6.5: Prueba t de muestras independientes — ¿El retorno de la prueba t?

Si has estado siguiendo las referencias de Star Wars, estamos en la última película (de la trilogía original)... la prueba t independiente. Esto es donde básicamente se desarrolla la misma historia que antes, solo que ligeramente diferente.

Recuerde que existen diferentes\(t\) pruebas para diferentes tipos de diseños de investigación. Cuando su diseño es un diseño entre temas, utiliza una prueba t de muestras independiente. El diseño entre sujetos involucra a diferentes personas o sujetos en cada condición experimental. Si hay dos condiciones, y 10 personas en cada una, entonces hay 20 personas en total. Y, no hay puntuaciones pareadas, porque a cada persona se le mide una vez, no dos veces, no se repiten medidas. Debido a que no hay medidas repetidas no podemos mirar las puntuaciones de diferencia entre las condiciones uno y dos. Los puntajes no están emparejados de ninguna manera significativa, a que no tiene sentido restarlos. Entonces, ¿qué hacemos?

La lógica de la prueba t de muestras independientes es la misma que la de las otras\(t\) pruebas. Calculamos las medias para cada grupo, luego encontramos la diferencia. Eso entra en el numerador de la fórmula t. Entonces obtenemos una estimación de la variación para el denominador. Dividimos la diferencia media por la estimación de la variación, y obtenemos\(t\). Es lo mismo que antes.

La única arruga aquí es lo que entra en el denominador? ¿Cómo se debe calcular la estimación de la varianza? Sería bueno que pudiéramos hacer algo muy sencillo como esto, digamos para un experimento con dos grupos A y B:

\[t = \frac{\bar{A}-\bar{B}}{(\frac{SEM_A+SEM_B}{2})} \nonumber \]

En lenguaje sencillo, esto es solo:

1. Encuentra la diferencia media para la parte superior
2. Calcular el SEM (error estándar de la media) para cada grupo, y promediarlos juntos para hacer una sola estimación, agrupando sobre ambas muestras.

Esto estaría bien, pero desgraciadamente, resulta que encontrar el promedio de dos errores estándar de la media no es la mejor manera de hacerlo. Esto crearía un estimador sesgado de la variación para la distribución hipotética de no diferencias. No vamos a entrar en las matemáticas aquí, pero en lugar de la fórmula anterior, usamos una diferente que da como una estimación imparcial del error estándar agrupado de la media de la muestra. Nuestra nueva y mejorada\(t\) fórmula se vería así:

\[t = \frac{\bar{X_A}-\bar{X_B}}{s_p * \sqrt{\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}}} \nonumber \]

y\(s_p\), que es la desviación estándar de la muestra agrupada se define como, tenga en cuenta que las s en la fórmula son varianzas:

\[s_p = \sqrt{\frac{(n_A-1)s_A^2 + (n_B-1)s^2_B}{n_A +n_B -2}} \nonumber \]

Créeme, esa es mucho más fórmula de la que quería escribir. ¿Haremos un ejemplo de\(t\) prueba independiente a mano, sólo para ver los cómputos? Hagámoslo... pero de una manera ligeramente diferente a la que esperas. Muestro los pasos usando R. Realicé algunas puntuaciones falsas para los grupos A y B. Luego, seguí todos los pasos de la fórmula, pero hice que R hiciera cada uno de los cálculos. Esto te muestra los pasos necesarios siguiendo el código. Al final, imprimo los valores\(t\) -test que calculé “a mano”, y luego el valor\(t\) -test que emite el software R usando la función\(t\) -test. Deberías poder obtener los mismos valores para\(t\), si fuiste lo suficientemente valiente como para computar a\(t\) mano.

## By "hand" using R r code
a <- c(1,2,3,4,5)
b <- c(3,5,4,7,9)

mean_difference <- mean(a)-mean(b) # compute mean difference

variance_a <- var(a) # compute variance for A
variance_b <- var(b) # compute variance for B

# Compute top part and bottom part of sp formula

sp_numerator <- (4*variance_a + 4* variance_b) 
sp_denominator <- 5+5-2
sp <- sqrt(sp_numerator/sp_denominator) # compute sp

# compute t following formulat

t <- mean_difference / ( sp * sqrt( (1/5) +(1/5) ) )

t # print results

-2.01799136683647

 

a <- c(1,2,3,4,5)
b <- c(3,5,4,7,9)

# using the R function t.test
t.test(a,b, paired=FALSE, var.equal = TRUE)

	Two Sample t-test

data:  a and b
t = -2.018, df = 8, p-value = 0.0783
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -5.5710785  0.3710785
sample estimates:
mean of x mean of y 
      3.0       5.6