8: Plaza Chi

Prueba de bondad de ajuste

1. ¿La calculadora TI 84 genera números iguales de 0-9 al usar el generador de enteros aleatorios?

En este experimento, 12 números entre 1 y 100 fueron generados aleatoriamente por la calculadora TI 84. Estos 12 números se utilizaron como valores de semilla. Después de sembrar la calculadora con cada número, se generaron aleatoriamente 10 números nuevos entre 0 y 9 usando la función randint en la calculadora. Así, se produjeron un total de 120 números entre 0 y 9. La frecuencia de estos números se muestra en la tabla siguiente.

Las hipótesis a probar son:

\(H_0\): La frecuencia de celda observada es igual a la frecuencia celular esperada para todas las celdas

\(H_1\): La frecuencia celular observada no es igual a la frecuencia celular esperada para al menos una celda. Usar un nivel de significancia 0.05

Esto se puede representar simbólicamente como

\(H_0\):\(o_1 = \epsilon_1\) para todas las celdas

\(H_1\):\(o_1 \ne \epsilon_1\) para al menos una celda

donde ο es la letra griega minúscula omicron que representa la frecuencia celular observada en la población subyacente y ε es la letra griega minúscula épsilon que representa la frecuencia celular esperada. La frecuencia celular esperada siempre debe ser 5 o superior. Si no lo es, las células deben reagruparse.

La tabla anterior muestra las frecuencias observadas, pero ¿cuáles son las frecuencias esperadas? En teoría, si el proceso es verdaderamente aleatorio, entonces cada número ocurriría con la misma frecuencia si el muestreo se hiciera un número muy grande de veces. Si este es el caso, entonces en una muestra de tamaño 120, con 10 alternativas posibles, el número esperado de frecuencias para cada alternativa debe ser 12. De la tabla, vemos que la mayoría de las frecuencias no son 12, pero lo que se necesita es una manera de determinar si la cantidad de variación que existe es suficiente para sugerir que las frecuencias observadas no son iguales a las frecuencias esperadas. Tal conclusión implicaría que la calculadora no produce un conjunto verdaderamente aleatorio de números. La estrategia es encontrar\(\chi^2\) y luego usar la\(\chi^2\) distribución adecuada para encontrar el valor p. Una forma de encontrar\(\chi^2 = \sum \dfrac{(O - E)^2}{E}\) es con una mesa.

Si r representa el número de filas, entonces el número de grados de libertad en una prueba de bondad de ajuste es:

df = r — 1.

Para esta prueba de bondad de ajuste, hay 10 filas de datos. En consecuencia hay 9 grados de libertad.

El valor p para se\(\chi^2\) puede encontrar usando la tabla de las Distribuciones de Chi Cuadrado al final de este capítulo o su calculadora.

Las Distribuciones Chi-Cuadradas también se pueden utilizar para encontrar el valor p. Usando la siguiente tabla, encuentra los grados de libertad en la columna izquierda, localiza el\(\chi^2\) valor en la fila, luego mueve a la fila que muestra el área a la derecha y usa un signo de desigualdad para mostrar el valor p. Si el valor p es mayor que\(\alpha\), entonces use el símbolo mayor que. Si es menor que α, use el símbolo menor que, pero en cualquier caso, use la mayor precisión posible. Por ejemplo, si α es 0.05 pero el área a la derecha es menor que 0.025, entonces se prefiere p < 0.025 sobre p < 0.05.

En este ejemplo,\(\chi^2\) = 3.33, hay 9 grados de libertad, por lo que el valor p > 0.9.

\(\chi^2 = 3.33\)

Dado que este valor p es claramente superior a 0.05, se puede escribir la conclusión:

Al nivel de significancia del 5%, los valores de celda observados no son significativamente diferentes a los valores esperados de celda (\(\chi^2\)= 3.33, p = 0.9496, df=9). La calculadora TI84 parece producir un buen conjunto de enteros aleatorios.

En el caso de la calculadora, si es aleatoria en la generación de números, esperaríamos el mismo número de valores en cada categoría. Es decir, esperaríamos obtener el mismo número de 0s, 1s, 2s, etc. ya que la muestra consistió en 120 ensayos con 10 posibilidades para cada resultado, el valor esperado es 12 porque 120 dividido por 10 es 12. Pero, ¿qué pasa si el resultado esperado no es el mismo en todos los casos?

En el otoño de 2013, nuestro colegio estaba conformado por 54% caucásicos, 14% hispano/latinos, 11% afroamericanos, 10% asiáticos/isleños del Pacífico, 1% nativos americanos, 3% internacionales y 7% otros. Si quisiéramos determinar si la distribución racial/étnica de los estudiantes de estadística es diferente a la de toda la escuela, podríamos realizar una encuesta a los estudiantes de estadística para obtener los datos observados. La siguiente tabla contiene datos hipotéticos observados. Ya que hay 300 alumnos en la muestra y con base en la matrícula universitaria, 54% del cuerpo estudiantil es blanco, entonces el número esperado de alumnos en la clase que son blancos se encuentra multiplicando 300 por 0.54. Se toma el mismo enfoque para cada carrera. Esto se muestra en la tabla. Observe que el total en la columna esperada es el mismo que en la columna observada.

El resto de la prueba de bondad de ajuste se realiza igual que con el ejemplo de la calculadora y no se demostrará aquí.

Prueba de la Plaza Chi para la Independencia

La Prueba de Chi Cuadrado para la Independencia se utiliza cuando un investigador quiere determinar una relación entre dos variables categóricas aleatorias recolectadas en una misma unidad (o persona). Las preguntas de muestra incluyen:

1. ¿Existe una relación entre la afiliación religiosa de una persona y su preferencia de partido político?
2. ¿Existe una relación entre la disposición de una persona a comer alimentos genéticamente modificados y su disposición a usar la medicina genéticamente modificada?
3. ¿Existe una relación entre el campo de estudio de un egresado universitario y su capacidad de pensar críticamente?
4. ¿Existe una relación entre la calidad del sueño que recibe una persona y su actitud durante el día siguiente?

Como ejemplo, aprenderemos la mecánica de la prueba para la independencia utilizando el ejemplo hipotético de respuestas a las dos preguntas sobre cambio climático e inversiones.

1. ¿Crees que el cambio climático está ocurriendo porque los humanos han estado usando fuentes de carbono que llevan a un aumento de los gases de efecto invernadero? Sí No
2. ¿Cuál de las siguientes representa más de cerca la elección que tomaría para las inversiones de su cuenta de jubilación climática individual? Categoría A Categoría B

Categoría A — solar, eólica Categoría B — Carbón, desarrollo del lado del océano

\(H_0\): Las dos variables aleatorias son independientes (sin correlación)
\(H_1\): Las dos variables aleatorias no son independientes (correlación)

Esto también se puede representar simbólicamente como

\(H_0: o_1 = \epsilon_1\)para todas las células
\(H_1: o_1 \ne \epsilon_1\) para al menos una célula
donde\(o\) está la letra griega minúscula omicron que representa la frecuencia celular observada en la población subyacente y\(\epsilon\) es la letra griega minúscula épsilon que representa la célula esperada frecuencia. La frecuencia celular esperada siempre debe ser 5 o superior. Si no lo es, las células deben reagruparse.

Utilizar un nivel de significancia de 0.05.

Debido a que esto se hará con datos simulados, será útil hacerlo dos veces, produciendo conclusiones opuestas cada vez.

Los datos se presentarán en una tabla de contingencia 2 x 2.

La prueba de independencia utiliza la misma fórmula que la prueba de bondad de ajuste. \(\chi^2 = \sum \dfrac{(O - E)^2}{E}\). Sin embargo, a diferencia de esa prueba, no hay una indicación clara de cuáles son los valores esperados. En cambio deben calcularse, que es un proceso de cuatro pasos.

Paso 1, Encuentra los totales de fila y columna y el total general.

Paso 2. Crear una nueva tabla para los valores esperados. El proceso de razonamiento para calcular los valores esperados consiste en considerar primero la proporción de todos los valores que caen en cada columna. En la primera columna hay 103 valores de 200 que es\(\dfrac{}{} = 0.515\). En la segunda columna hay 97 de 200 valores (0.485). Dado que 51.5% de los valores están en la primera columna, entonces se esperaría que 51.5% de los valores de la primera fila también estarían en la primera columna. Así, 0.515 (110) da un valor esperado de 56.65. De igual manera, 0.485 (90) producirá el valor esperado de 43.65 para la última celda. Como fórmula, esto se puede expresar como

\[\dfrac{Column\ Total}{Grand\ Total} \cdot Row\ Total\]

Paso 3. Use una tabla similar a la utilizada en la prueba de Bondad de Ajuste para calcular el Chi Cuadrado.

Paso 4. Determinar los grados de libertad y encontrar el valor p

Si R es el número de Filas en la Tabla de contingencia y C es el número de columnas en la tabla de contingencia, entonces el número de grados de libertad para la prueba de independencia se encuentra como

df = (R - 1) (C - 1).

Para una tabla de contingencia de 2 x 2 como en este problema, solo hay 1 grado de libertad porque (2-1) (2-1) = 1.

El valor p para se\(\chi^2\) puede encontrar usando la tabla o su calculadora.

En la tabla ubicamos 0.034 en la fila con 1 grado de libertad, luego nos movemos hacia arriba a la fila para el área a la derecha. Dado que el área a la derecha es mayor que 0.05, pero más específicamente es mayor que 0.1, el valor p se escribe como p > 0.1.

En tu calculadora, usa\(\chi^2\) cdf (bajo, alto, df). En este caso,\(\chi^2\) cdf (0.0342, 1E99, 1) = 0.853.

Dado que los datos no son significativos, concluimos que la estrategia de inversión de las personas es independiente de su opinión sobre las contribuciones humanas al cambio climático.

La versión 2 de este problema utiliza la siguiente tabla de contingencia.

En este caso, los datos son significativos. Esto significa que existe una correlación entre la opinión de cada persona sobre las contribuciones humanas al cambio climático y su elección de inversiones. Recuerda que la correlación no es causalidad.

Prueba de Chi Cuadrado para Homogeneidad

El tercer y último problema se refiere a la clasificación de los huracanes en dos décadas distintas, 1901-50 y 1951-2000. Una teoría sobre el cambio climático es que los huracanes podrían empeorar. ser trabajado usando tablas.

Los huracanes son clasificados por la Escala de Viento Huracanes Saffir-Simpson.2

Categoría 1 Vientos sostenidos 74-95 mph
Categoría 2 Vientos sostenidos 96-110 mph
Categoría 3 Vientos sostenidos 111-129 mph
Categoría 4 Vientos sostenidos 130-156 mph
Categoría 5 Vientos sostenidos 157 o superior.

Los huracanes de categoría 3, 4 y 5 se consideran importantes.

Este problema

La población de interés es la distribución de huracanes para las condiciones climáticas imperantes en su momento. Las hipótesis que se están probando son

\(H_0\): Las distribuciones son homogéneas

\(H_1\): Las distribuciones no son homogéneas

Esto también se puede representar simbólicamente como

\(H_0: o_1 = \epsilon_1\)para todas las celdas
\(H_1: o_1 \ne \epsilon_1\) para al menos una celda

donde\(o\) es la letra griega minúscula omicron que representa la frecuencia celular observada en la población subyacente y\(\epsilon\) es la letra griega minúscula épsilon que representa la frecuencia celular esperada. La frecuencia celular esperada siempre debe ser 5 o superior. Si no lo es, las células deben reagruparse.

Se utilizará una tabla de contingencia de 5 x 2 para mostrar las frecuencias que se observaron. Las frecuencias esperadas se calcularon de la misma manera que en la prueba de independencia. (http://www.nhc.noaa.gov/pastdec.shtml visto 12/7/13)

Observe que las frecuencias celulares esperadas para huracanes de categoría 5 son menores a 5, por lo que será necesario que rehagamos este problema combinando grupos. El grupo 5 se combinará con el grupo 4 y se proporcionarán las tablas modificadas.

Si R es el número de Filas en la Tabla de contingencia y C es el número de columnas en la tabla de contingencia, entonces el número de grados de libertad para la prueba de homogeneidad se encuentra como

df = (R-1) (C-1).

Para una tabla de contingencia 4\(\times\) 2 como en este problema, hay 3 grados de libertad porque (4-1) (2-1) = 3 grados de libertad.

En la tabla se muestra que el valor p es menor a 0.05. La calculadora confirma esto porque\(\chi^2\) cdf (0.486, 1E99, 3) = 0.9218. En consecuencia, la conclusión es que no existe una diferencia significativa entre la distribución de huracanes en 1951-2000 y 1901-50.

Distinguir entre el uso de la prueba de independencia y homogeneidad

Si bien las matemáticas detrás tanto de la prueba de independencia como de la prueba de homogeneidad son las mismas, la intención detrás de su uso e interpretación de los resultados es diferente.

La prueba de independencia se utiliza cuando se determinan dos variables aleatorias, ambas consideradas como variables de respuesta, para cada unidad. La prueba de homogeneidad se utiliza cuando una de las variables aleatorias es la variable explicativa y los sujetos son seleccionados en función de su nivel de esta variable. La otra variable aleatoria es la variable de respuesta.

La determinación de qué prueba a utilizar se establece mediante el enfoque de muestreo. Si se definen claramente dos poblaciones de antemano y se realiza una selección aleatoria de cada población, entonces las poblaciones se compararán utilizando la prueba de homogeneidad. Si no se hace ningún esfuerzo para distinguir poblaciones de antemano, y se hace una selección aleatoria de esta población y luego se determinan los valores de las dos variables aleatorias, la prueba de independencia es apropiada.

Un ejemplo puede aclarar la sutil diferencia entre las dos pruebas. Considera que una variable aleatoria es la preferencia de una persona entre correr y nadar para hacer ejercicio y la otra variable aleatoria es la preferencia de una persona entre ver televisión o leer un libro. Si el investigador selecciona al azar a algunos corredores y algunos nadadores y pregunta a cada grupo sobre su preferencia por la televisión o leer un libro, la prueba de homogeneidad sería apropiada. Por otro lado, si el investigador encuestó a personas al azar y pregunta si prefieren correr o nadar y si prefieren la televisión o la lectura, entonces el objetivo será determinar si existe una correlación entre estas dos variables aleatorias mediante el uso de la prueba de independencia.