), y la función generadora\(g_D (s)\).

    Contestar

    \(T\)~ Poisson (200*0.2 = 180*0.25 = 85),\(P\) ~ Poisson (200*0.8 + 180*0.75 = 295).

    a =   85
    b = 200*0.8 + 180*0.75
    b =  295
    YT = [1 2];
    PYT = [0.7 0.3];
    EYT = dot(YT,PYT)
    EYT =  1.3000
    VYT = dot(YT.^2,PYT) - EYT^2
    VYT =  0.2100
    YP = 1:5;
    PYP = 0.1*[3 3 2 1 1];
    EYP = dot(YP,PYP)
    EYP =  2.4000
    VYP = dot(YP.^2,PYP) - EYP^2
    VYP =   1.6400
    EDT = 85*EYT
    EDT =  110.5000  
    EDP = 295*EYP
    EDP =  708.0000
    ED = EDT + EDP
    ED =  818.5000
    VT = 85*(VYT + EYT^2)
    VT =  161.5000
    VP = 295*(VYP + EYP^2)
    VP =    2183
    VD = VT + VP
    VD =   2.2705e+03
     
    NT = 0:180;                   % Possible alternative
    gNT = ipoisson(85,NT);
    gYT = 0.1*[0 7 3];
    [DT,PDT] = gendf(gNT,gYT);
    EDT = dot(DT,PDT)
    EDT =  110.5000
    VDT = dot(DT.^2,PDT) - EDT^2
    VDT =  161.5000
    NP = 0:500;
    gNP = ipoisson(295,NP);
    gYP = 0.1*[0 3 2 2 1 1];
    [DP,PDP] = gendf(gNP,gYP);     %  Requires too much memory

    \(g_{DT} (s) = \text{exp} (85(0.7s + 0.3s^2 - 1))\)\(g_{DP} (s) = \text{exp} (295(0.1(3s + 3s^2 2s^3 + s^4 + s^5) - 1))\)

    \(g_D (s) = g_{DT} (s) g_{DP} (s)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    El número\(N\) de clientes en una tienda en un día determinado es Poisson (120). Los clientes pagan en efectivo o con tarjetas de cargo MasterCard o Visa, con probabildades respectivas 0.25, 0.40, 0.35. Hacer los supuestos de independencia habituales. Let\(N_1, N_2, N_3\) be los números de ventas en efectivo, cargos de MasterCard, cargos de tarjeta Visa, respectivamente. Determinar\(P(N_1 \ge 30)\),\(P(N_2 \ge 60)\),\(P(N_3 \ge 50\), y\(P(N_2 > N_3)\).

    Contestar
    X = 0:120;
    PX = ipoisson(120*0.4,X);
    Y = 0:120;
    PY = ipoisson(120*0.35,Y);
    icalc
    Enter row matrix of X values  X
    Enter row matrix of Y values  Y
    Enter X probabilities  PX
    Enter Y probabilities  PY
    Use array opertions on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    M = t > u;
    PM = total(M.*P)
    PM =    0.7190

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    Una tienda minorista de descuento tiene dos puntos de venta en Houston, con un almacén común. Las solicitudes de los clientes se envían por teléfono al almacén para su recogida. Dos artículos, a y b, aparecen en una venta especial. El número de pedidos en un día de la tienda A es\(N_A\) ~ Poisson (30); de la tienda B, el número de pedidos es\(N_B\) ~ Poisson (40).

    Para la tienda A, la probabilidad de un pedido para a es 0.3, y para b es 0.7.

    Para la tienda B, la probabilidad de un pedido para a es 0.4, y para b es 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que el pedido total del artículo b en un día sea de 50 o más?

    Contestar

    P = cpoisson (30*0.7+40*0.6,50) = 0.2468

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    El número de ofertas en un trabajo es una variable aleatoria\(N\) ~ binomio (7, 0.6). Las ofertas (en miles de dólares) son iid con\(Y\) uniforme el [3, 5]. ¿Cuál es la probabilidad de al menos una oferta de $3,500 o menos? Tenga en cuenta que “sin puja” no es una oferta de 0.

    Contestar
    % First solution ---  FY(t) = 1 - gN[P(Y>t)]
    P = 1-(0.4 + 0.6*0.75)^7
    P  =    0.6794
    % Second solution --- Positive number of satisfactory bids,
    % i.e. the outcome is indicator for event E, with P(E) = 0.25
    pN = ibinom(7,0.6,0:7);
    gY = [3/4 1/4];         % Generator function for indicator
    [D,PD] = gendf(pN,gY);  % D is number of successes
    Pa = (D>0)*PD'          % D>0 means at least one successful bid
    Pa =    0.6794

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    El número de clientes durante la hora del mediodía en un cajero de banco es un número aleatorio\(N\) con distribución

    \(N =\)1:10,\(PN =\) 0.01 * [5 7 10 11 12 13 12 11 10 9]

    Los montos que quieren retirar pueden ser representados por una clase iid que tiene la distribución común\(Y\) ~ exponencial (0.01). Determinar las probabilidades de que el retiro máximo sea menor o igual a\(t\) para\(t = 100, 200, 300, 400, 500\).

    Contestar

    Uso\(F_W (t) = g_N[P(Y \le T)]\)

    gN = 0.01*[0 5 7 10 11 12 13 12 11 10 9];
    t = 100:100:500;
    PY = 1 - exp(-0.01*t);
    FW = polyval(fliplr(gN),PY)  % fliplr puts coeficients in
                                 % descending order of powers
    FW =    0.1330    0.4598    0.7490    0.8989    0.9615

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    Se pone un trabajo para las ofertas. La experiencia indica que el número\(N\) de pujas es una variable aleatoria que tiene valores de 0 a 8, con probabilidades respectivas

    Valor 0 1 2 3 4 5 6 7 8
    Probabilidad 0.05 0.10 0.15 0.20 0.20 0.10 0.10 0.07 0.03

    El mercado es tal que las ofertas (en miles de dólares) son iid, uniformes [100, 200]. Determinar la probabilidad de al menos una puja de $125,000 o menos.

    Contestar

    Probabilidad de una oferta exitosa\(PY = (125 - 100)/100 = 0.25\)

    PY =0.25;
    gN = 0.01*[5 10 15 20 20 10 10 7 3];
    P = 1 - polyval(fliplr(gN),PY)
    P =  0.9116

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    Se ofrece a la venta una propiedad. La experiencia indica que el número\(N\) de pujas es una variable aleatoria que tiene valores de 0 a 10, con probabilidades respectivas

    Valor 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    Probabilidad 0.05 0.15 0.15 0.20 0.10 0.10 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05

    El mercado es tal que las ofertas (en miles de dólares) son iid, uniformes [150, 200] Determinar la probabilidad de al menos una oferta de $180,000 o más.

    Contestar

    Considerar una secuencia de\(N\) ensayos con probabilidad\(p = (180 - 150)/50 = 0.6\).

    gN = 0.01*[5 15 15 20 10 10 5 5 5 5 5];
    gY = [0.4 0.6];
    [D,PD] = gendf(gN,gY);
    P = (D>0)*PD'
    P =   0.8493

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

    Se ofrece a la venta una propiedad. La experiencia indica que el número\(N\) de pujas es una variable aleatoria que tiene valores de 0 a 8, con probabilidades respectivas

    Número 0 1 2 3 4 5 6 7 8
    Probabilidad 0.05 0.15 0.15 0.20 0.15 0.10 0.10 0.05 0.05

    El mercado es tal que las ofertas (en miles de dólares) son iid simétricas triangulares en [150 250]. Determinar la probabilidad de al menos una puja de $210,000 o más.

    Contestar
    gN = 0.01*[5 15 15 20 15 10 10 5 5];
    PY = 0.5 + 0.5*(1 - (4/5)^2)
    PY = 0.6800
    >> PW = 1 - polyval(fliplr(gN),PY)
    PW = 0.6536
    %alternate
    gY = [0.68 0.32];
    [D,PD] = gendf(gN,gY);
    P = (D>0)*PD'
    P = 0.6536

    Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

    Supongamos\(N\) ~ binomio (10, 0.3) y el\(Y_i\) son iid, uniforme en [10, 20]. Dejar\(V\) ser el mínimo de los\(N\) valores de la\(Y_i\). Determine\(P(V > t)\) para valores enteros de 10 a 20.

    Contestar
    gN = ibinom(10,0.3,0:10);
    t = 10:20;
    p = 0.1*(20 - t);
    P = polyval(fliplr(gN),p) - 0.7^10
    P =
      Columns 1 through 7
        0.9718    0.7092    0.5104    0.3612    0.2503    0.1686    0.1092
      Columns 8 through 11
        0.0664    0.0360    0.0147         0
    Pa = (0.7 + 0.3*p).^10 - 0.7^10     % Alternate form of gN
    Pa =
      Columns 1 through 7
        0.9718    0.7092    0.5104    0.3612    0.2503    0.1686    0.1092
      Columns 8 through 11
        0.0664    0.0360    0.0147         0

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

    Supongamos que es igualmente probable que un maestro tenga 0, 1, 2, 3 o 4 alumnos que vienen en horario de oficina en un día determinado. Si la duración de las visitas individuales, en minutos, es iid exponencial (0.1), cuál es la probabilidad de que ninguna visita dure más de 20 minutos.

    Contestar
    gN = 0.2*ones(1,5);
    p = 1 - exp(-2);
    FW = polyval(fliplr(gN),p)
    FW =    0.7635
    gY = [p 1-p];               % Alternate
    [D,PD] = gendf(gN,gY);
    PW = (D==0)*PD'
    PW =    0.7635

    Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

    Doce módulos de estado sólido están instalados en un sistema de control. Si los módulos no son defectuosos, tienen una vida prácticamente ilimitada. Sin embargo, con probabilidad\(p = 0.05\) cualquier unidad podría tener un defecto que resulte en una vida útil (en horas) exponencial (0.0025). Bajo los supuestos de independencia habituales, ¿cuál es la probabilidad de que la unidad no falle por un módulo defectuoso en las primeras 500 horas posteriores a la instalación?

    Contestar
    p = 1 - exp(-0.0025*500);
    FW = (0.95 + 0.05*p)^12
    FW =   0.8410
    gN = ibinom(12,0.05,0:12);
    gY = [p 1-p];
    [D,PD] = gendf(gN,gY);
    PW = (D==0)*PD'
    PW =   0.8410

    Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

    El número\(N\) de ofertas en una pintura es binomial (10, 0.3). Los montos de la oferta (en miles de dólares)\(Y_i\) forman una clase iid, con función de densidad común\(f_Y (t) =0.005 (37 - 2t), 2 \le t \le 10\). ¿Cuál es la probabilidad de que el monto máximo de puja sea mayor a $5,000?

    Contestar

    \(P(Y \le 5) = 0.005 \int_{2}^{5} (37 - 2t)\ dt = 0.45\)

    p = 0.45;
    P = 1 - (0.7 + 0.3*p)^10
    P =   0.8352
    gN = ibinom(10,0.3,0:10);
    gY = [p 1-p];
    [D,PD] = gendf(gN,gY);  % D is number of "successes"
    Pa = (D>0)*PD'
    Pa =  0.8352

    Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

    Una tienda de informática ofrece a cada cliente que realiza una compra de $500 o más una oportunidad gratuita de sortear un premio. La probabilidad de ganar en un empate es de 0.05. Supongamos que los tiempos, en horas, entre ventas calificadas para un sorteo son exponenciales (4). Bajo los supuestos de independencia habituales, ¿cuál es el tiempo esperado entre un empate ganador? ¿Cuál es la probabilidad de tres o más ganadores en un día de diez horas? ¿De cinco o más?

    Contestar

    \(N_t\)~ Poisson (\(\lambda t\)),\(N_{Dt}\) ~ Poisson (\(\lambda pt\)),\(W_{Dt}\) exponencial (\(\lambda p\)).

    p = 0.05;
    t = 10;
    lambda = 4;
    EW = 1/(lambda*p)
    EW =    5
    PND10 = cpoisson(lambda*p*t,[3 5])
    PND10 =  0.3233    0.0527

    Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

    Los pulsos de ruido arrriven en una línea telefónica de datos de acuerdo con un proceso de llegada tal que para cada uno\(t > 0\) el número\(N_t\) de llegadas en intervalo de tiempo\((0, t]\), en horas, es Poisson\((7t)\). El pulso\(i\) th tiene una “intensidad”\(Y_i\) tal que la clase\(\{Y_i: 1 \le i\}\) es iid, con la función de distribución común\(F_Y (u) = 1 - e^{-2u^2}\) para\(u \ge 0\). Determinar la probabilidad de que en un día de ocho horas la intensidad no supere dos.

    Contestar

    \(N_8\)es Poisson (7*8 = 56)\(g_N (s) = e^{56(s - 1)}\).

    t = 2;
    FW2 = exp(56*(1 - exp(-t^2) - 1))
    FW2 =   0.3586

    Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

    El número\(N\) de ráfagas de ruido en una línea de transmisión de datos en un periodo\((0, t]\) es Poisson (\(\mu\)). El número de errores de dígitos causados por la ráfaga\(i\) th es\(Y_i\), con la clase\(\{Y_i: 1 \le i\}\) iid,\(Y_i - 1\) ~ geométrica\((p)\). Un sistema de corrección de errores es capaz de corregir cinco o menos errores en cualquier ráfaga. Supongamos\(\mu = 12\) y\(p = 0.35\). ¿Cuál es la probabilidad de que no haya errores no corregidos en dos horas de operación?

    Contestar

    \(F_W (k) = g_N [P(Y \le k)]P(Y \le k) - 1 - q^{k - 1}\ \ N_t\)~ Poisson (12\(t\))

    q = 1 - 0.35;
    k = 5;
    t = 2;
    mu = 12;
    FW = exp(mu*t*(1 - q^(k-1) - 1))
    FW =  0.0138
    

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