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# 4.4: Distribución de Poisson

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Otra distribución de probabilidad útil es la distribución de Poisson, o distribución de tiempo de espera. Esta distribución se utiliza para determinar cuántos empleados de caja se necesitan para mantener el tiempo de espera en línea a niveles específicos, cómo pueden ser necesarias las líneas telefónicas para evitar que el sistema se sobrecargue y muchas otras aplicaciones prácticas. Una modificación del Poisson, el Pascal, inventado hace casi cuatro siglos, es utilizado hoy en día por las empresas de telecomunicaciones de todo el mundo para factores de carga, niveles de conexión satelital y problemas de capacidad de Internet. La distribución recibe su nombre de Simeon Poisson quien la presentó en 1837 como una extensión de la distribución binomial que veremos se puede estimar con el Poisson.

Hay dos características principales de un experimento de Poisson.

1. La distribución de probabilidad de Poisson da la probabilidad de que varios eventos ocurran en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos ocurren con una tasa promedio conocida.
2. Los eventos son independientes del tiempo transcurrido desde el último evento. Por ejemplo, un editor de libros podría estar interesado en el número de palabras escritas incorrectamente en un libro en particular. Podría ser que, en promedio, haya cinco palabras escritas incorrectamente en 100 páginas. El intervalo es de las 100 páginas y se supone que no hay relación entre cuándo ocurren errores ortográficos.
3. La variable aleatoria$$X$$ = el número de ocurrencias en el intervalo de interés.

Ejemplo$$\PageIndex{12}$$

Un banco espera recibir seis cheques incorrectos por día, en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que el banco obtenga menos de cinco cheques incorrectos en un día determinado? De interés es el número de cheques que recibe el banco en un día, por lo que el intervalo de tiempo de interés es de un día. Let$$X$$ = el número de cheques incorrectos que recibe el banco en un día. Si el banco espera recibir seis cheques incorrectos por día entonces el promedio es de seis cheques diarios. Escribir una declaración matemática para la pregunta de probabilidad.

Responder

$$P (x < 5)$$

Ejemplo$$\PageIndex{13}$$

Se nota que un reportero de noticias dice “uh”, en promedio, dos veces por emisión. Cuál es la probabilidad de que el reportero de noticias diga “uh” más de dos veces por emisión.

Este es un problema de Poisson porque te interesa saber el número de veces que el reportero de noticias dice “uh” durante una transmisión.

a. ¿Cuál es el intervalo de interés?

Responder

a. una emisión medida en minutos

b. ¿Cuál es el promedio de veces que el reportero dice “uh” durante una emisión?

Responder

b. 2

c. Dejar$$X$$ = ____________. ¿Qué valores$$X$$ toma?

Responder

c. Let$$X$$ = el número de veces que el reportero de noticias dice “uh” durante una transmisión.
$$x = 0, 1, 2, 3$$,...

d. La pregunta de probabilidad es$$P$$ (______).

Responder

d.$$P (x > 2)$$

## Notación para la función de distribución de probabilidad de Poisson: P = Poisson

$$X \sim P (\mu)$$

Lee esto como "$$X$$es una variable aleatoria con una distribución de Poisson”. El parámetro es\ (\ mu (o λ);\ mu (o λ) = la media para el intervalo de interés. La media es el número de ocurrencias que ocurren en promedio durante el periodo de intervalo.

La fórmula para calcular las probabilidades que provienen de un proceso de Poisson es:

$P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}\nonumber$

donde$$P(X)$$ está la probabilidad de$$X$$ éxitos,$$\mu$$ es el número esperado de éxitos basado en datos históricos, e es el logaritmo natural aproximadamente igual a 2.718, y$$X$$ es el número de éxitos por unidad, generalmente por unidad de tiempo.

Para poder utilizar la distribución de Poisson, ciertos supuestos deben sostenerse. Estos son: la probabilidad de un éxito,$$\mu$$, no cambia dentro del intervalo, no puede haber éxitos simultáneos dentro del intervalo, y finalmente, que la probabilidad de éxito entre intervalos es independiente, el mismo supuesto de la distribución binomial.

En cierto modo, la distribución de Poisson puede pensarse como una forma inteligente de convertir una variable aleatoria continua, generalmente el tiempo, en una variable aleatoria discreta dividiendo el tiempo en intervalos independientes discretos. Esta forma de pensar sobre el Poisson nos ayuda a entender por qué se puede utilizar para estimar la probabilidad de la variable aleatoria discreta a partir de la distribución binomial. El Poisson está pidiendo la probabilidad de una serie de éxitos durante un periodo de tiempo mientras que el binomio está pidiendo la probabilidad de cierto número de éxitos para un número dado de ensayos.

Ejemplo$$\PageIndex{14}$$

El contestador automático de Leah recibe alrededor de seis llamadas telefónicas entre las 8 de la mañana y las 10 de la mañana. ¿Cuál es la probabilidad de que Leah reciba más de una llamada en los próximos 15 minutos?

Dejar X = el número de llamadas que Leah recibe en 15 minutos. (El intervalo de interés es de 15 minutos o$$\frac{1}{4}$$ hora.)

$$x = 0, 1, 2, 3$$,...

Si Leah recibe, en promedio, seis llamadas telefónicas en dos horas, y hay ocho intervalos de 15 minutos en dos horas, entonces Leah recibe

$$\left(\frac{1}{8}\right)$$(6) = 0.75 llamadas en 15 minutos, en promedio. Entonces,\ mu = 0.75 para este problema.

$$X \sim P (0.75)$$

Encuentra$$P (x > 1). P (x > 1) = 0.1734$$

La probabilidad de que Leah reciba más de una llamada telefónica en los próximos 15 minutos es de aproximadamente 0.1734.

La gráfica de$$X \sim P (0.75)$$ es:

El$$y$$ eje -contiene la probabilidad de$$x$$ donde$$X$$ = el número de llamadas en 15 minutos.

Ejemplo$$\PageIndex{15}$$

Según una encuesta un profesor universitario recibe, en promedio, 7 correos electrónicos por día. Dejar X = el número de correos electrónicos que un profesor recibe por día. La variable aleatoria discreta X toma los valores x = 0, 1, 2... La variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson: X ~ P (7). La media es de 7 correos electrónicos.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba exactamente 2 correos electrónicos por día?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba como máximo 2 correos electrónicos por día?
3. ¿Cuál es la desviación estándar?
Responder

a.$$P(x=2)=\frac{\mu^{x_{e}-\mu}}{x !}=\frac{7^{2} e^{-7}}{2 !}=0.022$$

b.$$P(x \leq 2)=\frac{7^{0} e^{-7}}{0 !}+\frac{7^{1} e^{-7}}{1 !}+\frac{7^{2} e^{-7}}{2 !}=0.029$$

c. Desviación estándar =$$\sigma=\sqrt{\mu}=\sqrt{7} \approx 2.65$$

Ejemplo$$\PageIndex{16}$$

Los usuarios de mensajes de texto reciben o envían un promedio de 41.5 mensajes de texto por día.

1. ¿Cuántos mensajes de texto recibe o envía un usuario de mensajes de texto por hora?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensaje de texto reciba o envíe dos mensajes por hora?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensaje de texto reciba o envíe más de dos mensajes por hora?
Responder

a.Let X = el número de textos que un usuario envía o recibe en una hora. El promedio de textos recibidos por hora es$$\frac{41.5}{24}$$ ≈ 1.7292.

b.$$P(x=2)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}=\frac{1.729^{2} e^{-1.729}}{2 !}=0.265$$

c.$$P(x>2)=1-P(x \leq 2)=1-\left[\frac{7^{0} e^{-7}}{0 !}+\frac{7^{1} e^{7}}{1 !}+\frac{7^{2} e^{-7}}{2 !}\right]=0.250$$

Ejemplo$$\PageIndex{17}$$

El 13 de mayo de 2013, a partir de las 4:30 PM, la probabilidad de baja actividad sísmica para las próximas 48 horas en Alaska se reportó como alrededor de 1.02%. Utilice esta información durante los próximos 200 días para encontrar la probabilidad de que haya baja actividad sísmica en diez de los próximos 200 días. Utilice las distribuciones binomial y Poisson para calcular las probabilidades. ¿Están cerca?

Responder

Let X = el número de días con baja actividad sísmica.

Usando la distribución binomial:

$P\left(x=10\right)=\frac{200 !}{10 !(200-10) !} \times .0102^{10} \times .9898^{190}=0.000039\nonumber$

Usando la distribución de Poisson:

Calcular$$\mu = np = 200(0.0102) \approx 2.04$$

$P\left(x=10\right)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}=\frac{2.04^{10} e^{-2.04}}{10 !}=0.000045\nonumber$

Esperamos que la aproximación sea buena porque$$n$$ es grande (mayor que 20) y$$p$$ es pequeña (menos de 0.05). Los resultados son cercanos, ambas probabilidades reportadas son casi 0.

## Estimación de la distribución binomial con la distribución de Poisson

Se encontró antes que la distribución binomial proporcionaba una aproximación para la distribución hipergeométrica. Ahora encontramos que la distribución de Poisson puede proporcionar una aproximación para el binomio. Decimos que la distribución binomial se acerca al Poisson. La distribución binomial se acerca a la distribución de Poisson es a medida que n se hace más grande y p es pequeña de tal manera que np se convierte en un valor constante Existen varias reglas generales para cuando se puede decir que usarán un Poisson para estimar un binomio. Se sugiere que np, la media del binomio, debe ser menor a 25. Otro autor sugiere que debería ser menor a 7. Y otro, al señalar que la media y varianza del Poisson son ambas iguales, sugiere que np y npq, la media y varianza del binomio, deberían ser mayores a 5. No hay una regla general ampliamente aceptada para cuando se puede usar el Poisson para estimar el binomio.

A medida que avanzamos a través de estas distribuciones de probabilidad estamos llegando a distribuciones más sofisticadas que, en cierto sentido, contienen las distribuciones menos sofisticadas dentro de ellas. Esta proposición ha sido probada por matemáticos. Esto nos lleva al más alto nivel de sofisticación en la siguiente distribución de probabilidad que puede ser utilizada como aproximación a todas las que hemos discutido hasta ahora. Esta es la distribución normal.

Ejemplo$$\PageIndex{18}$$

Una encuesta a 500 adultos mayores de la Escuela de Negocios Price arroja la siguiente información. El 75% va directo a trabajar después de graduarse. El 15% pasa a trabajar en su MBA. 9% se queda para obtener una menor en otro programa. 1% pasa a obtener una Maestría en Finanzas.

¿Cuál es la probabilidad de que más de 2 adultos mayores vayan a la escuela de posgrado para su Maestría en Finanzas?

Responder

Esto es claramente un problema binomial de distribución de probabilidad. Las opciones son binarias cuando definimos los resultados como “Escuela de Posgrado en Finanzas” versus “todas las demás opciones”. La variable aleatoria es discreta, y los eventos son, podríamos suponer, independientes. Resolviendo como problema binomial, tenemos:

Solución Binomial

$n\cdot p=500\cdot 0.01=5=\mu\nonumber$

$P(0)=\frac{500 !}{0 !(500-0) !} 0.01^{0}(1-0.01)^{500^{-0}}=0.00657\nonumber$

$P(1)=\frac{500 !}{1 !(500-1) !} 0.01^{1}(1-0.01)^{500}=0.03318\nonumber$

$P(2)=\frac{500 !}{2 !(500-2) !} 0.01^{2}(1-0.01)^{500^{2}}=0.08363\nonumber$

Sumando los 3 juntos = 0.12339

$1−0.12339=0.87661\nonumber$

Aproximación de Poisson

$n\cdot p=500\cdot 0.01=5=\mu\nonumber$

$n \cdot p \cdot(1-p)=500 \cdot 0.01 \cdot(0.99) \approx 5=\sigma^{2}=\mu\nonumber$

$P(X)=\frac{e^{-n p}(n p)^{x}}{x !}=\left\{P(0)=\frac{e^{-5} \cdot 5^{0}}{0 !}\right\}+\left\{P(1)=\frac{e^{-5} \cdot 5^{1}}{1 !}\right\}+\left\{P(2)=\frac{e^{-5} \cdot 5^{2}}{2 !}\right\}\nonumber$

$0.0067+0.0337+0.0842=0.1247\nonumber$

$1−0.1247=0.8753\nonumber$

Una aproximación que está apagada por 1 milésima es sin duda una aproximación aceptable.

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